Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10)
[CAPS]
Collection Editor:
Free High School Science Texts Project
Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10)
[CAPS]
Collection Editor:
Free High School Science Texts Project
Authors:
Free High School Science Texts Project
Wiehan Agenbag
Chris Louw
Carl Scheffler
Online:
< http://siyavula.cnx.Org/content/colll328/l.4/ >
CONNEXIONS
Rice University, Houston, Texas
This selection and arrangement of content as a collection is copyrighted by Free High School Science Texts Project.
It is licensed under the Creative Commons Attribution 3.0 license (http://creativecommons.Org/licenses/by/3.0/).
Collection structure revised: August 4, 2011
PDF generated: August 4, 2011
For copyright and attribution information for the modules contained in this collection, see p. 319.
Table of Contents
1 Funksies en grafleke
1.1 Inleiding en kernbegrippe 1
1.2 Die reguit lyn 10
1.3 Die parabool 13
1.4 Hiperboliese funksies 19
1.5 Eksponensiele funksies 23
Solutions 30
2 Getalpatrone
2.1 Inleiding 35
2.2 Notasie 37
Solutions 41
3 Finansiele wiskunde
3.1 Inleiding en enkelvoudige rente 43
3.2 Saamgestelde rente 46
3.3 Buitelandse wisselkoerse 49
Solutions 58
4 Rasionale getalle 63
5 Eksponensiale 69
6 Benadering van Wortelgetalle 79
7 Irrasionale Getalle en Afronding 83
8 Produkte en faktore
8.1 Inleiding en herhaling 87
8.2 Meer produkte 90
8.3 Faktorisering en breke 95
Solutions 103
9 Vergelykings en ongelykhede
9.1 Strategie vir die vergelykings op te los en op los van lineere vergelykings 107
9.2 Oplos van kwadratiese vergelykings 110
9.3 Eksponensiele vergelykings 113
9.4 Lineere ongelykhede 116
9.5 Lineaire gelyktydige vergelykings 118
9.6 Letterlike vergelykings 121
9.7 Wiskundige modelle 121
Solutions 125
10 Gemiddelde gradient
10.1 Reguit lyn en parabool 135
10.2 Ander funksies 137
Solutions 140
11 Waarskynlikheid
11.1 Waarskynlikheid: deel 1 141
11.2 Waarskynlikheid: deel 2 157
Solutions 166
12 Basiese beginsels van meetkunde
12.1 Punte, lyne en hoeke 173
12.2 Poligone 184
IV
Solutions 194
13 Meetkunde
13.1 Vierhoeke en poligone 195
13.2 Bewyse en vermoedens 203
13.3 Meting 204
13.4 Transformasies 216
Solutions 233
14 Trigonometrie
14.1 Inleiding en kernbegrippe 247
14.2 Die trig funksies en 2D probleme 249
14.3 Die trig funksies vir enige hoek en toepassings 254
14.4 Grafieke van die trig funksies 259
Solutions 272
15 Analitiese meetkunde
15.1 Cartesiese vlak en die afstand tussen twee punte 277
15.2 Gradient lyn 281
15.3 Middelpunt van 'n lyn 283
15.4 Opsomming en oefininge 284
16 Statistiek
16.1 Inleiding en herhaling 287
16.2 Opsomming van data 296
16.3 Vooroordele, foute en misbruik 302
Solutions 309
Glossary 314
Index 316
Attributions 319
Chapter 1
Funksies en grafieke
1.1 Inleiding en kernbegrippe
1.1.1 Inleiding tot Funksies en Grafieke
Funksies is wiskundige boustene wat toepassings het in masjienontwerp, die voorspelling van natuurrampe,
die mediese veld, ekonomiese analise en vliegtuigontwerp. 'n Funksie het vir elke invoerwaarde net 'n enkele
uitvoerwaarde. Dit is moontlik dat 'n funksie meer as een inset van verskillende veranderlikes kan he, maar
dan sal dit steeds net 'n enkele uitset he. Ons gaan egter nie in hierdie hoofstuk na sulke tipe funksies kyk
nie.
Een van die groot voordele van funksies is dat hulle ons toelaat om vergelykings te visualiseer deur middel
van 'n grafiek. 'n Grafiek is bloot 'n tekening van 'n funksie en dit word gebruik as 'n ander voorstellingswyse
in plaas van 'n tabel met getalle. In hierdie hoofstuk gaan ons leer hoe om funksies met reele getalle te skep
en te verstaan; en hoe om grafieke te lees en te teken.
Funksies se toepassing strek van groot wetenskap- en ingenieurs probleme tot alledaagse probleme. So,
dit is nuttig om meer te leer van funksies. 'n Funksie is altyd afhanklik van een of meer veranderlikes, soos
tyd, afstand of 'n meer abstrakte entiteit.
1.1.2 Alledaagse Gebruike van Funksies en Grafieke
[U+0149] Paar tipiese voorbeelde van funksies waarmee jy moontlik bekend is:
• Hoeveel geld jy het as 'n funksie van tyd. Hier is tyd die inset vir die funksie en die uitset is die bedrag
geld. Jy sal op enige oomblik net een bedrag geld he. As jy verstaan hoe jou bedrag geld verander oor
tyd, kan jy beplan hoe om jou geld beter te spandeer. Besighede teken die grafiek van hulle geldsake
oor tyd, sodat hulle kan sien wanneer hulle te veel geld spandeer. Sulke waarnemings is nie altyd
duidelik deur slegs na die getalle te kyk nie.
• Die temperatuur is 'n voorbeeld van 'n funksie met veelvuldige insette, insluitend die tyd van die dag,
die seisoen, die wolkbedekking, die wind, die plek en vele ander. Die belangrike ding om in te sien, is
dat daar net een waarde vir temperatuur is op 'n spesifieke plek, op 'n spesifieke tyd. As ons verstaan
hoe die insette die temperatuur bei'nvloed, kan ons ons dag beter beplan.
• Jou posisie is 'n funksie van tyd omdat jy nie op twee plekke op dieselfde tyd kan wees nie. Indien jy
twee mense se posisie as 'n funksie van tyd sou teken of stip ('plot'), sal die plek waar die lyne kruis,
aandui waar die mense mekaar ontmoet. Hierdie idee word gebruik in logistiek - 'n veld van Wiskunde
wat probeer voorspel waar mense en items is, hoofsaaklik vir besigheid.
• Jou massa is 'n funksie van hoeveel jy eet en hoe baie oefening jy doen, maar elke persoon se liggaam
hanteer die insette anders en mens kan dan verskillende liggame voorstel as verskillende funksies.
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39661/l.l/>.
2 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
1.1.3 Hersiening
Die volgende behoort bekend te wees.
1.1.3.1 Veranderlikes en Konstantes
In Oorsig van vorige werk 2 , het ons gewerk met veranderlikes en konstantes. Om vinnig te hersien: 'n
veranderlike kan enige waarde aanneem in 'n stel getalle, indien die vergelyking konstant is. Gewoonlik word
'n veranderlike geskryf met 'n letter.
'n Konstante het 'n vaste waarde. Byvoorbeeld, die getal 1 is 'n konstante. Soms kan mens ook letters
gebruik om konstantes voor te stel in 'n funksie, as 'n plekhouer, omdat hulle soms makliker is om mee te
werk.
1.1.3.1.1 Ondersoek: Veranderlikes en Konstantes.
Identifiseer die veranderlikes en die konstantes in die volgende vergelykings:
1. 2a; 2 = 1
2. 3x + 4y
3 - y= it
4. y = l x - 2
7
1.1.3.2 Relasies en Funksies
In die verlede het jy gesien veranderlikes kan relasies (verhoudings) he met mekaar. Byvoorbeeld, Anton is
2 jaar ouer as Naomi. Die relasie of verband tussen die ouderdomme van Anton en Naomi kan geskryf word
as A = N + 2, waar Anton se ouderdom voorgestel word met A en Naomi se ouderdom voorgestel word met
N.
In die algemeen is 'n relasie 'n vergelyking met twee veranderlikes. Byvoorbeeld, y = 5x en y 2 + x 2 = 5
is relasies. In albei voorbeelde is x en y veranderlikes en 5 is 'n konstante. Vir elke waarde van x sal jy 'n
ander, unieke waarde vir y kry.
Mens hoef nie relasies as vergelykings te skryf nie, dit kan ook weergegee word in woorde, tabelle of
grafieke. Byvoorbeeld, in plaas van y = 5x te skryf, kan mens se "y is vyf keer so groot as x". Ons kan ook
die volgende tabel gee:
X
y = bx
2
10
6
30
8
40
13
65
15
75
Table 1.1
"Review of Past Work": Section Letters and Arithmetic <http://siyavula.cnx.Org/content/m31330/latest/#cid5>
1.1.3.2.1 Ondersoek: Relasies en Funksies
Voltooi die volgende tabel vir die gegewe funksies:
X
y = x
y = 2x
y = x + 2
1
2
3
50
100
Table 1.2
1.1.3.3 Die Cartesiese Vlak
Wanneer cms met funksies met reele getalle werk, is ons vernaamste stuk gereedskap 'n grafiek. Eerstens,
indien ons twee reele veranderlikes het, x en y, kan ons gelyktydig vir hulle waardes toeken. Byvoorbeeld,
ons kan se "x is 5 en y is 3". Net soos wat ons vir "x is 5" verkort deur te skryf "x = 5", kan ons ook "x
is 5 en y is 3" verkort deur te se "(x; y) = (5; 3)". Gewoonlik as ons dink aan reele getalle, dink ons aan 'n
oneindige lang lyn en 'n getal as 'n punt op die lyn. Indien ons twee getalle op dieselfde tyd kies, kan ons
iets soortgelyks doen, maar nou gebruik ons twee dimensies. Ons gebruik nou twee lyne, een vir x en een
vir y, met die lyn vir y, geroteer, soos in Figure l.l.Ons noem dit die Cartesiese vlak.
CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
1 1 1 1 i: I 1 1 1
4
3
2
1
f. *
-\ -3 -i -l :. :\ :\ *.
-i
=2
=3
=4
1 1 1 1 a 1 1 1 1
Figure 1.1: Die Cartesiese vlak bestaan uit 'n x— as (horisontaal) en 'n y— as (vertikaal).
1.1.3.4 Teken van Grafleke
Om 'n grafiek van 'n funksie te teken, moet ons 'n paar punte bereken en stip op die Cartesiese vlak. Die
punte word dan in volgorde verbind om 'n gladde lyn te vorm.
Kom ons kyk na die funksie, / (x) = 2x. Ons kan dan al die punte (x; y) beskou wat so is dat y = f (x),
in hierdie geval y = 2x. Byvoorbeeld (1; 2) , (2, 5; 5) , en (3; 6) stel sulke punte voor en (3; 5) stel nie so 'n
punt voor nie, aangesien 5/2x3. Indien ons 'n kol op al die punte sit, asook al die soortgelyke punte vir
alle moontlike waardes van x, sal cms die grafiek soos in Figure 1.2 kry.
Image not finished
Figure 1.2: Grafiek van / (a;) = 2x
Die vorm van die grafiek is baie eenvoudig, dit is bloot 'n reguitlyn deur die middel van die vlak. Hierdie
"stippingstegniek" is die sleutel tot die verstaan van funksies.
1.1.3.4.1 Ondersoek: Teken van Grafieke en die Cartesiese vlak
Stip die volgende punte en trek 'n gladde lyn deur hulle: (-6; -8), (-2; 0), (2; 8), (6; 16).
1.1.3.5 Notasie vir Funksies
Tot dus ver het ons gesien jy kan y = 2x gebruik om 'n funksie voor te stel. Hierdie notasie raak verwarrend
as jy met meer as een funksie werk. 'n Meer algemene manier om funksies neer te skryf, is deur die notasie
/ (x), te gebruik, waar / die funksienaam en x die onafhanklike veranderlike is. Byvoorbeeld, / (x) = 2x en
g (t) = 2t + 1 is twee verskillende funksies. Met f en g die name en x en t die verander likes. As mens van
/ (x) praat, se mens "f van x".
Ons gaan albei notasies in hierdie boek gebruik.
Exercise 1.1: Funksienotasie (Solution on p. 30.)
Indien / (n) = n 2 — 6n + 9, vind / (k — 1) in terme van k.
Exercise 1.2: Funksienotasie (Solution on p. 30.)
As / (x) = x 2 — 4, bereken b as / (b) = 45.
1.1.3.5.1 Hersiening
1. Raai watter funksie, in die vorm y = ..., word voorgestel deur die waardes in die tabel.
X
l
2
3
40
50
600
700
800
900
1000
y
l
2
3
40
50
600
700
800
900
1000
Table 1.3
Kliek hier vir die oplossing 3
2. Raai watter funksie, in die vorm y = ... , word voorgestel deur die waardes in die tabel.
X
l
2
3
40
50
600
700
800
900
1000
y
2
4
6
80
100
1200
1400
1600
1800
2000
Table 1.4
5 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxO>
CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Kliek hier vir die oplossing 4
3. Raai watter funksie, in die vorm y ■■
word voorgestel deur die waardes in die tabel.
X
1
2
3
40
50
600
700
800
900
1000
y
10
20
30
400
500
6000
7000
8000
9000
10000
Table 1.5
Kliek hier vir die oplossing 5
4. Stip die volgende punte (1;2), (2;4), (3;6), (4;8), (5;10) op 'n Cartesiese vlak. Verbind die punte. Kry
jy 'n reguitlyn? Kliek hier vir die oplossing 6
5. Indien / (x) = x + x 2 , skryf neer:
a. f(t)
/(I)
/(3)
Kliek hier vir die oplossing 7
6. Indien g (x) = x and / (x) = 2x, skryf neer:
a. f(t)+g(t)
f{a) - g{a)
/(l)+3(2)
/(3)+s(«)
Kliek hier vir die oplossing 8
7. Jy staan langs 'n reguit snelweg, 'n motor ry by jou verby en beweeg 10m elke sekonde. Voltooi
die tabel hieronder, deur in te vul hoe ver die motor van jou af wegbeweeg het na 5,10 en na 20
sekondes.
b.
c.
d.
b.
c.
d.
Tyd (s)
1
2
5
10
20
Afstand (m)
10
20
Table 1.6
Gebruik die waardes in die tabel en teken 'n grafiek met die afstand op die y-as en tyd op die x-as.
Kliek hier vir die oplossing 9
1.1.4 Kenmerke van alle Funksies
Daar is baie verskillende kenmerke van grafieke wat die eienskappe van 'n spesifieke funksie se grafiek beskryf.
Hierdie eienskappe gaan behandel word in hierdie hoofstuk en is die volgende:
1. Afhanklike en onafhanklike veranderlikes
2. Definisie- en waardeversameling
3. Afsnitte met die asse
4 See the file at <http
5 See the file at <http
6 See the file at <http
7 See the file at <http
8 See the file at <http
9 See the file at <http
//siyavula.cnx.orj
//siyavula.cnx.orj
//siyavula.cnx.orj
//siyavula.cnx.orj
//siyavula.cnx.orj
//siyavula.cnx.orj
;/content
;/content
[/content
[/content
[/content
[/content
/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxc>
/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxx>
/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxa>
/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxC>
/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxl>
/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxr>
4. Draaipunte
5. Asimptote
6. Lyne/asse van simmetrie
7. Intervalle waar die funksie toeneem/afneem
8. Kontinue gedrag van funksies
Sommige van die woorde mag onbekend wees vir jou, maar elke begrip sal duidelik beskryf word. Voorbeelde
van sommige van die eienskappe word gewys in Figure 1.3.
Image not finished
Figure 1.3: (a) Voorbeeld van grafiek wat die eienskappe van 'n funksie illustreer (b) Voorbeeld van
grafiek wat die asimptote van 'n funksie illustreer. Die asimptote is die stippellyne.
1.1.4.1 Afhanklike en Onafhanklike Veranderlikes
Tot dusver het al die grafieke wat ons gesien het twee veranderlikes, 'n x-waarde en 'n y-waarde. Die y-
waarde word gewoonlik bepaal deur een of ander verband gebaseer op 'n gegewe of gekose x-waarde. Ons
noem die x-waarde die onafhanklike veranderlike, omdat die waarde vrylik gekies kan word. Die berekende
y-waarde is bekend as die afhanklike veranderlike, omdat die waarde afhanklik is van die gekose x-waarde.
1.1.4.2 Definisieversameling en Waardeversameling
Die definisieversameling (ook bekend as die gebied) van 'n verband is die stel x waardes waarvoor daar te
minste een y waarde bestaan. Die waardeversameling (ook bekend as die terrein) is die stel y waardes wat
bepaal kan word deur te minste een x waarde. Anders gestel, die definisieversameling is alle moontlike insette
en die waardeversameling is die alle moontlike uitsette.
Die definisieversameling (ook bekend as die gebied) van 'n relasie is die stel x waardes waarvoor daar
te minste een y waarde bestaan. Die waardeversameling (ook bekend as die terrein) is die stel y waardes
wat bepaal kan word deur ten minste een x waarde. Anders gestel, die definisieversameling is alle moontlike
insette en die waardeversameling is alle moontlike uitsette.
'n Ander voorbeeld is y = 2 X . Vir enige waarde van x is daar 'n waarde vir y; die definisieversameling
is dus alle reele getalle. Maar ons weet die waarde van y = 2 X kan nooit kleiner of gelyk aan wees nie.
Gevolglik is die waardeversameling alle reele getalle groter of gelyk aan 0.
Daar is twee maniere om definisie- en waardeversameling van 'n funksie te beskryf, versamelingkeurder-
notasie en intervalnotasie. Albei word gebruik in wiskunde en jy sal bekend moet wees met altwee.
1.1.4.2.1 Versamelkeurdernotasie
'n Versameling van sekere x waardes het die volgende vorm:
x : voorwaardes, nog voorwaardes (1-1)
Ons lees hierdie notasie as "die stel van alle x waarvoor die voorwaardes waar is". Byvoorbeeld, die stel van
alle positiewe reele getalle kan geskryf word as {x : x £ IR, x > 0} en dit word gelees as "die stel van alle x
waardes, waar x 'n reele getal groter as nul is."
CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
1.1.4.2.2 Intervalnotasie
Hier skryf ons 'n interval in die vorm 'laer hakie, laer getal, kommapunt, hoer getal, hoer hakie'. Ons
gebruik twee tipes hakies, reghoekige hakies [;] of ronde hakies (;). 'n Reghoekige hakie beteken die getal
word ingesluit by die interval en 'n ronde hakie beteken die getal word uitgesluit uit die interval. Hierdie
notasie kan nie gebruik word om heelgetalle in 'n interval te beskryf nie.
Indien x 'n reele getal is groter as 2 en kleiner of gelyk aan 8, is x enige getal in die interval.
(2; 8] (1.2)
Dit is duidelik dat 2 die laer getal is en 8 die hoer getal is. Die ronde hakie sluit 2 uit, omdat x groter as 2
is; die reghoekige hakie sluit 8 in, omdat x kleiner of gelyk aan 8 is.
1.1.4.3 Afsnitte met die Asse
Die afsnitte is die punte waar die grafiek die asse sny. Die x-afsnitte is die punte waar die grafiek die x-as
sny en die y-afsnit is die punt waar die grafiek die y-as sny.
In Figure 1.3(a), is A die y-afsnit en B, C en F is x-afsnitte.
Jy sal die afsnitte moet uitwerk. Die heel belangrikste ding om te onhou, is dat die x-afsnit by y = le
en die y-afsnit by x = 0.
Byvoorbeeld, bereken die afsnitte van y = 3a; + 5. Vir die y-afsnit is x = 0. Dan is die y-afsnit
Hint = 3 (0) + 5 = 5. Vir die x-afsnit y = 0. Dan word die x-afsnit bereken deur = 3xj„t + 5 op te los, met
die antwoord Xj„t = — |.
1.1.4.4 Draaipunte
Draaipunte kom net voor in grafieke van funksies waar die hoogste mag groter as 1 is. Byvoorbeeld, grafieke
van die volgende funksies sal draaipunte he:
-2 (1.3)
Daar is twee tipes draaipunte: 'n minimum en 'n maksimum. 'n Minimum is 'n punt op 'n grafiek waar die
grafiek ophou verminder en begin vermeerder. 'n Maksimum is 'n punt op 'n grafiek waar die grafiek ophou
vermeerder en begin verminder. Hierdie word geillustreer in Figure 1.4.
Image not finished
Figure 1.4: (a) Minimum (b) Maksimum
In Figure 1.3(a) is E 'n maksimum draaipunt en D 'n minimum draaipunt.
1.1.4.5 Asimptote
'n Asimptoot is 'n reguit of krom lyn, wat die grafiek sal benader, maar nooit raak nie.
In Figure 1.3(b), die y-as en die lyn h is albei asimptote, omdat die grafiek die lyne benader, maar nooit
raak nie.
/(*) =
2x 2
g(x) =
x 3 - 2x 2
h(x) =
3 X
1.1.4.6 Lyne van Simmetrie
'n Grafiek weerspieel homself in 'n simmetrielyn. Hierdie lyne mag die x- en y- asse insluit. Byvoorbeeld, in
Figure 1.5 is die simmetrie om die y-as. Die y-as is 'n simmetrie-as, omdat die grafiek gereflekteer word in
die y-as. Nie elke grafiek het 'n simmetrielyn nie.
Image not finished
Figure 1.5: Demonstrasie van 'n simmetrie as. Die y-as is 'n simmetrie as, omdat die grafiek weerspieel
is in die is y-as.
1.1.4.7 Intervalle waar Funksies vermeerder of verminder
Toe ons na draaipunte gekyk het, het ons gesien dat grafieke van 'n funksie kan begin of ophou vermeerder
of verminder by 'n draaipunt. As ons na die grafiek van Figure 1.3(a) kyk, kan ons sien dat die grafiek
vermeerder en verminder oor verskillende intervalle. Ons kan sien die grafiek se waarde neem af (die y-
waardes verminder) van punt E tot punt D en dan vermeerder dit van punt D tot +oo.
1.1.4.8 Diskrete en Kontinue Gedrag van 'n Grafiek
'n Grafiek is kontinu as daar geen spronge in die grafiek is nie. Byvoorbeeld, die grafiek in Figure 1.3(a)
word beskryf as kontinu, terwyl die grafiek in Figure 1.3(b) 'n breek het by die asimptoot, wat beteken dit
is diskontinu (diskreet).
1.1.4.8.1 Waardeversameling en Definisieversameling
1. Indien die waardeversameling van die funksie / (x) = 2x + 5 (-3; 0) is. Bepaal die definisieversameling
van /. Kliek hier vir die oplossing 10
2. As g (x) = —x 2 + 5 en x is tussen - 3 and 3, bepaal:
a. die waardeversameling van g (x)
b. die definisieversameling van g (x)
Kliek hier vir die oplossing 11
3. Dui op die onderstaande grafiek die volgende aan:
a. die x-afsnit (te)
b. die y-afsnit(te)
c. die deel waar die grafiek vermeerder
d. die deel waar die grafiek verminder
Image not finished
Figure 1.6
in
See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxY>
See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lxg>
10 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Kliek hier vir die oplossing 12
4. Dui op die onderstaande grafiek die volgende aan:
a. die x-afsnit (te)
b. die y-afsnit(te)
c. die deel waar die grafiek vermeerder
d. die deel waar die grafiek verminder
Image not finished
Figure 1.7
Kliek hier vir die oplossing 13
1.2 Die reguit lyn 14
1.2.1 Funksies in die vorm y = ax + q
Funksies met die algemene vorm y = ax + q word reguitlyniunksies genoem. In die vergelyking, y = ax + q,
is a en q konstantes en het verskillende invloede op die grafiek van die funksie. Die algemene grafiek van so
'n funksie word gegee in Figure 1.8 vir die funksie / (x) = 2x + 3.
Image not finished
Figure 1.8: Grafiek van / (x) = 2x + 3
1.2.1.1 Ondersoek: Funksies van die vorm y = ax + q
1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
a. a (x) = x — 2
b. b(x) = x — 1
c. c(x) = x
d. d(x) = x + 1
e. e (x) = x + 2
Gebruik jou resultate om die invloed van verskillende waardes van q op die resulterende grafiek af te
lei.
2. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
a. f (x) = —2.x
12 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lx4>
13 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39661/latest/http://www.fhsst.org/lx2>
14 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39654/l.l/>.
11
b. g(x)
c. h(x)
-1.x
0.x
1.x
2.x
d. j{x)
e. k [x)
Gebruik jou resultate om die invloed van verskillende waardes van a op die resulterende grafiek af te
lei.
Jy behoort te vind dat die waarde van a die helling van die grafiek bei'nvloed. Soos a vermeerder, vermeerder
die helling van die grafiek ook. Indien a > sal die grafiek vermeerder van links na regs (opwaartse helling).
Indien a < sal die grafiek verminder van links na regs (afwaartse helling). Dit is hoekom daar na a verwys
word as die helling of die gradient van 'n reguitlynfunksie.
Jy behoort ook te vind dat die waarde van q die punt bepaal waar die grafiek die y-as sny. Om hierdie
rede, staan q bekend as die y-afsnit.
Die verskillende eienskappe word opgesom in Table 1.7.
a >
q>
Image not finished
Figure 1.9
q <
Image not finished
Figure 1.11
Table 1.7: Opsomming van algemene vorms en posisies van grafieke van funksies in die vorm y = ax + q
1.2.1.2 Definisieversameling en Waardeversameling
Vir / (a;) = ax + q, is die definisieversameling {x : x € R}, omdat daar geen waarde is van x € R waarvoor
/ (x) ongedefinieerd is nie.
Die waardeversameling van f (x) = ax + q is ook {/ (x) : / (cc) € R} omdat daar geen waarde van
/ (x) g R waarvoor / (x) ongedefinieerd is nie.
Byvoorbeeld, die definisieversameling van g (x) = x — 1 is {x : x € R} omdat daar geen waardes is van
x e R waarvoor g (x) ongedefinieerd is nie. Die waardeversameling van g (x) is {g (x) : g (x) s R}.
1.2.1.3 Afsnitte
Vir funksies van die vorm, y = ax + q word die metode om die afsnitte met die x- en y-asse te bereken,
uiteengesit.
12 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Die y-afsnitte word as volg bereken:
y = ax + q
y in t = a{0)+q (1.4)
= q
Byvoorbeeld, die y-afsnit van g (x) = x — 1 word bepaal deur x = te stel en dan op te los:
g{ X ) = X-l
Vint = 0-1 (1-5)
= -1
Die x-afsnit word as volg bereken:
y = ax + q
= a ■ x int + q
(1.6)
1 ' x int — —<1
Xint = — ^
Byvoorbeeld, die x-afsnit van g (x) = x — 1 word gegee deur y = in te stel en dan op te los:
g(x) = X-l
= Xint-1 (1-7)
Xint ^
1.2.1.4 Draaipunte
Die grafiek van 'n reguitlynfunksie het nie draaipunte nie.
1.2.1.5 Simmetrie-asse
Die grafieke van reguitlynfunksies het gewoonlik nie simmerie-asse nie.
1.2.1.6 Skets van Grafieke van die vorm f (x) = ax + q
Om die grafieke van die vorm / (x) = ax + q te skets, moet ons die volgende drie eienskappe vind:
1. die teken van a
2. y-afsnit
3. a;-afsnit
Slegs twee punte word benodig om 'n reguitlyn te trek. Die maklikste punte is die x-afsnit (waar die lyn die
x-as sny) en die y-afsnit.
Byvoorbeeld, skets die grafiek van g (x) = x — 1. Merk duidelik die afsnitte.
Eerstens bereken ons dat a > 0. Dit beteken die grafiek gaan 'n opwaartse helling he.
Die y-afsnit word bepaal deur x = te stel en is vroeer bereken as y in t = — 1- Die x-afsnit word bepaal
deur y = te stel en is vroeer bereken as Xi n t = 1-
13
Image not finished
Figure 1.13: Grafiek van die funksie g (x) = X — 1
Exercise 1.3: Trek van 'n Reguitlyngrafiek (Solution on p. 30.)
Teken die grafiek van y = 2x + 2.
1.2.1.6.1 Afsnitte
1. Skryf die y-afsnitte neer vir die volgende reguitlyngrafieke:
a. y = x
b. y = x — 1
c. y = 2x — 1
d. y + 1 = 2x
Kliek hier vir die oplossing 15
2. Gee die vergelyking van die grafiek wat hieronder geskets is:
Image not finished
Figure 1.14
Kliek hier vir die oplossing 16
3. Skets die volgende verbande op dieselfde assestelsel, merk die koordinate van die afsnitte duidelik:
x + 2y — 5 = en 3a; — y — 1 =
Kliek hier vir die oplossing 17
1.3 Die parabool 8
1.3.1 Funksies van die Vorm y = ax 2 + q
Die algemene vorm en posisie van die grafiek van die funksie in die vorm / (x) = ax 2 + q, wat ons 'n parabool
noem, word gewys in Figure 1.15. Hierdie is pamboliese funksies.
1.5
See the file at <http
16 See the file at <http
17 See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m39654/latest/http:// www.fhsst.org/lxT>
//siyavula.cnx.org/content/m39654/latest/http:// www.fhsst.org/lxb>
//siyavula.cnx.org/content/m39654/latest/http:// www.fhsst.org/lxj>
18 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39657/l.l/>.
14
CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Image not finished
Figure 1.15: Grafiek van / (x) = x 2 — 1
1.3.1.1 Ondersoek: Funksies van die vorm y = ax 2
1. Trek die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
a (x)
a.
b.
c.
d.
c.
-2.x 2
1
b(x)-
c(x) -
d{x)
e(x) ■■
-1.x 2 + 1
0.x 2
■ 1.x 2
2.x 2
Gebruik jou resultate om die invloed van a af te lei.
2. Trek die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
a.
f(x) =
x 2 -2
b.
g(x) =
x 2 -l
c.
h{x) =
x 2 +
d.
i 0) =
x 2 + l
e.
k (x) =
x 2 + 2
Gebruik jou
resultate
om
die invloed
van
q af te lei
Voltooi die volgende tabel van funksiewaardes vir die funksies a tot k om jouself te help met die trek van
die bogenoemde grafieke:
X
-2
- 1
1
2
a (x)
b(x)
c{x)
d{x)
e{x)
/(*)
9{x)
h(x)
j( x )
k(x)
Table 1.8
Hierdie simulasie laat jou toe om die invloed van veranderende a- en q-waardes te visualiseer. In die
simulasie is q=c. 'n Ekstra term, bx, is ook bygesit. Jy kan dit los as 0, of jy kan die kyk wat die invloed
van bx op die grafiek is.
15
Phet simulasie vir die trek van grafieke
This media object is a Flash object. Please view or download it at
< equat ion-grapher . s wf >
Figure 1.16
Van jou grafieke behoort jy agter te kom dat a bepaal of die grafiek "glimlag" of "frons". Indien a <
sal die grafiek frons en indien o > glimlag die grafiek. Dit word geillustreer in Figure 1.17.
Image not finished
Figure 1.17: Kenmerkende vorms van parabole indien a > of a <
Jy behoort ook te vind dat die waarde van q bei'nvloed of the draaipunt bokant die y-as (q > 0)of
onderkant die y-as (q < 0) sal wees.
Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in .
a >
q>
Image not finished
Figure 1.18
continued on next page
16 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Image notjtnished
Figure 1.20
Table 1.9: Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y = ax 2 + q
1.3.1.2 Definisieversameling en Waardeversameling
Vir / (x) = ax 2 + q, is die definisieversameling {x : x G R}, omdat daar nie 'n waarde is van x G R waarvoor
/ (x) ongedefinieerd is nie.
Die waardeversameling van / (x) = ax 2 + q hang af of die waarde van a positief of negatief is. Ons sal
die twee gevalle afsonderlik hanteer.
Indien a > dan het ons:
x 2 > (die kwadraat van 'n uitdrukking is altyd positief) ax 2 > (1.8)
(vermenigvuldiging met a, 'n positiewe getal, behou die volgorde van die ongelykheid) ax 2 -
q>qf(x)>q
Dit se vir ons dat vir alle waardes van x, is / (x) altyd groter as q. Dus indien o > 0, is die waardever-
sameling van / (x) = ax 2 + q, gelyk aan {/ (x) : f (x) G [q, oo)}.
Soortgelyk, kan ons aantoon indien a < is die waardeversameling van / (x) = ax 2 + q {/ (x) : f (x) e
(— oo,g]}. Dit word gelos vir 'n oefening.
Byvoorbeeld, die gebied van g (x) = x 2 + 2 is {x : x s R} want daar is geen waarde van x G R waarvoor
g (x) ongedefinieerd is nie. Die terrein van g (x) kan as volg bereken word:
x 2 >
x 2 + 2 > 2 (1.9)
g{x) > 2
Dus die waardeversameling is gelyk aan {g (x) : g (x) G [2, oo)}.
1.3.1.3 Afsnitte
Vir die funksie van die vorm, y = ax 2 + q, is die stappe vir die berekening van die afsnitte met die x- en y-as
hieronder uiteengesit.
Die y-afsnit word as volg bereken:
y = ax 2 + q
\2
2/afsnit = a(0y + q (1.10)
17
Byvoorbeeld, die y-afsnit van g (x) = x 2 + 2 word verkry deur x = te stel, en dan:
y = ax 2 + q
= ax lisnit + 1 , in)
aX afsnit = ~1
^afsnit — V a
Indien q = het ons slegs een afsnit by x = 0.
g{x) = x 2 + 2
= Afsnit + 2 (1-12)
T 2
•" afsnit
-2
Maar, (1.12) is slegs geldig as — - > wat beteken dat of q < of a < 0. Dit stem ooreen met wat ons
verwag, omdat indien q > en a > dan is — - negatief en in hierdie geval le die grafiek bo die x-as en sny
dus nie die a;-as nie. Indien, q > en a < 0, dan is — s positief en die grafiek is in die vorm van 'n frons en
sal dan twee a;-afsnitte he. Soorgelyk, indien q < en a > sal — 2 ook positief wees, en sal die grafiek die
x-as sny.
Indien q = het ons slegs een afsnit by x = 0.
Byvoorbeeld, die x-afsnit van g (x) = x 2 + 2 word gegee deur y = te stel en dan:
g(x) = x 2 + 2
= ^ S nit + 2 (1-13)
— 2 = ^afsnit
Hierdie antwoord is nie reeel nie. Daarom het die grafiek van g (x) = x 2 + 2 geen a;-afsnitte nie.
1.3.1.4 Draaipunte
Die draaipunte van funksies van die vorm / (x) = ax 2 + q word gegee deur na die waardeversameling
van die funksie te kyk. Ons weet dat indien a > die waardeversameling van / (x) = ax 2 + q, gelyk is
aan {/ (x) : f (x) € [q,oo)} en indien a < is die waardeversameling van / (x) = ax 2 + q, gelyk aan
{f(x):f(x)e(-oo,q]}.
Indien a > 0, is die laagste waarde wat / (x) kan wees q. Ons los dan vir x op by die punt / (x) = q:
(1.14)
.'. x = by / (x) = q. Die koordinate van die (minimum) draaipunt is dan (0,q).
Soortgelyk, indien o < 0, is die hoogse waarde wat / (x) kan wees q en die koordinate van die (maksimum)
draaipunt is (0, q).
1.3.1.5 Simmetrie-asse
Daar is een simmetrie-as vir die funksie met die vorm / (x) = ax 2 + q en dit gaan deur die draaipunt. Omdat
die draaipunt op die y-as lg, is die y-as die simmetrie-as.
Q
=
ax 2 p + q
=
ax %
=
T 2
■^dp
%dp
=
18
CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
1.3.1.6 Trek Grafleke van die vorm f (x) = ax 2 + q
Om 'n grafiek te trek van die vorm, / (x) = ax 2 + q, net ons vyf eienskappe nodig:
1. die teken van a
2. die definisie- en waadeversameling
3. draaipunte
4. y-afsnit
5. a;-afsnitte
Byvoorbeeld, stip die grafiek van g (x) = —\x — 3. Merk die afsnitte, draaipunt en die simmetrie-as.
Eerstens sien ons dat a < 0. Dit beteken dat die grafiek 'n maksimum draaipunt het.
Die definisieversameling van die grafiek is {a; : x € 1R}, omdat f (x) gedefinieerd is vir alle x e M.
waardeversameling van die grafiek word bepaal as volg:
Die
It 2
2
It 2
2
> o
< o
3 < -3
fix) < -3
(1.15)
Dus is die waardeversameling van die grafiek {/ (cc) : / (x) s (—00, —3]}.
Indien ons die feit gebruik dat die maksimum waarde wat / (x) bereik -3 is, weet ons dat die y-koordinaat
van die draaipunt -3 is. Die x-koordinaat word bepaal as volg:
2 X ^
=
-|x 2 -3 + 3
=
1 T 2
2
=
Deel beide kante met — ^ '■ x2
=
l vierkantswortel beide kante : x
=
x
=
(1.16)
Die koordinate van die draaipunt is dan: (0; —3).
Die y-afsnit word bepaal deur x = te stel:
2/afsnit
-3
3
(1.17)
Die x-afsnit word bepaal deur y = te stel:
=
1 T 2
2 afsnit
3
=
_I r 2
2 afsnit
3.2
=
2
X afsnit
-6
=
2
■^•afsinii-
(1.18)
Die oplossing van die vergelyking is nie reeel nie. Daarom is daar geen x-afsnitte nie, wat beteken die funksie
sny of raak nie die ir-as nie.
Ons weet dat die y-as die simmetrie-as is.
19
Eindelik kan ons die grafiek teken. Let op dat slegs die y-afsnit gemerk is. Die grafiek het 'n maksimum
draaipunt, soos vasgestel deur die teken van a. Daar is geen x-afsnitte nie en die draaipunt is gelyk aan die
y-afsnit. Die definisievesameling is alle reele getalle en die waardeversameling is {/ (x) : f (x) € (—00, —3]}.
Image not finished
Figure 1.22: Grafiek van die funksie / (x) — —\z? — 3
Exercise 1.4: Trek van Parabole (Solution on p. 30.)
Trek die grafiek van y = 3x 2 + 5.
Die volgende video wys een manier om grafieke te trek. Let op dat die term "vertex" in die video gebruik
word vir die draaipunt.
Khan Akademie video oor paraboolgrafieke - 1
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/TgKBc3IgxlI&rel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 1.23
1.3.1.6.1 Parabole
1. Wys dat indien a < is die waardeversameling van / (x) = ax 2 + q, {/ (x) : / (x) s (—00; q]} is. Kliek
hier vir die oplossing 19
2. Trek die grafiek van die funksie y = —x 2 + 4 en toon al die afsnitte met die asse. Kliek hier vir die
oplossing 20
3. Twee parabole is geteken: g : y = ax 2 + p en h : y = bx 2 + q.
Image notjinished
Figure 1.24
a. Vind die waardes van a en p.
b. Vind die waardes van 6 en q.
c. Vind die waardes van x waarvoor ax 2 + p > bx 2 + q.
d. Vir watter waardes van x is g toenemend?
Kliek hier vir die oplossing 21
See the file at <http
19
20 See the file at <http
21 See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m39657/latest/http:// www.fhsst.org/lxD>
//siyavula.cnx.org/content/m39657/latest/http:// www.fhsst.org/lxW>
//siyavula.cnx.org/content/m39657/latest/http:// www.fhsst.org/lxZ>
20 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
1.4 Hiperboliese funksies 22
1.4.1 Funksies van die vorm y = | + q
Funksies van die vorm y = - + q staan bekend as hiperboliese funksies. Die algemene vorm van die grafiek
van die funksie word geillustreer in Figure 1.25.
Image not finished
Figure 1.25: Algemene vorm en posisie van die grafiek van 'n funksie van die vorm / (x) = - + q
1.4.1.1 Ondersoek: Funksies van die vorm y = - + q
1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
a. a (x) = =£ + 1
b. b(x) = f + l
c. c(x) = f+1
d. d(x) = 3± + l
e. e (x) = ±2 + 1
Gebruik jou resultate om die invloed van a af te lei.
2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
a. f{x) = \-2
b- g{x) = l-l
c. h(x) = - +
d- j (x) = I + 1
e. k(x) = l + 2
Gebruik jou resultate om die invloed van q af te lei.
Jy behoort te vind dat die waarde van a bepaal of die grafiek in die eeste en derde kwardrante of in die
tweede en vierde kwadrante van die Cartesiese vlak le.
Jy behoort ook te vind dat die waarde van q bepaal of die grafiek bo die x-as (q > 0) of onder die x-as
is (q < 0).
Hierdie eienskappe word opgesom in Table 1.10. Die simmetrie as vir elke grafiek word aangetoon as die
stippellyn.
2 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39667/l.l/>.
21
a >
q>
Image not jfinished
Figure 1.26
q <
Image not finished
Figure 1.28
Table 1.10: Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y = - + q
1.4.1.2 Definisieversameling en Waardeversameling
Die funksie y = - + q, is ongedefinieerd vir x = 0. Die definisieversameling is dus {i:i€l,i/0}.
Ons kan sien dat y = - + q herskryf kan word as:
y = x + i
y-q = I
As x 7^ dan : (y — q) (x) = a
x = - 2 -
(1.19)
Dit wys dat die funksie ongedefinieerd is by y = q. Die waardeversameling van / (x) = - + q is {/ (x) :
f{x)e{-oo;q)U{q;oo)}.
Byvoorbeeld, die waardeversameling van g (x) = - + 2 is {x : x s K,x ^ 0},omdat g (x) ongedefinieerd
is by x = 0.
(1.20)
y = i + 2
(w-2) = I
Asa; 7^ Odan : x (y - 2) = 2
x ~ y-2
Ons sien dat g (x) ongedefinieerd is by y = 2. Die waardeversamling is dus {g (x) : g (x) s (— oo; 2)U(2; oo)}.
1.4.1.3 Afsnitte
Vir funksies van die vorm y = - + q, word die afsnitte met die x- en y-as bereken deur x = te stel vir die
y-afsnit en deur y = te stel vir die a;-afsnit.
22 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Die y-afsnit word as volg bereken:
(1.21)
Z/afsnit = o "•" 1
Dit is ongedefinieerd omdat ons deur nul deel. Daar is dus geen y-afsnit nie.
Byvoorbeeld, die y-afsnit van g (x) = - + 2 word gegee deur x = te stel:
£/afsnit —
Dit is egter ongedefinieerd.
Die a;-afsnit word bereken deur y = te stel:
Byvoorbeeld, die x-afsnit van g (x)
!J
—
1+9
=
a
a 1 «
-.fsnit + q
a
=
-q
^afsnit
a
=
—
q(Xa.{ sn it)
^•afsnit
=
a
-1
- 2 word gekry
deur a; = te stel:
V
=
^ + 2
=
2 , o
:r a f rtnit
-2
=
2
Zafsnit
^ 1,-^afsnitJ
=
2
^-afsnit
=
2
-2
^-afsnit
=
-1
(1.23)
(1.24)
1.4.1.4 Asimptote
Daar is twee asimptote vir die funksies van die vorm y = - + q. Net 'n herinnering, 'n asimptoot is 'n lyn
wat die grafiek van 'n funksie sal nader, maar nooit aanraak nie. Die asimptote word gevind deur na die
definisieversameling en waardeversameling te kyk.
Ons het gesien dat die funksie ongedefenieer was by x = en vir y = q. Dus is die asimtote x = en
y = q-
Byvoorbeeld, die waardeversameling van g (x) = - + 2 is {x : x s K, x / 0}, omdat g (x) ongedefinieerd
is by x = 0. Ons het ook gesien dat g (x) ongedefinieerd is by y = 2. Dus is die waardeversameling
{g{x) : 5 (x)e(-oo;2)U(2;oo)}.
Hiervan kan ons aflei dat die asimptote by x = en y = 2 is.
1.4.1.5 Skets die Grafieke van die vorm / (x) = - + q
Om grafieke van funksies van die vorm / (x) = - + q te skets, het ons vier eienskappe nodig.
1. Definisieversameling en waardeversamling
2. Asimptote
3. y-afsnitte
23
4. x-afsnitte
Byvoorbeeld, die skets van die grafiek van g (x) = - + 2. Merk die afsnitte en asimptote.
Ons het vasgestel dat die definisieversameling {x : x s R, x / 0} is en die waardeversameling {g (x)
g (x) € (— oo; 2) U (2; c»)} is. Die asimptote kan dus gevind word by x = en y = 2.
Daar is geen y-afsnit nie en die x-afsnit is Xi n t = — 1.
Image not finished
Figure 1.30: Grafiek van g (x) = § + 2
Exercise 1.5: Trek van 'n Hiperbool (Solution on p. 33.)
Trek die grafiek van y = — + 7.
1.4.1.5.1 Grafieke
1. Gebruik grafiekpapier en teken die grafiek van xy = —6.
a. Le die punt (-2; 3) op die grafiek? Gee 'n rede vir jou antwoord.
b. Hoekom is die punt (-2; -3) nie op die grafiek nie?
c. As die x-waarde van 'n punt op die grafiek 0,25 is, wat is die ooreenstemmende y-waarde?
d. Wat gebeur met die y-waardes as die x-waardes baie groot word?
e. Met die lyn y = —x as 'n lyn van simmetrie, watter punt is simmetries ten opsigte van (-2; 3)?
Kliek hier vir die oplossing 23
2. Skets die grafiek van xy = 8.
a. Hoe sal die grafiek y = |x + 3 vergelyk met die grafiek van xy = 8? Verduidelik jou antwoord.
b. Skets die grafiek van y = |x + 3 op dieselfde assestelsel.
Kliek hier vir die oplossing 24
1.5 Eksponensiele funksies 25
1.5.1 Funksies van die vorm y = ab^ + q
Funksies van die vorm y = ab^ + q is bekend as eksponensiele funksies. Die algemene vorm van 'n funksie
van hierdie tipe word gewys in Figure 1.31.
23 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39667/latest/http://www.fhsst.org/lxB>
24 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39667/latest/http://www.fhsst.org/lxK>
25 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39665/l.l/>.
24
CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Image not finished
Figure 1.31: Algemene vorm en posisie van die grafiek van 'n funksie met die vorm / (a;) = av x > + <
1.5.1.1 Ondersoek: Funksies van die vorm y
Q
1. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
a. a{x) = -2.6^) + 1
b(x) = -l.b& + 1
c(x) = -0.6^ + 1
d{x) = -l.M^ + l
e(x) = -2.b^ + 1
Gebruik jou antwoorde om 'n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van a te maak.
2. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
a. f(x) = 1.6^ -2
g(x) = l.b^ - 1
h\x) = 1.6( x )+0
j(x) = 1.6^) + 1
k{x) = l.fc( x )+2
Gebruik jou antwoorde om 'n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van q te maak.
b.
c.
d.
e.
b.
c.
d.
c.
Jy sou gevind het dat die waarde van a bepaal die vorm van die grafiek, dit wil se: "Curves Upwards"
"CU" (a > 0) of "Curves Downwards" - "CD" (a < 0).
Jy sou ook gevind het die waarde van q bepaal die posisie van die y-afsnit.
Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in Table 1.11.
a >
q>
Image not finished
Figure 1.32
continued on next page
25
Image not finished
Figure 1.34
Table 1.11: Getabelleerde opsomming van algemene vorms en posisies van funksies van die vorm
y = ab^ + q
(1.25)
1.5.1.2 Definisieversameling en Waardeversameling
Vir y = ab^ + q, is die funksie gedefinieer vir alle reele waardes van x. Dus, die definisieversameling is
{x : x e R}.
Die waardeversameling van y = ab^ + q word bepaal deur die teken van a.
As a > dan:
&0) >
a ■ &(*) >
a ■ b^ + q > q
fix) > q
Dus, as a > 0, dan is die waardeversameling {/ (x) : f (x) G [q; oo)}.
As a < dan:
&(*) < o
a ■ b^ <
a ■ b^ +q < q
f(x) < q
Dus, as a < 0, dan is die waardeversameling {/ (x) : f (x) € (— oo; q}}.
Byvoorbeeld, die definisieversameling van g (x) = 3.2 X + 2 is {x : x €
2 X >
3 • 2 X >
3- 2 X + 2 > 2
Dus is die waardeversameling {g (x) : g (x) G [2; oo)}.
1.5.1.3 Afsnitte
Vir funksies van die vorm, y = ab^ + q, word die afsnitte met die x en y-as bereken deur x = te stel vir
die y-afsnit en deur y = te stel vir die £-afsnit.
(1.26)
Vir die waardeversameling,
(1.27)
26 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Die y-afsnit word as volg bereken:
y = ab^ + q
Vint = ab^ + q
(1.28)
= a(l)+q
= a + q
Byvoorbeeld, die y-afsnit van g (x) = 3.2 X + 2 word gegee deur x = te stel, om dan te kry:
(1.29)
y =
3.2 a; + 2
Vint
3.2° + 2
=
3 + 2
=
5
ie x-afsnitte word bereken deur y =
= te stel, soos
volg:
y =
ab^ + q
=
atf*™*) +q
afoOint) =
-Q
h(x int ) _
_2
(1.30)
Dit het net 'n reele oplossing as een van beide a < of q < 0. Anders, het die grafiek van die vorm
y = ab^ + q geen a;-afsnitte.
Byvoorbeeld, die x-afsnit van g (x) = 3.2 X + 2 word gegee deur y = te stel:
y
=
3- 2 X + 2
=
3 • 2*"" + 2
-2
=
3 • 2 Xint
2*irU
=
-2
3
(1.31)
en dit het geen reele oplossing nie. Dus, die grafiek van g (x) = 3.2 X + 2 het geen x-afsnitte nie.
1.5.1.4 Asimptote
Daar is een asimptoot vir funksies van die vorm y = ab^ x ' + q. Die asimptoot kan bepaal word deur die
analise van die waardeversameling.
Ons het gesien dat die terrein bepaal word deur die waarde van q. As a > 0, dan is die terrein {/ (a;) :
f(x) e [q;oo)}.
Dit wys dat die funksiewaarde neig na die waarde van qasi^ — oo. Dus die horisontale asimptoot lg
by y = q.
1.5.1.5 Sketse van Grafieke van die vorm / (x) = aW x > + q
Om grafieke te skets van funksies van die vorm, / (cc) = ab^ + q, moet ons vier eienskappe bereken:
1. Definisieversameling en Waardeversameling
2. y-afsnit
3. a;-afsnit
27
Byvoorbeeld, skets die grafiek van g (x) = 3.2 X + 2. Merk die afsnitte.
Ons het die definisieversameling bepaal om {x : x € M} te wees en die waardeversameling om {g (x) :
g (x) g (2, oo)} te wees.
Die y-afsnit is y,„ t = 5 en daar is geen a;-afsnitte.
Image not finished
Figure 1.36: Grafiek van g (x) = 3.2 X + 2
Exercise 1.6: Trek van 'n Eksponsiele Grafiek (Solution on p. 33.)
Trek die grafiek van y = — 2.3 a: + 5.
1.5.1.5.1 Eksponensiele Funksies en Grafleke
1. Skets die grafieke van y = 2 X en y = (|) op dieselfde assestelsel.
a. Is die x-as die asimptoot en/of simmetrie-as in albei grafieke? Verduidelik jou antwoord.
b. Watter grafiek word aangedui met die volgende vergelyking y = 2~ x ? Verduidelik jou antwoord.
c. Los die vergelyking 2 X = (|) met behulp van 'n skets op en kontroleer jou antwoord deur middel
van translasie.
d. Voorspel hoe die grafiek y = 2.2 a: vergelyk met y = 2 :E en teken vervolgens die grafiek van y = 2.2 :E
op dieselfde assestelsel.
Kliek hier vir die antwoord 26
2. Die kurwe van die eksponensiele funksie / in die meegaande diagram sny die y-as by die punt A(0; 1).
Die punt B(2; 4) is op /.
Image not finished
Figure 1.37
a. Bepaal die vergelyking van funksie /.
b. Bepaal die vergelyking van h, die refleksie van die kurwe van / in die x-as.
c. Bepaal die waardeversameling van h.
Kliek hier vir die oplossing
27
26 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39665/latest/http://www.fhsst.org/lxk>
27 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39665/latest/http://www.fhsst.org/lxO>
28 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
1.5.2 Opsomming
• Jy behoort die volgende kenmerke van funksies te ken:
• Die gegewe of gekose x-waarde is bekend as die onafhanklike veranderlike want die waarde van
x kan vrylik gekies word. Die berekende y-waarde staan bekend as die afhanklike veranderlike
aangesien die waarde van y afhang van die gekose waarde van x.
• Die gebied van 'n relasie is die versameling van al die x-waardes waarvoor daar ten minste een
y-waarde bestaan volgens die funksievoorskrif. Die terrein is die versameling van al die y-waardes
wat verkry kan word deur ten minste een van die x-waardes te gebruik.
• Die afsnit is die punt waar die grafiek 'n as sny. Die x-afsnit(te) is die punt(e) waar die grafiek
die x-as sny en die y-afsnit(te) is die punt(e) waar die grafiek die y-as sny.
• Slegs vir grafieke van funksies met 'n hoogste mag van groter as 1. Daar is twee tipes draaipunte:
'n minimum draaipunt en 'n maksimum draaipunt. 'n Minimum draaipunt is 'n punt op die grafiek
waar die grafiek ophou afneem in waarde en begin toeneem in waarde. 'n Maksimum draaipunt
is 'n punt op die grafiek waar die grafiek ophou toeneem in waarde en begin afneem in waarde.
• 'n Asimptoot is 'n reguitlyn of kurwe wat die grafiek van 'n funksie sal nader, maar nooit raak
nie.
• 'n Lyn ten opsigte waarvan die grafiek simmetries is.
• Die interval waar die grafiek toeneem of afneem.
• 'n Grafiek is kontinu as daar geen onderbreking in die grafiek is nie.
• Versamelingnotasie: 'n versameling van sekere x-waardes het die volgende notasie: {x : voorwaardes,
meer voorwaardes}
• Interval notasie: hier skryf ons 'n interval in die vorm 'laer hakie, laer getal, kommapunt, hoer getal,
hoer hakie'
• Jy moet die volgende funksies en hulle eienskappe ken:
• Funksies van die vorm y = ax + q. Dit is reguitlyne.
• Funksies van die vorm y = ax 2 + q. Dit staan bekend as paraboliese funksies of parabole.
• Funksies van die vorm y = - + q. Dit staan bekend as hiperboliese funksies of hiperbole.
• Funksies van die vorm y = ab^ + q. Hulle staan bekend as eksponensiele funksies.
1.5.3 Einde van Hoofstuk Oefeninge
1. Gegee die funksies / (x) = —2x 2 — 18 en g (x) = —2x + 6
a. Skets / en g op dieselfde assestelsel.
b. Bereken die snypunte van / en g.
c. Gebruik dan jou grafieke en hulle snypunte om vir x op te los wanneer:
i. /(a;)>0
ii. f -¥\ <
d. Gee die vergelyking van die refleksie van / in die x-as.
Kliek hier vir die antwoord 28
2. Nadat 'n bal neergegooi is, is die hoogte wat die bal terugbons elke keer minder. Die vergelyking
y = 5.(0, 8) x toon die verwantskap tussen x, die nommer van die bons, en y, die hoogte van die bons
vir 'n spesifieke bal. Wat is die benaderde hoogte van die vyfde bons tot die naaste tiende van 'n
eenheid ?
Kliek hier vir die oplossing 29
28 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39665/latest/http://www.fhsst.org/lx8>
29 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39665/latest/http://www.fhsst.org/lxX>
29
3. Mark het 15 muntstukke in R5- en R2-stukke. Hy het 3 meer R2-stukke as R5-stukke. Hy het 'n stelsel
van vergelykings opgestel om die situasie te toon, waar x die hoeveelheid R5-stukke voorstel en y die
hoeveelheid R2-stukke voorstel. Hy het vervolgens die probleem grafies opgelos.
a. Skryf die sisteem van vergelykings neer.
b. Skets die grafieke op dieselfde assestelsel.
c. Wat is die oplossing?
Kliek hier vir die oplossing 30
D See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39665/latest/http://www.fhsst.org/lx9>
30 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Solutions to Exercises in Chapter 1
Solution to Exercise 1.1 (p. 5)
Step 1.
/ (n) = n 2 — 6n + 9
2
/(fc-1) = (fc-1) -6(fc- l) + 9
Step 2.
= k 2
-2fc+l -
- 6k + 6 + 9
=
k 2 -8k+ 16
Ons
) het
nou
die funksie vereenvoudig interme van k.
Solut
ion
to Exercise 1.2
(p-
5)
Step 1.
fib) =
b 2 -A
>DD\f(b) =
45
Step 2.
b 2 -A
b 2 -49
b
= +7
45
x\ - 7
Solution to Exercise 1.3 (p. 13)
Step 1. Om die y-afsnit te vind, stel x = 0.
V = 2(0) + 2
2
Step 2. Om die x-afsnit te kry, stel y = 0.
Image not finished
Step 3.
Figure 1.38
Solution to Exercise 1.4 (p. 19)
Step 1. Die teken van a is positief. Die parabool sal dus 'n minimumdraaipunt he.
Step 2. Die gebied is: {x : x s K} en die terrein is: {/ (x) : f (cc) € [5, oo)}.
Step 3. Die draaipunt is by (0, q). Vir hierdie funksie is q = 5, dus die draaipunt is by (0, 5)
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
(1.36)
= 2a; + 2
2x = -2 (1.37)
x = -1
31
Step 4. By die y-afsnit is x = 0. Berekening van die y-afsnit gee:
y = 3x 2 + 5
2/int = 3(0) 2 + 5 (1.38)
2/int = 5
Step 5. Die x-afsnitte is waar y = 0. Berekening van die x-afsnitte gee:
y = 3x 2 + 5
= 3x 2 + 5 (1.39)
■t-2 _ _3
X — 5
wat nie reeel is nie. Dus is daar geen x-afsnitte nie.
Step 6. Al hierdie inligting gee vir ons die volgende grafiek:
32
CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Figure 1.39
33
Solution to Exercise 1.5 (p. 23)
Step 1. Die gebied is {s : i e K, i / 0} en die terrein is {/ (x) : f (x) e (— oo; 7) U (7; oo)}.
Step 2. Ons kyk na die gebied en die terrein om te bepaal waar die asimptote le. Van die gebied kan ons
sien dat die funksie ongedefinieerd is wanneer x = 0. Dus daar is een asimptoot by x = 0. Die ander
asimptoot word gevind vanaf die terrein. Die funksie is ongedefinieerd by y = q. Dus die tweede
asimptoot is by y = 7
Step 3. Daar is geen y-afsnit vir grafieke van hierdie vorm nie.
Step 4. Die x-afsnit is waar y = 0. Berekening van die x-afsnit gee:
y = ^ + 7
= ^ + 7
-7
(1.40)
Daar is dus een x-afsnit by (1,0).
Step 5. Al hierdie inligting gee ons die volgende grafiek:
Image notjtnished
Figure 1.40
Solution to Exercise 1.6 (p. 27)
Step 1. Die gebied is: {x : x s R} en die terrein is: {/ (x) : f (x) s (— oo; 5]}.
Step 2. Funksies van hierdie vorm het een asimptoot. Dit le by y = q. Dus die asimptoot van die grafiek is by
y = 5
Step 3. Ons kry die y-afsnit waar x = 0.
(1.41)
V =
-2.3* + 5
y =
-2.3° + 5
y =
-2(1) + 5
2/int =
7
Daar is dus een y-afsnit by (0,7).
Step 4. Die x-afsnit le by y = 0. Berekening van die x-afsnit gee:
y
=
-2.3* + 5
=
-2.3* + 5
-5
=
-2.3*
3 * int
=
5
2
^int
=
0,83
(1.42)
Dus daar is een x-afsnit by (0,83,0).
Step 5. As ons dit alles bymekaarsit, gee dit die volgende grafiek:
34 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE
Image not finished
Figure 1.41
Chapter 2
Getalpatrone
2.1 Inleiding 1
2.1.1 Getalpatrone
In vorige jare het jy patrone gesien in die vorm van prentjies en getalle. In hierde hoofstuk sal ons meer leer
van die wiskunde van patrone. Patrone is herkenbaar as herhalende reekse wat gevind kan word in die natuur,
vorms, gebeure, groepe van getalle en op baie ander plekke in ons daaglikse lewe. Byvoorbeeld, patrone kan
gevind word in die sade van sonneblomme, sneeuvlokkies, geometriese patrone op lappieskomberse en teels
en reekse getalle soos 0; 4; 8; 12; 16; ...
2.1.1.1 Ondersoek : Patrone
Kan jy die patrone her ken in die volgende reekse van getalle?
1. 2; 4; 6; 8; 10; ...
2. 1; 2; 4; 7; 11; ...
3. 1; 4; 9; 16; 25; ...
4. 5; 10; 20; 40; 80; ...
2.1.2 Algemene Getalpatrone
Reekse van getalle kan interessante patrone bevat. Die volgende is [U+0149] lys van die mees algemene
patrone en hoe hulle gevorm word.
Voorbeelde:
1. 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; ... Hierdie reeks het [U+0149] verskil van 3 tussen al die getalle. Die patroon
word gevorm deur elke keer 3 by te tel by die vorige getal.
2. 3; 8; 13; 18; 23; 28; 33; 38; ... Hierdie reeks het [U+0149] verskil van 5 tussen al die getalle. Die patroon
word gevorm deur elke keer 5 by te tel by die vorige getal.
3. 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; ... Hierdie reeks het [U+0149] faktor van 2 tussen al die getalle. Die volgende
getal in die reeks word gevorm deur die vorige een met 2 te vermenigvuldig.
4. 3; 9; 27; 81; 243; 729; 2187; ... Hierdie reeks het [U+0149] faktor van 3 tussen al die getalle. Die volgende
getal in die reeks word gevorm deur die vorige een met 3 te vermenigvuldig.
lr This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39676/l.l/>.
35
36 CHAPTER 2. GETALPATRONE
2.1.2.1 Spesiale Reekse
2.1.2.1.1 Driehoeksgetalle
1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45;...
Hierdie reekse word gevorm deur [U+0149] patroon van kolletjies wat [U+0149] driehoek vorm. Deur
nog [U+0149] ry kolletjies aan te heg (waar die elke nuwe ry een meer kolletjie bevat as die vorige een) en
die kolletjies te tel, is dit moontlik om die volgende getal in die reeks te vind.
2.1.2.1.2 Vierkantsgetalle
1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81;...
Die waarde van [U+0149] term in die reeks word gevind deur die posisie (pleknommer in die ry) te
kwadreer. Die tweede getal in die reeks is 2 kwadraat (2 2 of 2 x 2 ). Die sewende getal is 7 kwadraat
(7 2 of 7 x 7 ) ens.
2.1.2.1.3 Derdemagsgetalle
1; 8; 27; 64; 125; 216; 343; 512; 729; ...
Die waarde van [U+0149] term in die reeks word gevind deur die posisie tot die derde mag te verhef. Die
tweede getal in die reeks is 2 tot die mag 3 (2 3 of 2 x 2 x 2 ). Die sewende getal in die reeks is 7 tot die
mag 3 (7 3 of 7 x 7 x 7 ) ens.
2.1.2.1.4 Fibonacci Getalle
0;1;1;2;3;5;8;13;21;34;...
Die waarde van [U+0149] term in die reeks word gevind deur die vorige twee getalle in die reeks bymekaar
te tel. Die 2 word gevind deur die vorige twee getalle in die reeks bymekaar te tel (1 + 1). Die 21 word
gevind deur die twee getalle voor die 2 in die reeks bymekaar te tel (8 + 13). Die volgende getal in die reeks
sal 55 wees (21 + 34).
Kan jy die volgende paar getalle vind?
Khan Academy video oor getalpatrone - 1
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/Zj-a_9cd5jc&rel=0>
Figure 2.1
Exercise 2.1: Studeertafels (Solution on p. 41.)
Gestel jy en 3 vriende besluit om te studeer vir wiskunde, en dat julle om [U+0149] vierkantige
tafel sit. [U+0149] Paar minute later sluit 2 ander vriende by julle aan en hulle wil kom sit. Om
sitplek te kry vir hulle, besluit julle om [U+0149] tafel te skuif en dit langs julle tafel te sit sodat
daar genoeg sitplek is vir die 6 van julle. Daarna besluit nog 2 van jou vriende om by julle aan te
sluit en julle skuif [U+0149] derde tafel sodat daar genoeg plek is vir 8 van julle.
37
Image not finished
Figure 2.2: Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat hulle bysit.
Ondersoek hoe die aantal mense om die tafels verband hou met die aantal tafels.
2.2 Notasie 2
2.2.1 Notasie
Khan Academy video oor getalpatrone
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/_3BnyEr5fG4&rel=0>
Figure 2.3
Die n de -term van 'n reeks word geskryf as a n . So byvoorbeeld, is die eerste term van 'n reeks oi en die tiende
term van 'n reeks is ctio- [U+0149] Reeks hoef nie [U+0149] patroon te volg nie, maar wanneer dit wel 'n
patroon het, kan ons dit gewoonlik as [U+0149] formule skryf om die n de -term, a n , te bereken. In die reeks
1; 4; 9; 16; 25;... (2.1)
waar die reeks bestaan uit die vierkante van heelgetalle, is die formule vir die n de -term:
a n = n 2 (2.2)
Jy kan sien dat dit reg is deur te kyk na:
oi = l 2 = 1
a 2 = 2 2 = 4
o 3 = 3 2 = 9
a 4 = 4 2 = 16
a 5 = 5 2 = 25
(2.3)
Dus, deur (2.2) te gebruik, kan ons [U+0149] patroon van die vierkante van heelgetalle vorm.
Ons kan ook 'n konstante verskil tussen die terme bepaal vir sekere patrone.
Definition 2.1: Konstante verskil
Die konstante verskil is die verskil tussen opeenvolgende terme en word aagedui met die letter d.
2 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39674/l.l/>.
38
CHAPTER 2. GETALPATRONE
Byvoorbeeld, beskou die reeks: 10; 7; 4; 1; .... Om die gemeenskaplike verskil te vind, trek ons die betrokke
term af van die volgende term.
7-10 = -3
4-7
1 -4
(2.4)
Exercise 2.2: Studeertafel voortgesit (Solution on p. 41.)
Soos voorheen, studeer jy en 3 vriende wiskunde, en julle sit rondom [U+0149] vierkantige tafel.
[U+0149] Paar minute later besluit 2 ander vriende om by julle aan te sluit en wil kom sit en julle
sit [U+0149] ekstra tafel by sodat al 6 van julle kan sit. Weereens besluit nog 2 van jou vriende
om by julle aan te sluit en julle skuif [U+0149] derde tafel sodat daar genoeg plek is vir 8 van julle
soos in die prentjie:
Image not finished
Figure 2.4: Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat hulle bysit.
Vind [U+0149] wiskundige uitdrukking vir die getal mense wat om n tafels kan sit. Gebruik
dan die algemene formule om te bepaal hoeveel mense om 12 tafels kan sit en hoeveel tafels is nodig
sodat 20 mense kan sit.
Dit is ook belangrik om te let op die verskil tussen n en a n : n kan gesien word as 'n plekhouer, terwyl a n die
waarde is by die plek wat "gehou" word deur n. Soos in ons "Studeertafel" voorbeeld, kan 4 mense rondom
die eerste tafel (Tabel 1) sit. Dus, by plek n = 1, is die waarde van oi = 4 ensovoorts:
n
1
2
3
4
a n
4
6
8
10
Table 2.1
2.2.1.1 Ondersoek : Algemene Formule
1. Vind die algemene formule vir die volgende reekse en vind dan aio, aso en aioo:
b. 0; 4; 8; 12; 16;...
c. 2; -1; -4; -7; -10;...
2. Hieronder is die algemene formules gegee vir 'n paar reekse. Bereken die terme wat weggelaat is.
a. 0; 3;...; 15; 24 n 2 - 1
b. 3;2;l;0;...;-2 -n + 4
c. —11; ...; -7; .. .;-3 -13 + 2n
39
2.2.1.2 Patrone en Bewerings
Khan Academy video oor getalpatrone - 2
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/zIcxrhyJs6M&rel=0>
Figure 2.5
In wiskunde is 'n bewering 'n wiskundige stelling wat lyk of dit waar is, maar wat nog nie formeel as waar
bewys is nie. 'n Bewering kan gesien word as 'n intelligente raaiskoot of idee wat moontlik 'n patroon kan
wees.
Byvoorbeeld: Maak 'n bewering oor die getal wat sal volg, gebaseer op die patroon 2; 6; 11; 17 : ...
Die getalle vermeerder met 4, dan 5, dan 6.
Bewering: Die volgende getal sal vermeerder met 7. So ons verwag dat die volgende getal 17 + 7 = 24
sal wees.
Exercise 2.3: Getalpatrone (Solution on p. 42.)
Beskou die volgende patroon:
1 2 + 1 = 2 2 -2
2 2 + 2 = 3 2 - 3
3 2 + 3 = 4 2 - 4
4 2 + 4 = 5 2 -5
(2.5)
1. Voeg nog twee rye by aan die die einde van die patroon.
2. Maak 'n bewering oor die patroon en druk die bewering uit in woorde.
3. Veralgemeen die bewering vir die patroon (met ander woorde, beskryf die bewering alge-
brai'es) .
4. Bewys dat die bewering waar is.
2.2.2 Opsomming
• Daar is 'n hele paar spesiale reekse van getalle:
• Driehoeksgetalle 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45; ...
• Vierkantsgetalle 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; ...
• Derdemagsgetalle 1; 8; 27; 64; 125; 216; 343; 512; 729; ...
• Fibonacci Getalle 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...
• Die algemene formule is a n = ai + d ■ (n — 1) waar d die konstante verskil is tussen die verskillende
terme en a n is die n de -term. Ons kan 'n algemene formule uitwerk vir elke getalpatroon en dit gebruik
om te voorspel wat enige getal in die patroon sal wees.
40 CHAPTER 2. GETALPATRONE
2.2.3 Oefeninge
1. Vind die n de -term vir: 3; 7; 11; 15; ... Kliek hier vir die oplossing 3
2. Vind die algemene term vir die volgende reekse:
a. -2;1;4;7;...
b. 11; 15; 19; 23; ...
c. reeks met 03 = 7 en a 8 = 15
d. reeks met a^ = —8 en aio = 10
Kliek hier vir die oplossing 4
3. Die sitplekke in 'n gedeelte van 'n sportstadion kan so gerangskik word dat die eerste ry 15 sitplekke
het, die tweede ry 19 sitplekke, die derde ry 23 sitplekke, ens. Bereken hoeveel sitpleke is daar in ry
25. Kliek hier vir die oplossing 5
4. 'n Enkele vierkant kan gemaak word van 4 vuurhoutjies. Om twee vierkante langs mekaar te maak het
jy 7 vuurhoutjies nodig, om drie vierkante langs mekaar in 'n ry te maak het jy 10 vuurhoutjies nodig.
Bepaal:
a. die eerste term
b. die konstante verskil
c. die algemene formule
d. hoeveel vuurhoutjies benodig word om 25 vierkante langs mekaar te maak
Image not finished
Figure 2.6
Kliek hier vir die oplossing 6
5. Jy wil begin om geld te spaar, maar omdat jy dit nog nooit gedoen het nie, besluit jy om stadig te
begin. Aan die einde van die eerste week sit jy R5 in jou bankrekening, aan die einde van die tweede
week RIO, en aan die einde van die derde week R15. Na hoeveel weke sit jy R50 in jou bankrekening?
Kliek hier vir die oplossing 7
6. 'n Horisontale lyn kruis 'n tou op vier punte en deel die tou op in 5 dele, soos hieronder gewys word.
Image not finished
Figure 2.7
As die tou 19 keer gekruis word deur ewewydige lyne en elke lyn kruis die tou vier keer op verskillende
plekke, bereken in hoeveel dele die tou opgedeel word. Kliek hier vir die oplossing 8
3 See the file at <http
4 See the file at <http
5 See the file at <http
6 See the file at <http
7 See the file at <http
8 See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m39674/latest/http:// www.fhsst.org/lcl>
//siyavula.cnx.org/content/m39674/latest/http:// www.fhsst.org/lcq>
//siyavula.cnx.org/content/m39674/latest/http:// www.fhsst.org/lqi>
//siyavula.cnx.org/content/m39674/latest/http:// www.fhsst.org/lc3>
//siyavula.cnx.org/content/m39674/latest/http:// www.fhsst.org/lcO>
//siyavula.cnx.org/content/m39674/latest/http:// www.fhsst.org/lcc>
41
Solutions to Exercises in Chapter 2
Solution to Exercise 2.1 (p. 36)
Step 1
Aantal tafels, n
Aantal mense wat sitplek het
1
4 = 4
2
4 + 2 = 6
3
4+2+2=8
4
4 + 2 + 2 + 2= 10
n
4 + 2 + 2 + 2+. .. + 2
Table 2.2
Step 2. Ons kan sien dat met 3 tafels is daar plek vir 8 mense, met 4 tafels is daar plek vir 10 mense ens. Ons
begin met 4 mense en voeg elke keer 2 mense by. So, vir elke tafel wat bygevoeg word, is daar sitplek
vir nog 2 mense.
Solution to Exercise 2.2 (p. 38)
Step 1
Aantal tafels, n
Aantal mense wat kan sit
Formule
1
4 = 4
= 4 + 2 • (0)
2
4 + 2 = 6
= 4 + 2-(l)
3
4+2+2=8
= 4 + 2 • (2)
4
4 + 2 + 2 + 2= 10
= 4 + 2 • (3)
n
4 + 2 + 2 + 2 + . .. + 2
= 4 + 2-(n- 1)
Table 2.3
Step 2. Die aantal mense wat rondom n tafels kan sit, is:
a n = 4 + 2- (n- 1)
(2.6)
Step 3. Deur te kyk na die voorbeeld van die vorige gedeelte, bereken hoeveel mense kan rondom 12 tafels sit.
Ons soek vir an, dit is, waar n = 12:
0,1
Ol2
a\ + d ■ (n — 1)
4 + 2- (12- 1)
4 + 2(11)
4 + 22
26
(2.7)
42 CHAPTER 2. GETALPATRONE
Step 4.
a n
=
a\ + d ■ (n — 1)
20
=
4 + 2- (n- 1)
20-4
=
2- (n- 1)
16 -r 2
=
n — 1
8+1
=
n
n
=
9
Step 5. 26 mense kan rondom 12 tafels sit en 9 tafels
is nodig sodat 20 mense kan sit.
Solution to Exercise 2.3 (p. 39)
Step 1.
5 2
+ 5
= 6 2 -6
6 2
+ 6
= 7 2 -7
(21
(2.9)
Step 2. As 'n getal gekwadreer word en die getal dan weer by sy kwadraat getel word, is die resultaat dieselfde
as om die volgende getal te kwadreer en dan die getal af te trek van die kwadraat.
Step 3. Ons het besluit om x hier te gebruik. Jy kan enige letter kies om die patroon te veralgemeen.
x 2 + x= {x+lf- (x+ 1) (2.10)
Step 4.
Linkerkant x + x (2-H)
Regterkant : (x + if - (x + 1) (2.12)
Regterkant = ar + 2x + l — x — 1
= x 2 + x
= Linkerkant
Dus x 2 + x = (x + 1) — (x + 1)
(2.13)
Chapter 3
Finansiele wiskunde
3.1 Inleiding en enkelvoudige rente 1
3.1.1 Inleiding
As jy ooit in 'n televisie vasvra-program vasval met 'n wiskunde vraag, sal jy heel waarskynlik wens jy het
onthou hoeveel ewe priemgetalle daar tussen 1 en 100 is ter wille van die Rl 000 000. Wie wil dan nou nie
'n miljoener wees nie?
Welkom die by die Graad 10 hoofstuk oor Finansiele Wiskunde. Ons gaan wiskundige vaardighede
gebruik wat jy heel waarskynlik nou gaan nodig kry en ook op jou pad na die aankoop van jou eerste privaat
vliegtuig!
As jy die tegnieke in hierdie hoofstuk bemeester, sal jy verstaan wat saamgestelde rente is, en hoe dit
jou fortuin kan uitroei as jy kredietkaartskuld het, of hoe jy miljoene kan maak as jy jou swaar verdiende
geld suksesvol bele. Jy sal ook verstaan wat die effek is van veranderende wisselkoerse, en die gevolg daarvan
op die geld wat jy het om te spandeer tydens jou oorsese vakansie.
Voordat ons wisselkoerse bespreek, is dit nodig om te besef dat die meeste lande 'n desimale geldstelsel
gebruik. Dit beteken dat lande 'n geldstelsel gebruik wat met magte van tien werk, bv. in Suid-Afrika het
ons 100 (10 tot die mag 2) sent in 'n rand. In Amerika is daar 100 sent in 'n dollar, 'n Ander manier om dit
te se, is dat die land 'n basis geldeenheid het en 'n sub-eenheid wat 'n mag van 10 van die basis geldeenheid
is. Dit beteken dat as ons die effek van wisselkoerse ignoreer, kan ons eintlik rande met dollars vervang of
rande met ponde.
3.1.2 Stel belang in Rente
As jy Rl 000 het, kan jy dit in jou beursie hou, of jy kan dit deponeer in 'n bankrekening. As dit in jou
beursie bly, kan jy dit enige tyd uitgee wanneer jy wil. As die bank daarna kyk vir jou, kan hulle dit spandeer
met die doel om wins daaruit te maak. Die bank "betaal" jou gewoonlik om geld te deponeer in 'n rekening
om jou aan te moedig om met hulle sake te doen. Hierdie betaling is soos 'n beloning, wat vir jou die rede
is om die geld liewer in die bank te los vir 'n rukkie as om die geld in jou beursie te hou.
Ons noem hierdie beloning "rente".
As jy geld in 'n bankrekening deponeer, is jy eintlik besig om jou geld aan die bank te leen - en jy kan
verwag om rente te ontvang van die bank. Net so, as jy geld leen van 'n bank (of van 'n afdelingswinkel, of
'n motorhandelaar, byvoorbeeld) dan kan jy verwag om rente te betaal op die lening. Dit is die prys vir die
leen van geld.
Die idee is eenvoudig, en tog is dit die kern van die wereld van finansies. Boekhouers, rekenmeesters en
bankiers, byvoorbeeld, bestee hulle hele professionele loopbaan deur te werk met die gevolge van rente op
lr This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39643/l.l/>.
43
44 CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
finansiele aangeleenthede.
In hierdie hoofstuk sal jy kermis maak met die begrip van finansiele wiskunde - en ook die gereedskap
kry om selfs gevorderde begrippe en probleme te hanteer.
tip: Rente
Die begrippe in hierdie hoofstuk is eenvoudig - ons gaan na dieselfde idee kyk, maar vanuit baie verskillende
hoeke. Die beste manier om uit hierdie hoofstuk te leer, is om al die voorbeelde self te doen soos wat jy deur
die hoofstuk werk. Moenie net ons woorde glo nie!
3.1.3 Enkelvoudige Rente
Definition 3.1: Enkelvoudige Rente
Enkelvoudige rente is wanneer jy rente verdien op die aanvanklike bedrag wat jy belg het, maar
nie rente op rente nie.
As 'n maklike voorbeeld van enkelvoudige rente, dink hoeveel jy sal kry deur Rl 000 te bele vir 1 jaar by
'n bank wat vir jou enkelvoudige rente teen 5% per jaar gee. Aan die einde van die jaar sal jy rente ontvang
van:
Rente = Rl 000 x 5%
= Rl 000 x JL
100 (3.1)
= Rl 000x0,05
i?50
Dus, met 'n "aanvangsbedrag" van Rl 000 aan die begin van die jaar, sal jou "eindbedrag" aan die einde
van die jaar dan wees:
Eindbedrag = Aanvangsbedrag + Rente
M000 + i?50 (3.2)
Rl 050
Ons noem soms die aanvangsbedrag in finansiele wiskunde die Hoofsom ("Principal amount"), wat afgekort
word as P (R1000 in die voorbeeld). Die rentekoers vir die tydsinterval word gewoonlik as 'n persentasie
aangedui deur i (5% in die voorbeeld), en die bedrag aan rente verdien (in terme van rand) word aangedui
deur J (R50 in die voorbeeld).
So, ons sien dat:
1= P xi (3.3)
en
Eindbedrag = Aanvangsbedrag + Rente
P+I
= P+(Pxi)
P{l + i)
(3.4)
Dit is hoe jy enkelvoudige rente bereken. Dit is nie 'n ingewikkelde formule nie, wat ook maar goed is, want
jy gaan nog baie hiervan sien!
45
3.1.3.1 Nie slegs een termyn nie
Jy wonder miskien by jouself:
1. hoeveel rente sal jy verdien as jy die geld in die rekening los vir 3 maande, of
2. as jy dit daar los vir 3 jaar?
Dit is eintlik heel eenvoudig - dit is waarom hulle dit enkelvoudige rente noem.
1. Drie maande is 1/4 van 'n jaar, so jy sal slegs 1/4 van 'n voile jaar se rente verdien, en dit is:
1/4 x (P x i). Die eindbedrag sal dus wees:
Eindbedrag = P + 1/4 x (P x i)
' X ' (3.5)
= P(l + (l/4)»)
2. Vir 3 jaar sal jy 3 jaar se rente kry en dit is: 3 x (P x i). Die eindbedrag aan die einde van die 3 jaar
tydperk sal wees:
Eindbedrag = P + 3 x (P x i)
y ' (3.6)
= Px(l + (3)«)
As jy mooi kyk na die ooreenkomste tussen die twee antwoorde hierbo, kan jy die resultaat veralgemeeen.
As jy jou geld (P) bele in 'n rekening wat 'n rentekoers betaal van (i) vir 'n tydsinterval (n ), dan sal die
eindbedrag gelyk wees aan A :
A = P(l + i-n) (3.7)
Soos ons gesien het, dit werk wanneer n 'n gedeelte van 'n jaar is en ook wanneer n oor verskeie jare loop.
tip: Renteberekening
Jaarlikse rentekoerse beteken die koers word bereken oor 'n periode van 'n jaar, p. a. (per annum) = per
jaar.
Exercise 3.1: Enkelvoudige Rente (Solution on p. 58.)
As ek Rl 000 vir 3 jaar deponeer in 'n spesiale bankrekening wat 7% per jaar enkelvoudige rente
gee, hoeveel geld sal ek aan die einde van hierdie tydperk he?
Exercise 3.2: Bereken n (Solution on p. 58.)
As ek R30 000 deponeer in 'n spesiale bankrekening wat 7,5% enkelvoudige rente betaal, vir hoeveel
jaar moet ek hierdie bedrag bele om die bedrag van R45 000 te genereer?
3.1.3.2 Ander Toepassings van die Formule vir Enkelvoudige Rente
Exercise 3.3: Huurkoop (Solution on p. 58.)
Troy wil graag 'n ekstra hardeskyf vir sy skootrekenaar koop teen R2 500 soos dit op die internet
adverteer word. Daar is die opsie om 'n deposito van 10% van die koopprys te betaal en dan in
'n huurkoop-ooreenkoms 24 gelyke maandelikse paaiemente te betaal waar rente bereken sal word
teen 7,5% per jaar enkelvoudige rente. Bereken wat Troy se maandelikse paaiement sal wees.
Baie artikels verloor waarde soos wat hulle ouer word. Byvoorbeeld, jy betaal minder vir 'n tweedehandse
motor as vir 'n nuwe motor van dieselfde model. Hoe ouer 'n motor is, hoe minder sal jy daarvoor betaal.
Die vermindering in waarde oor tyd kan suiwer wees as gevolg van slytasie gedurende gebruik, maar dit kan
ook wees dat 'n item oorbodig raak as gevolg van die ontwikkeling van nuwe tegnologie. Byvoorbeeld, nuwe
46 CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
rekenaars wat vrygestel word, dwing die waarde van die ouer rekenaars af. Die term wat cms gebruik om die
afname in waarde van artikels te beskryf, is waardevermindering.
Waardevermindering kan soos rente op 'n jaarlikse basis bereken word en dit word dikwels gedoen vol-
gens 'n koers of persentasie verandering per jaar. Dit is soos "negatiewe" rente. Die eenvoudigste manier
om waardevermindering te bepaal, is om 'n konstante koers per jaar te aanvaar. Ons noem dit reglynige
waardevermindering. Daar is meer ingewikkelde metodes om waardevermindering te bereken, maar ons sal
nie nou daaraan aandag skenk nie.
Exercise 3.4: Waardevermindering (Solution on p. 59.)
Sewe jaar gelede het Tjad se tromstel R12 500 gekos. Dit is nou R2 300 werd. Teen watter koers
het reglynige waardevermindering plaasgevind?
3.1.3.2.1 Enkelvoudige Rente
1. 'n Bedrag van R3 500 word bele in 'n spaarrekening wat enkelvoudige rente betaal teen 'n koers van
7,5% p. a. Bereken die eindbedrag na 2 jaar.
Kliek hier vir die oplossing 2
2. Bereken die enkelvoudige rente in die volgende probleme:
a. 'n Lening van R300 teen 'n koers van 8% vir 1 jaar.
b. 'n Belegging van R225 teen 'n koers van 12,5% per jaar vir 6 jaar.
Kliek hier vir die oplossing 3
3. Ek het 'n deposito van R5 000 in die bank gemaak. Sestien jaar later was die eindbedrag van hierdie
belegging R18 000. Teen watter koers is die geld bele indien enkelvoudige rente bereken is?
Kliek hier vir die oplossing 4
4. Bongani koop 'n eetkamertafel van R8 500 op huurkoop. Hy moet enkelvoudige rente van 17,5% per
jaar betaal oor 3 jaar.
a. Hoeveel sal Bongani in totaal betaal?
b. Hoeveel rente betaal hy?
c. Wat is sy maandelikse paaiement?
Kliek hier vir die oplossing 5
3.2 Saamgestelde rente 6
3.2,1 Saamgestelde Rente
Om die begrip van saamgestelde rente te verduidelik, word die volgende voorbeeld bespreek:
Exercise 3.5: Gebruik Enkelvoudige Rente om Saamgestelde Rente te verstaan (Solution
on p. 59.)
Ek deponeer Rl 000 in 'n spesiale bankrekening wat enkelvoudige rente van 7% per jaar betaal.
Gestel ek onttrek al die geld uit die rekening aan die einde van die eerste jaar; dan neem ek die
aanvangsbedrag sowel as die rente van die eerste jaar en deponeer dit weer in dieselfde rekening aan
die begin van die tweede jaar. Dan onttrek ek alles aan die einde van die tweede jaar, en deponeer
alles weer aan die begin van die volgende jaar. Ek onttrek al die geld aan die einde van 3 jaar.
See the file at <http
2
3 See the file at <http
4 See the file at <http
5 See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m39643/latest/http:// www.fhsst.org/lcT>
//siyavula.cnx.org/content/m39643/latest/http:// www.fhsst.org/lcb>
//siyavula.cnx.org/content/m39643/latest/http:// www.fhsst.org/lcj>
//siyavula.cnx.org/content/m39643/latest/http:// www.fhsst.org/lcD>
This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39649/l.l/>.
47
In die twee uitgewerkte voorbeelde waar enkelvoudige rente gebruik is ( and Exercise 3.5 (Gebruik
Enkelvoudige Rente om Saamgestelde Rente te verstaan)), het ons basies dieselfde probleem, want P=R1
000, i=7% per jaar en n= 3 jaar vir albei probleme. Die verskil is dat ons in die tweede voorbeeld geeindig
het met Rl 225,04 wat Rl 210 meer is as in die eerste voorbeeld. Wat het verander?
In die eerste voorbeeld het ek elke jaar R70 verdien - dieselfde bedrag in die eerste, tweede en derde jaar.
In die tweede voorbeeld, toe ek die geld onttrek en weer bele het, het ek eintlik in die tweede jaar rente
verdien op die rente (R70) van die eerste jaar. (En in die derde jaar het ek rente op rente op rente verdien!)
Hierdie voorbeeld gee 'n weergawe van wat elke dag in die wfireld gebeur en dit staan bekend as
Saamgestelde Rente. Dit is die begrip wat onderliggend is aan omtrent alles wat ons doen - ons sal dit
dus vervolgens goed bestudeer.
Definition 3.2: Saamgestelde Rente
Saamgestelde rente is die rente wat bereken word op die aanvangsbedrag en op die opgeloopte
rente.
Saamgestelde rente is egter 'n swaard wat na twee kante toe sny: wonderlik as jy rente verdien op geld
wat jy bele het, maar baie erger as jy rente moet betaal op geld wat jy geleen het!
Laat ons 'n formule ontwikkel vir saamgestelde rente op dieselfde manier as wat ons 'n formule ontwikkel
het vir enkelvoudige rente.
Indien ons aanvangsbedrag P is en ons het 'n rentekoers van i per jaar, dan sal die eindbedrag aan die
einde van die eerste jaar gelyk wees aan:
Eindbedrag na 1 jaar = P (1 + i) (3-8)
Dit is dieselfde as enkelvoudige rente, want dit strek net oor een tydsinterval ('n jaar in hierdie geval). As
ons die geld dan onttrek en weer bele vir nog 'n jaar - soos wat ons in die uitgewerkte voorbeeld hierbo
gedoen het - sal die eindbedrag aan die einde van die tweede jaar as volg wees:
Eindbedrag na 2 jaar = \P (1 + i)] x (1 + i)
\ 3.9
P(l + if
As ons hierdie geld onttrek en weer vir nog 'n jaar bele, sal die eindbedrag wees:
Eindbedrag na 3 jaar = -P(l + i) X (1 + i)
(3-10)
P{l + if
Ons kan sien dat die eksponent van die term (1 + i) gelyk is aan die aantal tydsintervalle (jare in hierdie
voorbeeld.) Dus,
Eindbedrag na n jaar = P(l + i) (3-H)
48 CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
3.2.1.1 Die geheel bestaan uit kleiner dele
Dit is maklik om te bewys dat hierdie formule wel werk, selfs wanneer n 'n breuk van 'n jaar is. Byvoorbeeld:
gestel cms bele die geld vir 1 maand, dan vir 4 maande en dan vir 7 maande.
i
Eindsaldo na 1 maand = P(l + i) 12
Eindsaldo na 5 maande = Eindsaldo na 1 maand bel met 4 maande oor
[p(l + i)"] (1 + i)^
V ; (3.12)
Eindsaldo na 12 maande = Eindsaldo na 5 maande bel met 7 maande oor
P(l + i)™\ (1 + i) 15
P(l + i)^ + T5
= P(l + i)^
P{l + if
wat dieselfde is as om die geld vir 'n jaar te bele.
Kyk nou versigtig na die lang berekening hierbo. Dit is nie so ingewikkeld as wat dit lyk nie! Al wat ons
doen is om die aanvanklike bedrag (P) te neem en net 1 maand se rente by te voeg. Dan neem ons daardie
nuwe saldo en voeg 'n verdere 4 maande se rente by. Dan neem ons die saldo na al 5 maande en voeg 7
maande se rente by. Kyk weer daarna en let op hoe maklik dit eintlik is!
Lyk die finale formule bekend? Reg - dit is dieselfde resultaat as wanneer die geld vir een voile jaar bele
word. Dit is presies wat ons verwag, want:
1 maand + 4 maande + 7 maande = 12 maande, wat 'n jaar is.
Kan jy dit sien? Moenie aanbeweeg totdat jy hierdie gedeelte verstaan nie.
3.2.1.2 Die Krag van Saamgestelde Rente
Om te sien hoe belangrik "rente op rente" is, sal ons kyk na die verskil in die eindbedrae van geld wat teen
enkelvoudige rente bele is en geld wat teen saamgestelde rente bele is. Beskou 'n bedrag van RIO 000 wat
jy vir 10 jaar moet bele en aanvaar dat jy rente kan verdien teen 9% per jaar. Wat sal die waarde van die
belegging wees na 10 jaar?
Die eindbedrag indien die geld enkelvoudige rente verdien, is:
A = P(l + i-n)
= R10 000 (1 + 9% x 10) (3.13)
R19 000
Die eindbedrag indien die geld saamgestelde rente verdien, is:
A = P(l + i) n
= RIO 000(1 + 9%) 10 (3.14)
i?23 673, 64
Die volgende keer wanneer iemand praat oor die "magic" van saamgestelde rente gaan jy nie net verstaan
wat die persoon bedoel nie - jy gaan in staat wees om dit wiskundig te bewys!
49
Weereens, hou in gedagte dat dit goeie nuus en slegte nuus is. As jy rente verdien op geld wat jy bele
het, sal saamgestelde rente daartoe lei dat die bedrag eksponensieel vermeerder. Maar, as jy geld geleen het,
sal daardie bedrag ook eksponensieel groei.
Exercise 3.6: Uitneem van 'n lening (Solution on p. 60.)
Mnr Lowe wil 'n lening van R350 000 uitneem. Hy wil in totaal nie meer as R625 000 terugbetaal
aan die lening nie. Bereken vir watter tydperk hy die lening moet uitneem indien 'n rentekoers van
13% per jaar aangebied word.
3.2.1.3 Ander Toepassings van Saamgestelde Groei
Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen mense is,
hoeveel meer mense sal daar oor twee jaar in Suid-Afrika wees?
Exercise 3.7: Bevolkingsgroei (Solution on p. 60.)
Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen
mense is, hoeveel meer mense sal daar oor 2 jaar in Suid-Afrika wees?
Exercise 3.8: Saamgestelde Vermindering (Solution on p. 61.)
'n Swembad word behandel vir die opbou van alge. Aanvanklik was 50m 2 van die swembad bedek
met alge. Met elke dag van behandeling, verminder die alge met 5%. Bepaal die grootte van die
oppervlakte van die swembad wat met alge bedek is na 30 dae van behandeling.
3.2.1.3.1 Saamgestelde Rente
1. 'n Bedrag van R3 500 word bele in 'n spaarrekening wat saamgestelde rente verdien teen 7,5% per jaar.
Bereken die bedrag wat opgebou is in die rekening na verloop van 2 jaar.
Kliek hier vir die oplossing 7
2. Die gemiddelde inflasiekoers vir die afgelope aantal jaar is 7,3% per jaar en jou water- en elektrisiteit-
srekening is gemiddeld Rl 425. Bereken wat jy kan verwag om te betaal oor 6 jaar.
Kliek hier vir die oplossing 8
3. Shrek wil geld bele teen 11% per jaar saamgestelde rente. Hoeveel geld (tot die naaste rand) moet hy
bele indien hy oor 5 jaar 'n bedrag van R100 000 wil he?
Kliek hier vir die oplossing 9
Die volgende afdeling op wisselkoerse is ingesluit ter wille van volledigheid. Dit is belangrik dat jy sal weet
van fluktuerende wisselkoerse en die invloed daarvan op invoere en uitvoere. Fluktuerende wisselkoerse lei tot
faktore soos die verhoging in die koste van brandstof. Jy kan meer hieroor lees in Fluktuerende wisselkoerse.
3.3 Buitelandse wisselkoerse 10
3.3.1 Buitelandse Wisselkoerse - (Nie in CAPS, ingesluit vir volledigheid)
Is $500 ("500 US dollar") per persoon per nag 'n goeie tarief vir 'n hotel in New York? Die eerste vraag wat
jy moet vra is "Hoeveel is dit werd in rand?", 'n Vinnige oproep na die plaaslike bank of 'n navraag op die
internet (byvoorbeeld by http://www.x-rates.com/) vir die dollar/rand wisselkoers gaan vir jou 'n basis gee
om die prys te oorweeg.
7 See the file at <http
8 See the file at <http
9 See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m39649/latest/http:// www.fhsst.org/lcW>
//siyavula.cnx.org/content/m39649/latest/http:// www.fhsst.org/lcZ>
//siyavula.cnx.org/content/m39649/latest/http:// www.fhsst.org/lcB>
This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39647/l.l/>.
50
CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
'n Buitelandse wisselkoers is niks anders nie as die prys van een land se geldeenheid in terme van 'n ander
land se geldeenheid. Byvoorbeeld, 'n wisselkoers van R6,18/USD beteken dat $1 vir jou R6,18 sal kos. Met
ander woorde, as jy $1 het, kan jy dit verkoop vir R6,18; of as jy $1 wil he, sal jy R6,18 daarvoor moet
betaal.
Wat bepaal wisselkoerse, en watter faktore laat wisselkoerse verander? Hoe bei'nvloed dit jou? Hierdie
afdeling kyk na die antwoorde op hierdie vrae.
3.3.1.1 Hoeveel is Rl regtig werd?
Ons kan die prys van 'n geldeenheid in terme van enige ander geldeenheid uitdruk, byvoorbeeld, ons kan
die Japanese jen uitdruk in terme van die Indiese rupee. Die VSA dollar (USD), Britse pond (GBP) en die
Euro (EUR) is die mees algemene markstandaarde. Jy sal oplet dat die fmansiele nuus verslag doen van die
Suid-Afrikaanse wisselkoers in terme van hierdie drie groot geldeenhede.
Geldeenheid
Afkorting
Simbool
Suid-Afrikaanse Rand
ZAR
R
VSA Dollar
USD
$
Britse Pond Sterling
GBP
£
Table 3.1: Afkortings en simbole vir sommige bekende geldeenhede
Dus die Suid-Afrikaanse Rand, aangedui deur ZAR, kan op 'n sekere dag aangegee word as as 6,07040
ZAR per USD (o.a. $1,00 kos R6,07040), of 12,2374 ZAR per GBP. Dus as ek $1 000 wil spandeer tydens 'n
vakansie in die VSA, sal dit my R6 070,40 kos; en as ek £1 000 wil he vir 'n naweek in London, sal dit my
R12 237,40 kos.
Dit lyk vanselfsprekend, maar kom ons kyk hoe hierdie getalle bereken is: die koers word gegee as ZAR per
USD, of ZAR/USD sodat $1,00 'n bedrag van R6,0704 kan koop. Dus, ons moet met 1 000 vermenigvuldig
om die aantal rand per $1 000 te bepaal.
Wiskundig,
$1,00
1 000 x $1,00
R6, 0740
1 000 x ffi, 0740
RQ 074, 00
(3.15)
soos verwag.
Gestel jy het R10 000 gespaar as sakgeld vir dieselfde vakansie en jy wil dit gebruik om VSA dollars
(USD) te koop. Hoeveel USD kan jy hiervoor kry? Die koers is in ZAR/USD maar ons wil weet hoeveel
USD ons kan kry vir ons Suid-Afrikaanse rand (ZAR). Dit is maklik want ons weet hoeveel $1,00 kos in
terme van rand.
$1,00
$1,00
6,0740
tt 1,00
■" 6,0740
El, 00
R6, 0740
-R6,0740
6,0740
#1,00
<t. 1,00
"" 6,0740
$0, 164636
(3.16)
51
Soos cms kan sien, is die finale antwoord die omgekeerde van die ZAR/USD koers. Dus, vir RIO 000 sal ons
kry:
#1,00
» 1,00
'6,0740
.-. 10 000 x Rl, 00 = 10 000x$g^o_
$1646,36
Ons kan die antwoord as volg kontroleer:
$1,00 = i?6,0740
.-. 1 646, 36 x $1, 00 = 1 646, 36 x i?6, 0740
7?10 000,00
(3.17)
(3.18)
3.3.1.1.1 Ses van die een en 'n halfdosyn van die ander
Ons het dus twee verskillende maniere om dieselfde wisselkoers uit te druk: rand per dollar (ZAR/USD) en
dollar per rand (USD/ZAR). Albei wisselkoerse beteken dieselfde en druk die waarde van een geldeenheid uit
in terme van 'n ander geldeenheid. Jy kan maklik van die een na die ander een werk - hulle is omgekeerdes
van mekaar.
Aangesien die Suid-Afrikaanse rand ons binnelandse (of tuis) geldeenheid is, noem ons die ZAR/USD
koers 'n "direkte" koers, en ons noem die USD/ZAR koers 'n "indirekte" koers.
In die algemeen kan gesg word: 'n direkte koers is 'n wisselkoers waar die eenheid van die binnelandse
geldeenheid uitgedruk word per eenheid van die buitelandse geldeenheid, as volg: Buitciandsc Geldeenheid
Die rand wisselkoerse wat ons op die nuus sien, is gewoonlik uitgedruk as direkte koerse. Jy sal byvoor-
beeld sien:
Geldeenheid Afkorting
Wisselkoers
1 USD
R6,9556
1 GBP
R13,6628
1 EUR
R9,1954
Table 3.2: Voorbeelde van wisselkoerse
Die wisselkoers is die prys van elkeen van die buitelandse geldeenhede (USD, GBP en EUR) in terme van
ons binnelandse geldeenheid, die rand.
'n Indirekte wisselkoers is 'n wisselkoers waar die eenheid van die buitelandse geldeenheid uitgedruk word
in terme van eenhede van die binnelandse geldeenheid, dus Buitelandse Geldeenheid
° ' hsmnclandsc Geldeenheid
Die omskrywing van wisselkoerse as direk of indirek hang af van watter geldeenheid die binnelandse
geldeenheid is. Die binnelandse geldeenheid vir 'n Amerikaanse belegger sal dollars (USD) wees - wat vir
die Suid-Afrikaanse belegger 'n buitelandse geldeenheid is. Dus direkte koerse, vanuit die oogpunt van die
Amerikaanse belegger (USD/ZAR), is dieselfde as die indirekte koers uit die oogpunt van die Suid-Afrikaanse
belegger.
3.3.1.1.2 Terminologie
Aangesien wisselkoerse eintlik die prys van geld is, beteken 'n verandering in wisselkoers dat die prys of die
waarde van die geldeenheid verander het. Die prys van petrol verander gedurig, so ook die prys van goud en
geldeenhede se prys beweeg ook gedurig op en af.
52 CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
Wat beteken dit as die rand wisselkoers verander van bv. R6,71 per USD na R6,50 per USD? Wei, dit
beteken dat $1 nou slegs R6,50 sal kos in plaas van R6,71. Die dollar is nou goedkoper om te koop, en ons
kan se die dollar het depresieer (of verswak) teenoor die rand. Of ons kan se dat die rand appresieer (of
verstewig) het teenoor die dollar.
Gestel ons kyk na indirekte wisselkoerse en die wisselkoers verander van $0,149 per ZAR (=g^j) na
$0,1538 per ZAR (=g^).
Nou kan ons sien dat die R1,00 wat aan die begin $0,149 gekos het, aan die einde $0,1538 kos. Die rand
het duurder geword (in terme van dollar), en weer kan ons se dat die rand appresieer het.
Ons sal tot dieselfde gevolgtrekking kom, ongeag watter wisselkoers gebruik word.
In die algemeen:
• Direkte wisselkoerse: die binnelandse geldeenheid sal appresieer (depresieer) as die wisselkoers daal
(styg)
• Indirekte wisselkoerse: die binnelandse geldeenheid sal appresieeer (depresieer) as die wisselkoers styg
(daal)
Soos met alles in hierdie hoofstuk is dit belangrik om nie hierdie formules te probeer memoriseer nie - dit
gaan net lei tot verwarring. Dink oor wat jy het en wat jy wil he - en dit behoort heel duidelik te wees hoe
om die regte antwoord te kry.
3.3.1.1.2.1 Bespreking: Buitelandse Wisselkoerse
Bespreek in groepies van 5:
1. Wat moet ons weet van wisselkoerse?
2. Wat gebeur as een land se geldeenheid drasties in waarde verminder teenoor 'n ander land se geldeen-
heid?
3. Wanneer sal jy wisselkoerse gebruik?
3.3.1.2 Tussen-Geldeenheid Wisselkoerse - (nie in CAPS, ingesluit vir volledigheid)
Ons weet dat wisselkoerse die waarde van een geldeenheid uitdruk in terme van 'n ander geldeenheid en ons
kan wisselkoerse teenoor enige ander geldeenheid uitdruk. Die rand wisselkoers wat ons in die media sien,
word gewoonlik uitgedruk teenoor die belangrikste geldeenhede, USD, GBP en EUR.
Gestel byvoorbeeld, die rand wisselkoers word gegee as 6,71 ZAR/USD en 12,71 ZAR/GBP. Vertel dit
vir ons enige iets in verband met die wisselkoers tussen USD en GBP?
Wei, ek weet dat as $1 vir my R6,71 kan koop, dan is die Britse pond (GBP) sterker as die dollar (USD)
want jy gaan meer rande vir een eenheid van die geldeenheid kry. Ons kan dus die USD/GBP wisselkoers
as volg bereken:
Voordat ons enige getalle gebruik, hoe kan ek die USD/GBP wisselkoers kry uit die ZAR/USD en
ZAR/GBP wisselkoerse?
Wei,
USD/GBP = USD/ZAR x ZAR/GBP (3.19)
Let op dat die ZAR in die teller kanselleer met die ZAR in die noemer, en dat ons oorbly met die USD/GBP
wisselkoers.
Alhoewel ons nie weet wat die USD/ZAR wisselkoers is nie, weet ons dat dit net die omgekeerde is van
die ZAR/USD wisselkoers.
usd/zar =zar7usd ( 3 - 2 °)
53
As ons nou getalle instel, kry ons:
USD/GBP = USD/ZAR x ZAR/GBP
= zarTusd x ZAR/GBP
(3.21)
^x 12,71
1,894
tip: Dit kan gebeur dat daar wisselkoerse in die alledaagse lewe is wat lyk asof die nie presies so
werk soos hier verduidelik nie. Dit is gewoonlik omdat sommige fmansiele instellings ander kostes
byvoeg by die wisselkoerse en dan verander die resultate. As jy die effek van daardie ekstra kostes
sou kon verwyder, sal die getalle weer ooreenstem.
Exercise 3.9: Tussen-Geldeenheid Wisselkoerse (Solution on p. 61.)
As $1 = R 6,40, en £1 = Rll,58 wat is die $/£ wisselkoers i.e. die aantal USD per £?
3.3.1.2.1 Ondersoek: Tussen-Geldeenheid Wisselkoerse - Alternatiewe Metode
As $1 = R 6,40, en £1 = Rll,58 wat is die $/£ wisselkoers, dus die aantal USD per £?
Oorsig van die probleem
Jy het die $/£ wisselkoers nodig, met ander woorde hoeveel dollar moet jy betaal vir 'n pond. So jy het
£1 nodig. Uit die gegewe inligting weet ons dat dit jou Rll,58 sal kos om £1 te koop en dat $ 1 = R6,40.
Gebruik hierdie inligting om:
1. te bereken hoeveel Rl werd is in terme van $
2. te bereken hoeveel Rll,58 werd is in terme van $
Kry jy dieselfde antwoord as in die uitgewerkte voorbeeld?
3.3.1.3 Vir verryking: Fluktuerende Wisselkoerse
Indien almal huise wil koop in 'n sekere voorstad, sal die huispryse daar styg, want die kopers kompeteer
met mekaar om die huise te koop. As daar 'n voorstad is waar al die inwoners wil wegtrek, dan is daar baie
verkopers en dit sal daartoe lei dat die huispryse in daardie omgewing val, want die kopers hoef nie so baie
te soek om 'n gretige verkoper te kry nie.
Dit gaan alles oor vraag en aanbod - aspekte wat 'n belangrike afdeling is in die studie van Ekonomie. Jy
kan in baie verskillende kontekste hieraan dink, soos byvoorbeeld die versameling van seels. As daar 'n seel
is wat 'n klomp mense graag wil he (hoe vraag) en min mense wat die seel het (lae aanbod) dan sal daardie
seel baie duur wees.
En as jy begin wonder waarom dit van belang is, dink aan geldeenhede. As jy London toe gaan, dan het
jy rande, maar jy moet ponde "koop". Die wisselkoers is die prys wat jy gaan betaal om daardie ponde te
koop.
Dink aan 'n tyd wanneer daar baie Suid- Afrikaners is wat die Verenigde Koninkryk besoek, en ander Suid-
Afrikaners voer goedere in uit die Verenigde Koninkryk. Dit beteken dat daar baie rande (hoe aanvraag) is
wat probeer om ponde te koop. Ponde sal duurder begin raak (vergelyk dit met die voorbeeld oor huispryse
aan die begin van hierdie afdeling as jy nie oortuig is nie), en die wisselkoers sal verander. Met ander woorde,
vir Rl 000 sal jy nou minder ponde kry as wat jy sou gekry het voordat die wisselkoers verander het.
'n Ander agtergrond kan handig wees om jou te help om te verstaan: dink wat sou gebeur as mense in
ander lande dink dat Suid-Afrika 'n wonderlike plek is om te bly, en dat meer mense in Suid-Afrika wil bele
- dalk in eiendom, besighede - of dat mense meer goedere uit Suid-Afrika begin koop. Daar is dan 'n groter
54
CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
vraag na rand - en die "prys van rand" sal styg. Met ander woorde, mense het meer dollars, of ponde, of
euros nodig om dieselfde hoeveelheid rand te koop. Dit word gesien as verandering in wisselkoerse.
Alhoewel dit neerkom op vraag en aanbod, is dit interessant om te dink watter faktore die aanbod (mense
wat 'n sekere geldeenheid wil "verkoop") en die vraag (mense wat probeer om 'n ander geldeenheid te "koop")
sal bei'nvloed. Dit word in detail behandel in die studie van Ekonomie, maar laat ons hier na 'n paar basiese
aspekte kyk.
Daar is verskeie faktore wat die wisselkoers bei'nvloed. Sommige het meer ekonomiese onderbou as ander:
• ekonomiese faktore (soos inflasiesyfers, rentekoerse, handelstekort inligting, monetere beleid en fiskale
beleid)
• politieke faktore (soos 'n onseker politieke omgewing of politieke onrus)
• marksentiment en markgedrag (byvoorbeeld, as buitelandse wisselkoersmarkte 'n geldeenheid lees as
oorwaardeer en begin om die geldeenheid te verkoop, sal dit lei tot 'n daling in die waarde van die
geldeenheid - 'n selfvervullende verwagting).
Die wisselkoers bei'nvloed die prys wat ons betaal vir sekere produkte. Alle lande voer sekere goedere in
en voer ander goedere uit. Suid-Afrika, byvoorbeeld, het baie minerale (goud, platinum, ens.) wat die res
van die wereld wil he. Dus voer Suid-Afrika hierdie minerale uit na die wereld teen 'n sekere prys. Die
wisselkoers wanneer die goedere uitgevoer word, bei'nvloed hoeveel ons daarvoor kry. Op dieselfde wyse sal
enige goedere wat ingevoer word, ook bei'nvloed word deur die wisselkoers. Die prys van brandstof is 'n goeie
voorbeeld hiervan.
3.3.2 Buitelandse Verhandeling
1. Ek wil 'n MP3-speler koop wat £100 kos, en die huidige wisselkoers is tans £1
wisselkoers gaan verander na R12 binne 'n maand.
a. Hoeveel sal die MP3 speler in rand kos as ek dit nou koop?
b. Hoeveel sal ek spaar as die wisselkoers daal na i?12?
c. Hoeveel sal ek verloor as die wisselkoers verander na R15?
Kliek hier vir die oplossing 11
2. Bestudeer die volgende tabel met wisselkoerse:
RU. Ek glo die
Land
Geldeenheid
Wisselkoers
Verenigde Koninkryk(VK)
Pond(£)
RU, 13
Amerika (VSA)
Dollar ($)
i?7,04
Table 3.3
In Suid-Afrika is die koste van 'n nuwe Honda Civic iZ173 400. In Engeland kos dieselfde voertuig
£12 200 en in die VSA $ 21 900. In watter land is die voertuig die goedkoopste as jy die pryse
omskakel na Suid-Afrikaanse rand ?
Sollie en Arinda is kelners in 'n Suid-Afrikaanse restaurant wat baie oorsese toeriste lok. Sollie kry
'n £Q fooitjie van 'n toeris en Arinda kry $ 12. Hoeveel Suid-Afrikaanse rand het elkeen gekry?
Kliek hier vir die oplossing
12
11 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39647/latest/http://www.fhsst.org/lc4>
12 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39647/latest/http://www.fhsst.org/lc2>
55
3.3.3 Opsomming
•
'n Buitelandse wisselkoers is die prys van een geldeenheid in terme van 'n ander.
• Daar is twee soorte rente: enkelvoudige rente en saamgetelde rente.
• Die volgende tabel verduidelik die simbole wat in die formules vir enkelvoudige sowel as saamgestelde
rente gebruik word.
p
Aanvangsbedrag ("Principal amount") (die bedrag geld aan die begin van die transaksie)
A
Eindbedrag ("Accumulated amount") (die bedrag geld aan die einde van die transaksie)
i
rentekoers per tydsinterval
n
aantal tydsintervalle (bv. jare, maande, dae)
Table 3.4
•
•
Vir enkelvoudige rente gebruik ons:
Vir saamgestelde rente gebruik ons:
A = P{l + i-n) (3.22)
A = P(l + i) n (3.23)
tip: Sorg dat die rentekoers en die periode altyd in dieselfde tydseenhede (bv. albei in jare, of albei
in maande, ens.) uitgedruk word.
Die volgende 3 videos gee 'n opsomming oor hoe om rente te bereken. Let daarop dat hoewel die voorbeelde
met dollars gedoen word, ons die feit kan gebruik dat die dollar 'n desimale geldeenheid is net soos die rand
(ignoreer die wisselkoers). Dit is wat in die onderafdelings gedoen is.
Khan Akademie video oor rente - 1
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.eom/v/nR-8xYGJM9Q>
Figure 3.1
Khan Akademie video oor rente - 2
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/nYO9-wl42JY&rel=0>
Figure 3.2
Let Wei: Aan die einde van hierdie video word die reel van 72 genoem. Jy sal nie hierdie reel gebruik
nie, maar sal liewer die probeer-en-tref metode gebruik om die gevraagde probleem op te los.
56 CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
Khan Akademie video oor rente - 3
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/whmE_810JtA&rel=0>
Figure 3.3
3.3.4 Einde van Hoofstuk Oefeninge
1. Jy is met vakansie in Europa. Die hotel vra 200 euro per nag. Hoeveel rand het jy nodig om die
hotelrekening te betaal as die wisselkoers 1 euro = R9,20 is?
Kliek hier vir die oplossing 13
2. Bereken hoeveel rente jy sal verdien as jy R500 vir 1 jaar bele teen die volgende rentekoerse:
a. 6,85% enkelvoudige rente
b. 4,00% saamgestelde rente
Kliek hier vir die oplossing 14
3. Bianca het Rl 450 om vir 3 jaar te bele. Bank A bied 'n spaarrekening aan wat enkelvoudige rente
betaal teen 'n koers van 11% per annum. Bank B bied 'n spaarrekening aan wat saamgestelde rente
betaal teen 'n koers van 10,5% per annum. Watter bank gaan vir Bianca die spaarrekening gee met
die grootste opgeloopte bedrag aan die einde van die 3 jaar?
Kliek hier vir die oplossing 15
4. Hoeveel enkelvoudige rente is betaalbaar op 'n lening van R2 000 vir 'n jaar indien die rentekoers 10%
per jaar is?
Kliek hier vir die antwoord 16
5. Hoeveel saamgestelde rente is betaalbaar op 'n lening van R2 000 vir 'n jaar indien die rentekoers 10%
per jaar is?
Kliek hier vir die oplossing 17
6. Bespreek:
a. watter soort rente jy sal verkies as jy die lener is
b. watter soort rente jy sal verkies as jy die bankier is
Kliek hier vir die antwoord 18
7. Bereken die saamgestelde rente vir die volgende probleme:
a. 'n lening van R2 000 vir 2 jaar teen 5% per jaar
b. 'n belegging van Rl 500 vir 3 jaar teen 6% per jaar
c. 'n lening van R800 vir 1 jaar teen 16% per jaar
Kliek hier vir die oplossing 19
8. As die wisselkoers vir 100 jen = R6,2287 en 1 Australiese dollar (AUD) = R5,1094 , bepaal die
wisselkoers tussen die Australiese dollar en die Japanese jen.
Kliek hier vir die oplossing 20
See the file at <http
13
14 See the file at <http
15 See the file at <http
16 See the file at <http
17 See the file at <http
18 See the file at <http
19 See the file at <http
20 See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m39647/latest/http:// www.fhsst.org/lcK>
//siyavula.cnx.org/content/m39647/latest/http:// www.fhsst.org/lck>
//siyavula.cnx.org/content/m39647/latest/http:// www.fhsst.org/lc0>
//siyavula.cnx.org/content/m39647/latest/http:// www.fhsst.org/lc8>
//siyavula.cnx.org/content/m39647/latest/http:// www.fhsst.org/lc9>
//siyavula.cnx.org/content/m39647/latest/http:// www.fhsst.org/lcX>
//siyavula.cnx.org/content/m39647/latest/http:// www.fhsst.org/lcl>
//siyavula.cnx.org/content/m39647/latest/http:// www.fhsst.org/lc5>
57
9. Bonnie het 'n stoof gekoop vir R3 750. Na 3 jaar het sy dit klaar betaal, asook die R956,25 huurkoop-
koste. Bereken die koers waarteen enkelvoudige rente bereken is.
Kliek hier vir die oplossing 21
L See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39647/latest/http://www.fhsst.org/lcN>
58
CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
Solutions to Exercises in Chapter 3
Solution to Exercise 3.1 (p. 45)
Step 1. • Aanvangsbedrag, P = Rl 000
• Rentekoers per tydsinterval, i = 7%
• Aantal tydsintervalle, n = 3 jaar
Ons moet die eindbedrag (A) bereken.
Step 2. Ons weet vanuit (3.7) dat:
P(l + i-n)
Step 3.
A
P(l + i-n)
= Rl 000(1 + 3x7%)
= Rl 210
Step 4. Die eindbedrag nadat Rl 000 vir 3 jaar bele is teen 'n rentekoers van 7% per jaar, is Rl 210.
Solution to Exercise 3.2 (p. 45)
Step 1. • Aanvangsbedrag, P = R30 000
• Rentekoers, i = 7, 5%
• Eindbedrag, A = R45 000
Ons moet die aantal jare bereken.
Step 2. Van (3.7) weet ons dat:
(3.24)
(3.25)
Step 3.
A
RAh 000
(1 + 0,075 x n)
0,075 x n
P(l + i-n)
P(l + i-n)
= R30 000(1 + nx 7,5%)
45000
(3.26)
")
30000
n
=
1,5- 1
n
=
0,5
0,075
n
=
6,6666667
n
=
6
jaar 8 maande
(3.27)
Step 4. Vir R30 000 om te groei tot R45 000 teen 'n enkelvoudige rentekoers van 7,5%, sal 'n periode van 6
jaar en 8 maande neem. As ons gevra word vir die naaste heelgetal periode, sal ons die geld moet bele
vir 7 jaar.
Solution to Exercise 3.3 (p. 45)
Step 1. 'n Nuwe aanvangsbedrag is nodig, want die 10% deposito is kontant betaal.
10% van R 2 500 = R250
Nuwe openingsbalans, P = R2 500 - #250 = R2 250
Rentekoers, i = 7, 5%
Periode, n = 2 jaar
Ons moet die eindbedrag (A) bepaal en dan die maandelikse paaiemente bereken.
59
Step 2. Van (3.7) weet cms dat:
A = P(l + i-n) (3.28)
Step 3.
P(l + i-n)
R2 250(1 + (2 x 7,5%))
R2 587,50 (3.29)
Maandelikse paaiement = 2587, 50 -r- 24
#107,81
Step 4. Troy se maandelikse paaiment = R 107,81
Solution to Exercise 3.4 (p. 46)
Step 1. • Aanvangsbedrag, P = R12 500
• Periode (aantal tydsintervalle) , n = 7 jaar
• Eindbedrag, A = R2 300
Ons moet die rentekoers bereken (i).
Step 2. Van (3.7) weet ons dat:
A = P(l + i-n) (3.30)
Dus, vir waardevemindering sal die formule verander na:
A = P{l-i-n) (3.31)
Step 3.
A = P(l-i-n)
R2 300 = R12 500 (1 - 7 x i) (3.32)
i = 0,11657...
Step 4. Dus, die koers van waardevermindering is 11,66%
Solution to Exercise 3.5 (p. 46)
Step 1. • Aanvangsbedrag, P = Rl 000
• Rentekoers per interval, i = 7%
• Aantal tydsintervalle, 1 jaar per keer, vir 3 jaar
Ons moet bepaal wat die eindbedrag aan die einde van 3 jaar sal wees.
Step 2. Ons weet reeds dat:
A = P(l + i-n) (3.33)
Step 3.
A = P(l + i-n)
= Rl 000(1 + 1x7%) (3.34)
Rl 070
60
CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
Step 4. Aan die einde van die eerste jaar het cms al die geld onttrek en dit weer bele aan die begin van die
tweede jaar. Die aanvangsbedrag vir die tweede jaar is dus Rl 070, want dit was die eindbedrag aan
die einde van die eerste jaar.
P(l + i-ri)
Rl 070(1 + 1 x 7%)
Rl 144,90
(3.35)
Step 5. Aan die einde van die tweede jaar het ons al die geld onttrek en dit weer bele aan die begin van die
derde jaar. Die aanvangsbedrag vir die derde jaar is dus Rl 144, 90, want dit was die eindbedrag na
die tweede jaar.
P(l + i-n)
Rl 144,90(1 + 1 x 7%)
Rl 225,04
(3.36)
Step 6. Die eindbedrag op 'n belegging van Rl 000, nadat al die geld aan die einde van 'n jaar onttrek is en
weer bele is vir die volgende jaar vir 'n tydperk van 3 jaar teen 'n koers van 7% per jaar, is Rl 225,04.
Solution to Exercise 3.6 (p. 49)
Step 1. • Aanvangsbedrag, P = 7?350 000
• Eindbedrag, A = R625 000
• Rentekoers per tydsinterval, i = 13% perjaar
Ons moet die tydsduur van die lening bepaal (n).
Step 2. Ons weet vanuit (3.11) dat:
A= P(l + i)
Ons moet vir n bepaal.
Daarom verander ons die formule na:
A
P
a+o r
(3.37)
(3.38)
Step 3.
en dan bepaal ons n met probeer en tref.
A
p
625000
350000
1,785...
Probeer n =
Probeer n =
Probeer n =
Step 4. Mnr Lowe moet die lening vir 4 jaar uitneem.
Solution to Exercise 3.7 (p. 49)
Step 1. • Aanvangstotaal , P = 43 000 000
• Aantal tydsintervalle , n = 2 jaar
(i + n
(1 + 0,13)'
I
(1,13)"
(1,13) 3 =
1,44
(1,13) 4 =
1,63
(1,13) 5 =
1,84
(3.39)
61
• Groeikoers , i = 2, 5% perjaar
Ons moet die eindtotaal bepaal (A).
Step 2. Ons weet vanuit (3.11) dat:
Step 3.
P{l + i) n (3.40)
A = P(l + i) n
= 43 000 000(1 + 0, 025) 2 (3.41)
45 176 875
Step 4. Daar sal oor 2 jaar 45 176 875 - 43 000 000 = 2 176 875 meer mense in Suid-Afrika wees.
Solution to Exercise 3.8 (p. 49)
Step 1. • Aanvangsoppervlakte, P = 50m 2
• Aantal tydsintervalle , n = 30 dae
• Koers van vermindering, i = 5% perdag
Ons moet die oppervlakte bepaal wat aan die einde bedek is (A).
Step 2. Ons weet vanuit (3.11) dat:
A = P(l + i) n (3.42)
Maar ons werk met saamgestelde vermindering so ons kan die volgende formule gebruik:
Step 3.
A = P(l-i) n (3.43)
A = P(l-i)"
= 50(1 -0,05) 30 (3.44)
10,73m 2
Step 4. Die grootte van die oppervlakte wat bedek is met alge na 30 dae is 10, 73m 2 .
Solution to Exercise 3.9 (p. 53)
Step 1. Die volgende word gegee:
• ZAR/USD wisselkoers = R6,40
• ZAR/GBP wisselkoers = Rll,58
Die volgende word gevra:
• USD/GBP wisselkoers
Step 2. Ons weet dat:
USD/GBP = USD/ZAR x ZAR/GBP (3.45)
Step 3.
USD/GBP = USD/ZAR x ZAR/GBP
= zarTusd >< ZAR/GBP
^x 11,58
1,8094
(3.46)
Step 4. $ 1,8094 kan gekoop word vir £1.
62 CHAPTER 3. FINANSIELE WISKUNDE
Chapter 4
Rasionale getalle 1
4.1 Inleiding
'n Getal (soos beskryf in die hersieningshoofstuk) is 'n manier om 'n hoeveelheid voor te stel. Die getalle
wat op hoerskool gebruik sal word is almal reeel, maar daar is heelwat verskillende maniere om enige gegewe
reele getal voor te stel.
Hierdie hoofstuk beskryf rasionale getalle.
Khan Academy video oor heelgetalle en rasionale getalle (in Engels)
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/kyu-IQ-gBIg&arel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 4.1
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m38246/l.4/>.
63
64 CHAPTER 4. RASIONALE GETALLE
4.2 Die oorhoofse beskouing van getalle
Reele r
Figure 4.2
Die term "heelgetal" het nie 'n konsekwente definisie nie. Verskillende skrywers gebruik dit op verskillende
wyses. Ons gebruik die volgende definisies:
• natuurlike getalle is (1, 2, 3, ...)
• telgetalle is (0, 1, 2, 3, ...)
• heelgetalle is (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....)
4.3 Definisie
Die volgende getalle is almal rasionaal
10 21 -1 10
T' T' ^3' 20'
Jy kan sien dat al die tellers en noemers heelgetalle is.
(4.1)
Definition 4.1: Rasionale getal
'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as:
waar a en 6 heelgetalle is en b ^ 0.
65
(4.2)
(4.3)
tip: Slegs breuke wat 'n heeltallige teller en noemer het (wat nie is nie), is rasionale getalle.
Dit beteken dat alle heelgetalle rasionaal is, aangesien hulle geskryf kan word met 'n noemer van 1.
Dus is
V2 7T
~7~' 20
nie voorbeelde van rasionale getalle nie, want in elke geval is of die teller of die noemer nie 'n heelgetal nie.
'n Getal wat nie geskryf word in die vorm van 'n heelgetal gedeel deur 'n heelgetal nie kan nogtans 'n
rasionale getal wees. Dit is omdat die vereenvoudigde resultaat wel as 'n kwosient van heelgetalle geskryf
kan word. Die reel is dat indien 'n getal geskryf kan word as 'n kwosient van heelgetalle, dit rasionaal is,
selfs al kan dit op 'n manier geskryf word wat nie so 'n kwosient is nie. Hier is twee voorbeelde wat dalk nie
na rasionale getalle lyk nie, maar nogtans is, omdat daar ekwivalente vorms gevind kan word wat bestaan
uit 'n heelgetal gedeel deur 'n heelgetal:
-1,33
133
300'
6,39
-300
639
-100
213
(4.4)
4,3.1 Rasionale getalle
1. Indien a 'n heelgetal is, 6 'n heelgetal is en c irrasionaal is, watter van die volgende is rasionale
getalle?
(i)l
(ii)|
(iii) \
(iv)^
Table 4.1
Klik hier vir die oplossing 2
2. Indien y 'n rasionale getal is, watter van die volgende is geldige waardes vir al
(i) 1 (ii) -10 (iii) V2 (iv) 2,1
Table 4.2
Klik hier vir die oplossing 3
4.4 Vorme van rasionale getalle
Alle heelgetalle en heeltallige kwosiente is rasionaal. Daar is twee bykomende vorme van rasionale getalle.
2 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m38246/latest/http://www.fhsst.org/135>
3 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m38246/latest/http://www.fhsst.org/13N>
66
CHAPTER 4. RASIONALE GETALLE
4.4.1 Ondersoek: Desimale getalle
Jy kan die rasionale getal | skryf as die desimale getal 0,5. Skryf die volgende getalle as desimale getalle:
H
A - jo
5 i
4 —
100
5. |
Beskou die getalle na die desimale komma. Kom hulle tot 'n einde of gaan hulle voort? Indien hulle voortgaan,
is daar 'n herhalende patroon in die getalle?
Jy kan 'n rasionale getal as 'n desimale getal skryf. Twee tipes desimale getalle wat as rasionale getalle
geskryf kan word:
1. Desimale getalle waarvan die nie-nul getalle na die komma tot 'n einde kom of termineer, byvoorbeeld
die breuk -^ kan geskryf word as 0,4.
2. Desimale getalle wat 'n nimmereindigende herhalende patroon van getalle na die komma het, byvoor-
beeld die breuk i kan geskryf word as 0, 3. Die dot beteken dat die 3'e repeteer, m.a.w. 0, 333... = 0, 3.
Byvoorbeeld, die rasionale getal | kan in desimale notasie geskryf word as 0, 83 en soortgelyk kan die desimale
getal 0,25 soos volg as 'n rasionale getal geskryf word: |.
tip: Jy kan 'n kol oor die herhalende desimale aanbring om aan te dui dat die desimaal repeterend
is.
4.5 Omskakeling tussen terminerende desimale getalle en rasionale
getalle
'n Desimale getal het 'n heeltallige deel en 'n breukdeel. Byvoorbeeld 10, 589 het 'n heeltallige deel van 10
en 'n breukdeel van 0, 589 omdat 10 + 0, 589 = 10, 589. Die breukdeel kan geskryf word as 'n rasionale getal,
m.a.w. met 'n teller en 'n noemer wat heelgetalle is.
Elke syfer na die desimale komma is 'n breuk met 'n noemer wat 'n vermeerderende mag van 10 is.
Byvoorbeeld:
• to is 0, 1
• Too is0 ' 01
Dit beteken dat:
10,589
10-
_5_ , _8_ , 9
10 t 100 ' 1000
589
'1000
10589
10,
(4.5)
1000
4.5.1 Breuke
1. Skryf die volgende as breuke:
(a) 0,1 (b) 0, 12 (c)0,58 (d) 0,2589
Table 4.3
Klik hier vir die oplossing 4
*See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m38246/latest/http://www.fhsst.org/13R>
67
4.6 Omskakeling tussen repeterende desimale breuke en rasionale
getalle
Wanneer die desimaal repeterend is, is daar 'n bietjie meer werk nodig om die breukdeel van die desimale
getal as 'n breuk te skryf. Ons sal verduidelik aan die hand van 'n voorbeeld.
Indien ons 0, 3 in die vorm | wil skryf (waar a en b heelgetalle is), sal ons soos volg te werk gaan:
vermenigvuldie; met 10 aan beide kante
(4.6)
(trek die tweede verg. van die eerste verg. af)
X
= 0,33333...
lOx
= 3,33333...
9.T
3 I
X
3 1
9 3
iu wees om 5,432 as 'n
5,432432432...
5432,432432432
lOOOx = 5432,432432432... vermenigvuldig met 1000 aan beide kante
(4.7)
999x = 5427 (trek die tweede verg. van die eerste verg. af)
_ 5427 _ 201
X 999 37
In die eerste voorbeeld is die desimaal vermenigvuldig met 10 en in die tweede voorbeeld is dit vermenigvuldig
met 1000. Dit is omdat daar in die eerste voorbeeld slegs een repeterende syfer (nl. 3) was, terwyl die tweede
voorbeeld drie repeterende syfers (nl. 432) gehad het.
In die algemeen, as jy een repeterende syfer het, vermenigvuldig jy met 10. As jy twee repeterende syfers
het, vermenigvuldig jy met 100. Met drie syfers vermenigvuldig jy met 1000. Kan jy al die patroon raaksien?
Die aantal nulle is dieselfde as die aantal repeterende syfers.
Nie alle desimale getalle kan as rasionale getalle geskryf word nie. Hoekom nie? Irrasionale desimale
getalle soos \/2 = 1,4142135... kan nie geskryf word met 'n heeltallige teller en noemer nie, omdat daar geen
patroon van repeterende syfers is nie. Jy behoort egter, so ver moontlik, eerder rasionale getalle of breuke
as desimale getalle te gebruik.
4,6.1 Repeterende desimale notasie
1. Skryf die volgende in repeterende (herhalende) desimale notasie:
a. 0,11111111...
b. 0,1212121212...
c. 0,123123123123...
d. 0,11414541454145...
Klik hier vir die oplossing 5
2. Skryf die volgende in repeterende desimale notasie:
a
2
3 „
b 1 —
c. 4|
d. 2|
Klik hier vir die oplossing 6
3. Skryf die volgende in breukvorm:
5 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m38246/latest/http://www.fhsst.org/13U>
6 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m38246/latest/http://www.fhsst.org/13n>
68
CHAPTER 4. RASIONALE GETALLE
a. 0,6333
b. 5,313131
c. 0,999999
Klik hier vir die oplossing 7
4.7 Opsomming
1. Reele getalle is of rasionaal of irrasionaal.
2. 'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as % waar a en 6 heelgetalle is en b ^
3. Die volgende is rasionale getalle:
a. Breuke waarvan beide die teller en die noemer heeltallig is
b. Heelgetalle
c. Desimale getalle wat eindig
d. Desimale getalle wat repeteer
4.8 Oefeninge
1. Indien a 'n heelgetal is, 6 'n heelgetal is en c irrasionaal is, watter van die volgende is rasionaal?
Klik hier vir die oplossing 8
2. Skryf elkeen van die volgende as 'n onegte breuk:
a. 0,5
b. 0,12
c. 0,6
d. 1,59
e. 12,277
Klik hier vir die oplossing 9
3. Wys dat die desimaal 3,2118 'n rasionale getal is.
Klik hier vir die oplossing 10
4. Druk 0, 78 as 'n breuk | uit waar a, b e Z (wys alle stappe)
Klik hier vir die oplossing 11
7 See the file at <http
8 See the file at <http
9 See the file at <http
10 See the file at <http
"See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m38246/latest/http:// www.fhsst.org/13Q>
//siyavula.cnx.org/content/m38246/latest/http:// www.fhsst.org/13v>
//siyavula.cnx.org/content/m38246/latest/http:// www.fhsst.org/13f>
//siyavula.cnx.org/content/m38246/latest/http:// www.fhsst.org/13G>
//siyavula.cnx.org/content/m38246/latest/http:// www.fhsst.org/10f>
Chapter 5
Eksponensiale 1
5.1 Inleiding
In hierdie hoofstuk sal jy leer van 'n eenvoudiger manier om uitdrukkings soos 2x2x2x2 te skryf. Dit
staan bekend as eksponensiaalnotasie.
5.2 Definisie
Eksponensiaalnotasie is 'n kort manier om te skryf dat 'n getal meermale met homself vermenigvuldig word.
Byvoorbeeld, eerder as om te skryf 5x5x5, gebruik ons 5 3 om aan te dui dat die getal 5 drie maal met
homself vermenigvuldig word en 'n mens se "5 tot die mag 3". Soortgelyk is 5 2 dieselfde as 5 x 5 en 3 5 is
3x3x3x3x3. Laat ons beter definieer hoe om eksponensiaalnotasie te gebruik.
Definition 5.1: Eksponensiaalnotasie
Eksponensiaalnotasie verwys na 'n getal wat geskryf word as
a™ (5.1)
waar n 'n heelgetal is en a enige reele getal is. Ons noem a die grondtal en n die eksponent.
a tot die mag n is
a n = axax---xa (n— keer) (5.2)
Dit wil se, o word n keer met homself vermenigvuldig.
Ons kan ook 'n negatiewe eksponent, —n, gebruik. In hierdie geval
' (5-3)
(n— keer)
tip: Eksponente
Indien n 'n ewe getal is, sal a n altyd 'n positiewe getal wees vir enige reele getal a, behalwe 0. Byvoorbeeld,
hoewel —2 negatief is, is beide (—2) = — 2 x — 2 = 4 en (— 2)~ = _*_„ = \ positief.
lr This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37289/l.2/>.
69
70 CHAPTER 5. EKSPONENSIALE
Khan Academy video oor eksponente 1 (in Engels)
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/8htcZcaOJIA&rel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 5.1
Khan Academy video oor eksponente 2 (in Engels)
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/lNt-t9YJM8k&rel=0>
Figure 5.2
5.3 Eksponentwette
Daar is heelwat eksponentwette wat ons kan gebruik om getalle met eksponente te vereenvoudig. Sommige
van hierdie wette het ons reeds in vorige grade teegekom, maar ons sal die volledige lys hier sien en elke wet
verduidelik, sodat jy hulle kan verstaan en nie bloot memoriseer nie.
0°
=
1
a m x a n
=
a m+n
a~ n
=
a'"-
a m + a n
=
a m-n
(ab) n
=
a n b n
{a m ) n
=
n mn
(5.4)
5.3.1 Eksponente, Wet 1: a = 1
Volgens die definisie van eksponensiaalnotasie is
a =
Byvoorbeeld, x° = 1 en (1 000 000)° = 1
5.3.1.1 Toepassing van Wet 1: a = !,(«/ 0)
(o^0) (5.5)
1.
16°
2.
3.
4.
16a°
(16 + a)
(-16)°
71
5. -16°
Kliek hier vir die oplossing 2
5.3.2 Eksponente, Wet 2: a m x a n = a
m+n
Khan Academy video oor eksponente 3 (in Engels)
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/kSYJxGqOcjA&rel=0>
Figure 5.3
Die definisie van eksponensiaalnotasie wys dat
1 x a x ... x a (m— keer)
x 1 x a x ... x a (n— keer)
1 x a x ... x a (in + n— keer)
(5.6)
Byvoorbeeld,
2 7 x2 3 = (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)
2 7 + 3 (5.7)
2 10
note: Hierdie eenvoudige wet is die rede waarom eksponente oorspronklik geskep is. Voor die dae
van rekenaars moes vermenigvuldiging met potlood en papier gedoen word. Dit vat baie lank om
vermenigvuldiging te doen, maar dit is vinnig en eenvoudig om getalle bymekaar te tel. Hierdie
eksponentwet wys dat dit moontlik is om twee getalle te vermenigvuldig deur hulle eksponente
bymekaar te tel (indien hulle dieselfde grondtal het). Hierdie ontdekking het wiskundiges baie tyd
gespaar, wat hulle toe kon gebruik om iets meer produktiefs te doen.
5.3.2.1 Toepassing van Wet 2: a m x a n = a m+n
1. x 2 ■ x 5
2. 2 3 .2 4 [Neem kennis dat die grondtal (2) dieselfde bly.]
3. 3 x 3 2a x 3 2
Kliek hier vir die oplossing 3
2 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37289/latest/http://www.fhsst.org/10G>
3 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37289/latest/http://www.fhsst.org/107>
72 CHAPTER 5. EKSPONENSIALE
5.3.3 Eksponente, Wet 3: a~ n = £, o ^
Die definisie van eksponensiaalnotasie vir 'n negatiewe eksponent wys dat
a~ n = 1 -j- a -T- ... -7- a (n— keer)
w J - (n-keer) (5.8)
_ J_
a 11
Dit beteken dat 'n minus teken in die eksponent 'n alternatiewe manier is om aan te dui dat die hele
eksponensiaal gedeel eerder as vermenigvuldig moet word.
Byvoorbeeld,
2x2x2x2x2x2x2
(5.9)
5.3.3.1 Toepassing van Wet 3: a~ n = \,a ^
1 2~ 2 - - 1 -
1. Z — 22
o- 2
z - 3 2
3- (I)"
4- ^
-3 4
5. ^^
Kliek hier vir die oplossing 4
5.3.4 Eksponente, Wet 4: a m 4- o n = a m " n
Met Wet 3 het ons reeds besef dat 'n minusteken 'n manier is om te wys dat die eksponensiaal gedeel eerder
as vermenigvuldig moet word. Wet 4 is basies 'n meer algemene manier om dieselfde stelling te maak. Ons
verkry hierdie wet deur Wet 3 aan beide kante met a m te vermenigvuldig en dan Wet 2 te gebruik.
3^- = a m a~ n
(5.10)
~m~n
Byvoorbeeld,
2 7 -r-2 3
2x2x2x2x2x2x2
2x2x2
2
X 2 X 2 X
2 4
2 7-3
2
(5.11)
*See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37289/latest/http://www.fhsst.org/lcx>
73
Khan Academy video oor eksponente 4 (in Engels)
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.eom/v/tvj42WdKlH 4&rel=0>
Figure 5.4
5.3.4.1 Toepassing van Wet 4: a m -=- a n = a m "
1. 4 = a 6 ~ 2
Q 2
2 —
z - 3 6
o 32a 2
°- 4a 8
*■ a 4
Kliek hier vir die oplossing 5
5.3.5 Eksponente, Wet 5: (ab) n = a n b n
Die volgorde waarin twee getalle vermenigvuldig word, is onbelangrik. Dus,
(ab) n = axbxaxbx...xaxb (n— keer)
= a x a x ... x a (n— keer)
x b x b x ... x b (n— keer)
a n b n
Byvoorbeeld,
(2 • 3) 4 = (2 • 3) x (2 • 3) x (2 • 3) x (2 • 3)
= (2x2x2x2)x(3x3x3x3)
(2 4 ) x (3*)
2 4 3 4
5.3.5.1 Toepassing van Wet 5: (06)" = a n b n
1. {2xyf = 2 3 x 3 y 3
2- Cff
3. (5a) 3
Kliek hier vir die oplossing 6
5 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37289/latest/http://www.fhsst.org/10A>
6 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37289/latest/http://www.fhsst.org/10s>
(5.12)
(5.13)
74
CHAPTER 5. EKSPONENSIALE
5.3.6 Eksponente, Wet 6: (a m ) n = a mn
Dit is moontlik om die eksponensiaal van 'n eksponensiaal te bereken. Die eksponensiaal van 'n getal is 'n
reele getal. So, selfs al klink die eerste sin ingewikkeld, beteken dit bloot dat 'n mens die eksponensiaal van
'n getal bereken en dan die eksponensiaal van die resultaat bereken.
Byvoorbeeld,
(O r
a x a x ... x a
a mn
(n— keer)
(m x n— keer)
(5.14)
(2 2 ) 3 = (2 2 ) x (2 2 ) x (2 2 )
= (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2)
(2«)
_ 2( 2x3 )
(5.15)
5.3.6.1 Toepassing van Wet 6: (a m )™ = a mn
1. (x 3 ) 4
2. [(a^) 3 ] 2
3. (3"+ 3 ) 2
Kliek hier vir die oplossing 7
Exercise 5.1: Vereenvoudig die eksponente
Vereenvoudig: 152 ^_ 3 —
(Solution on p. 77.)
5.3.6.2 Ondersoek: Eksponensiale
Skryf die korrekte antwoord in the Antwoord kolom. Die beskikbare antwoorde is: |, 1, — 1, — |.
Antwoorde mag herhaal word.
Vraag
Antwoord
2 3
^3-3
(1)"
g 7-6
(-3)- 1
(-1) 23
Table 5.1
7 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37289/latest/http://www.fhsst.org/106>
75
Die volgende video gee 'n voorbeeld van hoe om sommige van die konsepte wat in hierdie hoofstuk gedek
is, te gebruik.
Khan Academy video oor eksponente 5 (in Engels)
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/AbmQNC-iE84&rel=0>
Figure 5.5
5.4 Hoofstukoefeninge
1. Vereenvoudig so ver as moontlik.
a. 302°
b. 1°
c. (xyz)
d. [(3x 4 y 7 z 12 ) 5 (-5x 9 y 3 z A ) 2 }
e. (2a;) 3
i. (-2a;) 3
h. (-2a;) 4
Kliek hier vir die oplossing 8
2. Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik. Skryf antwoorde met positiewe eksponente.
a 3x ~ 3
a - (3z) 2
b. 5a; + 8- 2 - (±) 2 • l x
c 5^
c- 5 i,+i
Kliek hier vir die oplossing 9
3. Vereenvoudig en wys alle stappe.
a.
b.
c.
d.
c.
f
1 - 22 2a =- 1 -3 2x
2 o-2 go+3
6°
a 2m +" +p
a m + n + p. a m
3"-9" -3
27™ - 1
2 3x-1 .8 a=+1
42a! -2
6 2x -ll 2x
Kliek hier vir die oplossing 10
4. Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.
(-3)- 3 -(-3) 2
a - (-3)"^
8 See the file at <http
9 See the file at <http
10 See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m37289/latest/http:// www.fhsst.org/lOJ>
//siyavula.cnx.org/content/m37289/latest/http:// www.fhsst.org/lOu>
//siyavula.cnx.org/content/m37289/latest/http:// www.fhsst.org/lOS>
76
CHAPTER 5. EKSPONENSIALE
b. (3~ 1 + 2-
gn-l, 27 3-2r.
C - 81 2 ""
4 3 „
Kliek hier vir die oplossing
11
L See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37289/latest/http://www.fhsst.org/10h>
77
Solutions to Exercises in Chapter 5
Solution to Exercise 5.1 (p. 74)
Step 1.
Step 2.
Step 3.
5 2 '- 1 - (3 2 ) x ~ 2
(5.16)
(5.17)
(5.3) 2 — 3
5 2x-l. 3 2x-4
52x-3_32a:-3
5 2x -
-l-2a;+3 , o2a:-4-2a;+3
52-3- 1
25
~ y
(5.18)
78 CHAPTER 5. EKSPONENSIALE
Chapter 6
Benadering van Wortelgetalle 1
6.1 Inleiding
Jy behoort reeds te weet wat die ride magswortel van 'n getal is. Indien die ride magswortel van 'n getal nie as
'n rasionale getal geskryf kan word nie, noem ons dit 'n wortelgetal. Byvoorbeeld, \/2 en -^6 is wortelgetalle,
maar y/i is nie 'n wortelgetal nie, aangesien ons dit kan vereenvoudig tot die rasionale getal 2.
In hierdie hoofstuk gaan ons slegs wortelgetalle van die vorm y/a ondersoek, waar n 'n positiewe heelgetal
en a enige positiewe getal is, byvoorbeeld \fl en \fh. Dit is algemeen dat n = 2 en daarom skryf ons yfa in
plaas van tfa want dit is makliker om te lees.
Dit is soms nuttig om 'n wortelgetal te benader sonder om 'n sakrekenaar te gebruik. Ons wil, byvoor-
beeld, kan benader waar \/3 op die getallelyn le. Met 'n sakrekenaar kan ons bereken \/3 = 1,73205... en
\/3 is dus tussen 1 en 2. Om sonder 'n sakrekenaar te bepaal waar ander wortelgetalle, soos -\/l8, op die
getallelyn le, moet jy eers die volgende verstaan:
note: As a en b positiewe getalle is met a < b, is yfa < y/b. (Uitdaging: Kan jy verduidelik
waarom dit die geval is?)
Gebruik jou sakrekenaar om hierdie stelling te toets vir 'n paar getalle.
Hoe kan ons hierdie reel gebruik om -\/l8 te benader? Eerstens, weet ons dat 18 < 25. Met ons reel weet
ons nou ook dat \/l8 < \/25. Aangesien 5 2 = 25, is \/25 = 5 en ons weet dat -\/l8 < 5. Nou het ons reeds
'n beter idee van waar \/l8 op die getallelyn voorkom.
Ons kan nou dieselfde reel gebruik, maar hierdie keer met 18 aan die regterkant. Aangesien 16 < 18 en
deur die reel te gebruik, weet ons dat \/l6 < a/18- Maar ons weet ook dat 16 'n volkome vierkant is en
Vl6 = 4. Dus weet ons dat 4 < vT8.
Met hierdie twee stappe weet ons nou dat -\/l8 tussen 4 en 5 le. 'n Sakrekenaar sal jou wys dat \/l8 =
4, 1231... wat bevestig dat ons reg is! Die basiese idee is om volkome vierkante naby aan 18 te gebruik om
te bepaal waar dit op die getallelyn le. Ons het die grootste volkome vierkant kleiner as 18 gevind, naamlik
4 2 = 16, en die kleinste volkome vierkant groter as 18, naamlik 5 2 = 25. Hier is 'n kort oorsig van wat 'n
volkome vierkant en 'n volkome derdemag is:
note: 'n Volkome vierkant is die getal wat verkry word wanneer 'n heelgetal met homself ver-
menigvuldig word. Byvoorbeeld, 9 is 'n volkome vierkant aangesien 3 2 = 9. Soortgelyk is 'n
volkome derdemag die getal wat verkry word wanneer 'n heelgetal tot die derde mag verhef word.
Byvoorbeeld, 27 is 'n volkome derdemag aangesien 3 3 = 27.
Om dit makliker te maak om ons reel te gebruik, kan ons 'n lys van volkome vierkante en derdemagte
saamstel.
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37421/l.4/>.
79
80
CHAPTER 6. BENADERING VAN WORTELGETALLE
Heelgetal
Volkome Vierkant
Volkome Derdemag
1
1
1
2
4
8
3
9
27
4
16
64
5
25
125
6
36
216
7
49
343
8
64
512
9
81
729
10
100
1000
Table 6.1: Enkele volkome vierkante en derdemagte.
Gegee die wortelgetal \/52, behoort jy te kan sien dat dit iewers tussen 3 en 4 le op die getallelyn,
aangesien -^27 = 3 en s/64 = 4 en 52 tussen 27 en 64 is. Jou sakrekenaar sal dit bevestig: \/52 = 3, 73....
Exercise 6.1: Benadering van Wortelgetalle (Solution on p. 82.)
Vind die opeenvolgende heelgetalle wat weerskante van \/26 le.
(Onthou dat opeenvolgende heelgetalle met 1 verskil, byvoorbeeld 5 en 6, of 8 en 9.)
Exercise 6.2: Benadering van Wortelgetalle (Solution on p. 82.)
V49 le tussen:
(a) 1 en 2 (b) 2 en 3 (c) 3 en 4 (d) 4 en 5
Table 6.2
6.2 Hoofstukoefeninge
1.
V5 le tussen
(a) 1 en 2
(b) 2 en 3
(c) 3 en 4
(d) 4 en 5
Kliek hier vir die oplossing 2
2.
y/l0 le tussen
(a) 1 en 2
(b) 2 en 3
(c) 3 en 4
(d) 4 en 5
Kliek hier vir die oplossing 3
3.
\/20 le tussen
(a) 2 en 3
(b) 3 en 4
(c) 4 en 5
(d) 5 en 6
Kliek hier vir die oplossing 4
4.
V30 le tussen
(a) 3 en 4
(b) 4 en 5
(c) 5 en 6
(d) 6 en 7
Kliek hier vir die oplossing 5
5.
y5 le tussen
(a) 1 en 2
(b) 2 en 3
(c) 3 en 4
(d) 4 en 5
Kliek hier vir die oplossing 6
6.
\/l0 le tussen
(a) 1 en 2
(b) 2 en 3
(c) 3 en 4
(d) 4 en 5
Kliek hier vir die oplossing 7
7.
s/20 le tussen
(a) 2 en 3
(b) 3 en 4
(c) 4 en 5
(d) 5 en 6
Kliek hier vir die oplossing 8
8.
V^30 le tussen
(a) 3 en 4
(b) 4 en 5
(c) 5 en 6
(d) 6 en 7
Kliek hier vir die oplossing 9
Table 6.3
81
1. Vind twee opeenvolgende heelgetalle wat weerskante van \fl le op die getallelyn. Kliek hier vir die
oplossing 10
2. Vind twee opeenvolgende heelgetalle wat weerskante van \/l5 le op die getallelyn. Kliek hier vir die
oplossing 11
2 http://fhsst.org/lqr
3 http://fhsst.org/lqY
4 http://fhsst.org/lqg
5 http://fhsst.org/lq4
6 http://fhsst.org/lq2
7 http://fhsst.org/lqT
8 http://fhsst.org/lqb
9 http://fhsst.org/115
10 http://fhsst.org/lqW
"httpV/fhsst.org/lql
82 CHAPTER 6. BENADERING VAN WORTELGETALLE
Solutions to Exercises in Chapter 6
Solution to Exercise 6.1 (p. 80)
Step 1. Dit is 5 2 = 25. Daarom 5 < \/26-
Step 2. Dit is 6 2 = 36. Daarom V26 < 6.
Step 3. Die antwoord is 5 < V26 < 6.
Solution to Exercise 6.2 (p. 80)
Step 1. Indien 1 < v49 < 2, is die derdemagte van al die getalle 1 < 49 < 2 3 . Vereenvoudig: 1 < 49 < 8 wat
vals is. Dus le \/49 nie tussen 1 en 2 nie.
Step 2. Indien 2 < v^49 < 3, is die derdemagte van al die getalle 2 3 < 49 < 3 3 . Vereenvoudig: 8 < 49 < 27
wat vals is. Dus le -^49 nie tussen 2 en 3 nie.
Step 3. Indien 3 < \/49 < 4, is die derdemagte van al die getalle 3 3 < 49 < 4 3 . Vereenvoudig: 27 < 49 < 64
wat waar is. Dus le s/49 tussen 3 en 4.
Chapter 7
Irrasionale Getalle en Afronding 1
7.1 Inleiding
Jy het reeds gesien dat baie ink en papier nodig sou wees om repeterende desimale getalle neer te skryf. Dis
nie net onmoontlik om hierdie getalle neer te skryf nie, maar om enige getal tot baie desimale plekke of met
hoe akkuraatheid neer te skryf, is gewoonlik onprakties. Daarom benader ons dikwels 'n getal tot 'n sekere
aantal desimale plekke of, selfs beter, tot 'n sekere aantal beduidende syfers.
7.2 Irrasionale Getalle
Irrasionale getalle is getalle wat nie as 'n breuk met 'n heeltallige teller en noemer geskryf kan word nie. Dit
beteken dat enige getal wat nog 'n eindige nog 'n herhalende desimale getal is, irrasionaal is. Voorbeelde
van irrasionale getalle is:
A V3, #4, 7T,
i^ ~ 1,618 033 989
tip: Wanneer irrasionale getalle in desimaalnotasie geskryf word, het hulle 'n oneindige aantal
desimale syfers wat nooit herhaal nie.
As jy gevra word om uit te werk of 'n getal rasionaal of irrasionaal is, skryf eers die getal in desimaalnotasie.
As die desimaal eindig, is die getal rasionaal. As dit vir ewig aanhou, soek vir 'n herhalende syferpatroon.
As daar geen patroon is nie, is die getal irrasionaal.
As jy 'n irrasionale getal in desimaalnotasie skryf, kan jy (as jy baie tyd en papier het!) aanhou skryf vir
baie, baie syfers. Dit is egter ongeriefliek en 'n mens rond gewoonlik af.
7.2.1 Ondersoek: Irrasionale Getalle
Watter van die volgende getalle is irrasionaal?
Onthou: 'n Rasionale getal is 'n breuk met 'n heeltallige teller en noemer. Eindige en herhalende
desimale getalle is rasionaal.
1. 7T = 3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510...
2. 1,4
3. 1,618 033 989...
4. 100
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37420/l.3/>.
83
84 CHAPTER 7. IRRASIONALE GETALLE EN AFRONDING
7.3 Afronding
Afronding van 'n desimale getal tot 'n sekere aantal desimale plekke is 'n eenvoudige manier om die benaderde
waarde van 'n desimale getal te vind. As jy byvoorbeeld 2,6525272 wil afrond tot drie desimale plekke, tel
jy drie plekke na die desimale komma af en plaas 'n | tussen die derde en die vierde syfer na die desimale
komma.
2,652|5272 (7.2)
Nadat jy vasgestel het of die syfer in die derde desimale plek na bo of na onder afgerond moet word, word
al die syfers aan die regterkant van die | gei'gnoreer. Jy rond die finale syfer na bo af as die eerste syfer na
die | groter of gelyk is aan 5, andersins rond jy na onder af (los die syfer onveranderd) . Wanneer die eerste
syfer links van die | 'n 9 is en jy moet boontoe afrond, dan word die 9 'n en die tweede syfer links van die
| word boontoe afgerond.
Dus, aangesien die eerste syfer na die | 'n 5 is, moet ons afrond na bo en die derde desimaal na die komma
word 3. Die antwoord is dus
2,653 (7.3)
Exercise 7.1: Afronding (Solution on p. 86.)
Rond die volgende getalle af:
1. ^§ = 1,21212121212 tot 3 desimale plekke
2. 7T = 3, 141592654... tot 4 desimale plekke
3. a/3 = 1,7320508... tot 4 desimale plekke
4. 2,78974526... tot 3 desimale plekke
7.4 Hoofstukoefeninge
1. Skryf die volgende rasionale getalle tot 2 desimale plekke:
a. J
b. 1
c. 0,111111
d. 0,999991
Kliek hier vir die oplossing 2
2. Skryf die volgende irrasionale getalle tot 2 desimale plekke:
a. 3,141592654...
b. 1,618033989...
c. 1,41421356...
d. 2,71828182845904523536...
Kliek hier vir die oplossing 3
3. Gebruik jou sakrekenaar om die volgende irrasionale getalle tot 3 desimale plekke te skryf:
a. \/2
b. \/3
c. V5
d. V6
2 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37420/latest/http://www.fhsst.org/HN>
3 See the file at <http://siyavula.cnx.Org/content/m37420/latest/http://www.fhsst.org/HR>
85
Kliek hier vir die oplossing 4
4. Gebruik jou sakrekenaar (waar nodig) om die volgende getalle tot 5 desimale plekke te skryf en dui
aan of die getal rasionaal of irrasionaal is:
a. VS
b. v/768
c. yiOO
d. VM9
e. V0,0016
f. ^0^5
g. \/36
h. V1960
i. V0,0036
j. -8V0^4
k. 5^
Kliek hier vir die oplossing 5
5. Skryf die volgende irrasionale getalle tot 3 desimale plekke, en skryf die afgeronde getal dan as 'n
rasionale breuk om 'n benadering tot die irrasionale getal te verkry. Byvoorbeeld, \/3 = 1,73205....
Tot 3 desimale plekke, V3 = 1,732. 1,732 = 1^ = l|§§. Dus is V3 ongeveer 1±§§.
a. 3,141592654...
b. 1,618033989...
c. 1,41421356...
d. 2,71828182845904523536...
Kliek hier vir die oplossing 6
4 See the file at <http
5 See the file at <http
6 See the file at <http
//siyavula.cnx.org/content/m37420/latest/http:// www.fhsst.org/lln>
//siyavula.cnx.org/content/m37420/latest/http:// www.fhsst.org/HQ>
//siyavula.cnx.org/content/m37420/latest/http:// www.fhsst.org/HU>
86 CHAPTER 7. IRRASIONALE GETALLE EN AFRONDING
Solutions to Exercises in Chapter 7
Solution to Exercise 7.1 (p. 84)
Step 1. a. ^ = l,212|121212i2
b. tt = 3,1415|92654...
c. ^3 = 1,7320|508...
d. 2,789|74526...
Step 2. a. Die laast syfer van ^ = 1,212|12121212 moet na onder afgerond word.
b. Die laaste syfer van 7r = 3, 1415|92654... moet na bo afgerond word.
c. Die laaste syfer van \/3 = 1, 7320|508... moet na bo afgerond word.
d. Die laaste syfer van 2,789|74526... moet na bo afgerond word. Aangesien dit 'n 9 is, vervang ons
die 9 met 'n en rond die tweede laaste syfer boontoe af.
Step 3. a. t|P = 1,212 afgerond tot 3 desimale plekke
b. 7r = 3, 1416 afgerond tot 4 desimale plekke
c. \/3 = 1, 7321 afgerond tot 4 desimale plekke
d. 2,790
Chapter 8
Produkte en faktore
8.1 Inleiding en herhaling 1
8.1.1 Inleiding
In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om met algebrai'ese uitdrukkings te werk. Hersiening van vorige faktoris-
ering en vermenigvuldiging van uitdrukkings sal dus nodig wees voordat die nuwe leerstof uitgebrei word vir
Graad 10.
8.1.2 Hersiening van vorige Werk
Die volgende behoort bekend te wees, maar ons gee 'n paar voorbeelde ter herinnering.
8.1.2.1 Dele van Uitdrukkings
Wiskundige uitdrukkings is soos sinne en elke deel het 'n spesifieke naam. Jy behoort vertroud te wees met
die volgende name wat die dele van wiskundige uitdrukkings beskryf.
a-x k + b-x + c m =
d-yP + e-y+f<0
1.1)
lr This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39689/l.l/>.
87
88
CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
Naam
Voorbeelde (geskei deur kommas)
term
a ■ x k ,b ■ X, c m , d ■ y p , e ■ y, f
uitdrukking
a ■ x k + b ■ x + c m , d ■ y p + e ■ y + f
koeffisiente
a, b, d, e
eksponent (of indeks)
k, p
grondtal
x, y, c
konstante
a, b, c, d, e, f
veranderlike
x, y
vergelyking
a-x k + b-x + c m =
ongelykheid
d-yP + e-y+f<0
binomiaal
uitdrukking met twee terme
trinomiaal
uitdrukking met drie terme
Table 8.1
8.1.2.2 Produk van twee Binomiale
'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme, soos (ax + b) en (cx + d). As hierdie twee
binomiale vermenigvuldig word, is die volgende die resultaat:
(a • x + b) (c • x + d) = (ax) (c ■ x + d) + b(c ■ x + d)
= (ax) (ex) + (ax) d+ b (ex) + b ■ d
= ax 2 + x (ad + be) + bd
1.2)
Exercise 8.1: Produk van twee binomiale (Solution on p. 103.)
Vind die produk van (3x — 2) (5a; + 8).
Die produk van twee identiese binomiale, is bekend as die kwadraat (of vierkant) van binomiale en word
geskryf as:
*.3)
(8.4)
(ox + bf = a 2 x 2 + 2abx + b 2
Gestel die twee terme is ax + b en ax — b , dan is hulle produk:
(ax + b) (ax — b) = a 2 x 2 — b 2
Dit staan bekend as die verskil van twee kwadrate (of vierkante) .
8.1.2.3 Faktorisering
Faktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies. Byvoorbeeld, as hakies uitgebrei word,
word 2 (x + 1) geskryf as 2x + 2. Faktorisering sal dus begin met 2a; + 2 en eindig met 2 (x + 1). In vorige
grade het ons gefaktoriseer deur die uithaal van gemeenskaplike faktore en die verskil tussen twee vierkante.
89
8.1.2.3.1 Gemeenskaplike Faktore
Faktorisering deur die uithaal van gemeenskaplike faktore, is gebaseer daarop dat daar faktore is wat in al
die terme voorkom. Byvoorbeeld, 2x — 6x 2 kan as volg gefaktoriseer word:
2x -6x 2 = 2a: (1 - 3x)
(8.5)
8.1.2.3.1.1 Ondersoek: Gemeenskaplike Faktore
Vind die grootste gemene faktore van die volgende pare terme:
(a) 6y; 18a;
(b) 12mn; 8n
(c) 3st;4su
(d) 18kl;9kp
(e) abc; ac
(f ) 2xy; Axyz
(g) 3uv; Qu
(h) 9xy; 15xz
(i) 2Axyz; I6yz
(j) 3m; 45n
Table 8.2
8.1.2.3.2 Verskil van twee Kwadrate
Ons het gesien dat:
(ax + b) (ax — b) = a 2 x 2 — b 2
3.6)
In (8.6) dui die = teken aan dat die twee kante altyd gelyk sal wees. Dit beteken dat 'n uitdrukking in die
vorm:
2 2
a x
*-7)
gefaktoriseer kan word as:
Dus,
(ax + b) (ax — b)
a 2 x 2 - b 2 = (ax + b) (ax - b) (8.9)
Byvoorbeeld, x 2 — 16 kan geskryf word as (x 2 — 4 2 ) wat die verskil is tussen twee kwadrate. Dus, die
faktore van x 2 — 16 is (a; — 4) en (x + 4).
Exercise 8.2: Faktorisering (Solution on p. 103.)
Faktoriseer volledig: b 2 y 5 — 3a6y 3
Exercise 8.3: Faktoriseer binomiale met gemeenskaplike hakies: (Solution on p. 103.)
Faktoriseer volledig: 3a (a — 4) — 7 (a — 4)
Exercise 8.4: Faktorisering wat die omruiling van getalle in hakies benodig: (Solution
on p. 103.)
Faktoriseer 5 (a — 2) — b (2 — a)
90
CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
8.1.2.3.2.1 Hersien
1. Vind die produkte / Verwyder die hakies:
(a) 2J/0/ + 4)
(b) (y + 5)(y + 2)
(c) ( v + 2) (2y + 1)
(d) (y + 8)(y + 4)
(e) (2j/ + 9) (3y + 1)
(f) (3y-2)(y + 6)
Table 8.3
Kliek hier vir die oplossing 2
2. Faktoriseer:
a. 2? + 2w
b. 12s + 32y
c. 6a; 2 + 2x + 10a; 3
d. 2xy 2 + xy 2 z + "ixy
e. -2o6 2 - 4a 2 6
Klier hier vir die oplossing 3
3. Faktoriseer volledig:
(a) la + 4
(b) 20a - 10
(c) 18a6 - 36c
(d) 12kj + 18kq
(e) 16fc 2 - 4k
(f ) 3a 2 + 6a - 18
(g) -6a - 24
(h) -2a6 - 8a
(i) 24kj - 16k 2 j
(j) -a 2 b-b 2 a
(k) 12fc 2 j + 24fc 2 j 2
(1) 726 2 g - 186 3 g 2
(m) 4(y-3) + fc(3-2/)
(n) a (a- 1) - 5 (a - 1)
(o) bm (6 + 4) - 6m (6 + 4)
(p) a 2 {a+7) + a{a + 7)
(q) 36 (6 -4) -7 (4 -6)
(r) a 2 6 2 c 2 - 1
Table 8.4
Kliek hier vir die oplossing 4
8.2 Meer produkte 5
8.2.1 Inleiding
In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om met algebrai'ese uitdrukkings te werk. Hersiening van vorige faktoris-
ering en vermenigvuldiging van uitdrukkings sal dus nodig wees voordat die nuwe leerstof uitgebrei word vir
Graad 10.
8.2.2 Hersiening van vorige Werk
Die volgende behoort bekend te wees, maar ons gee 'n paar voorbeelde ter herinnering.
2 http:// www.fhsst.org/lxl
3 http:// www.fhsst.org/lqV
4 http:// www.fhsst.org/lqE
5 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39691/l.l/>.
91
8.2.2.1 Dele van Uitdrukkings
Wiskundige uitdrukkings is soos sinne en elke deel het 'n spesifieke naam. Jy behoort vertroud te wees met
die volgende name wat die dele van wiskundige uitdrukkings beskryf.
a-x k + b-x + c m =
d-yP + e-y + f<0
(8.10)
Naam
Voorbeelde (geskei deur kommas)
term
a ■ x k ,b ■ x, c m , d ■ y p , e ■ y, f
uitdrukking
a ■ x k + b ■ x + c m , d ■ y p + e ■ y + f
koeffisiente
a, b, d, e
eksponent (of indeks)
k, p
grondtal
x, y, c
konstante
a, b, c, d, e, f
veranderlike
x, y
vergelyking
a-x k + b-x + c m =
ongelykheid
d-yP + e-y+f<0
binomiaal
uitdrukking met twee terme
trinomiaal
uitdrukking met drie terme
Table 8.5
8.2.2.2 Produk van twee Binomiale
'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme, soos (ax + b) en (cx + d). As hierdie twee
binomiale vermenigvuldig word, is die volgende die resultaat:
(a • x + b) (c • x + d) = (ax) (c • x + d) + b(c ■ x + d)
= (ax) (ex) + (ax) d + b (ex) + b ■ d
= ax 2 + x (ad + be) + bd
.11)
Exercise 8.5: Produk van twee binomiale (Solution on p. 103.)
Vind die produk van (3x — 2) (5a; + 8).
Die produk van twee identiese binomiale, is bekend as die kwadraat (of vierkant) van binomiale en word
geskryf as:
(ax + b) = a 2 x 2 + 2abx + b 2
Gestel die twee terme is ax + b en ax — b , dan is hulle produk:
(ax + b) (ax — b) = a 2 x 2 — b 2
Dit staan bekend as die verskil van twee kwadrate (of vierkante) .
.12)
.13)
92
CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
8.2.2.3 Faktorisering
Faktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies. Byvoorbeeld, as hakies uitgebrei word,
word 2 (x + 1) geskryf as 2x + 2. Faktorisering sal dus begin met 2x + 2 en eindig met 2 (x + 1). In vorige
grade het ons gefaktoriseer deur die uithaal van gemeenskaplike faktore en die verskil tussen twee vierkante.
8.2.2.3.1 Gemeenskaplike Faktore
Faktorisering deur die uithaal van gemeenskaplike faktore, is gebaseer daarop dat daar faktore is wat in al
die terme voorkom. Byvoorbeeld, 2x — 6x 2 kan as volg gefaktoriseer word:
2x-6a; 2 = 2a; (1 - 3a;)
.14)
8.2.2.3.1.1 Ondersoek: Gemeenskaplike Faktore
Vind die grootste gemene faktore van die volgende pare terme:
(a) 6y; 18a;
(b) 12mn; 8n
(c) 3st;4:su
(d) 18kl;9kp
(e) abc; ac
(f) 2xy;Axyz
(g) 3uv; Qu
(h) 9xy; 15xz
(i) 2Axyz; I6yz
(j) 3m; 45n
Table 8.6
8.2.2.3.2 Verskil van twee Kwadrate
Ons het gesien dat:
(ax + b) (ax — b) = a 2 x 2 — b 2
.15)
In (8.15) dui die = teken aan dat die twee kante altyd gelyk sal wees. Dit beteken dat 'n uitdrukking in die
vorm:
2 2
a x
gefaktoriseer kan word as:
Dus,
(ax + b) (ax — b)
a x — b = (ax + b) (ax — b)
(8.16)
(8.17)
(8.18)
Byvoorbeeld, x 2 — 16 kan geskryf word as (x 2 — 4 2 ) wat die verskil is tussen twee kwadrate. Dus, die
faktore van
16 is (x - 4) en (x + 4).
(Solution on p. 103.)
Exercise 8.6: Faktorisering
Faktoriseer volledig: b 2 y 5 — 3a6y 3
Exercise 8.7: Faktoriseer binomiale met gemeenskaplike hakies: (Solution on p. 103.)
Faktoriseer volledig: 3a (a — 4) — 7 (a — 4)
Exercise 8.8: Faktorisering wat die omruiling van getalle in hakies benodig: (Solution
on p. 103.)
Faktoriseer 5 (a — 2) — b (2 — a)
93
8.2.2.3.2.1 Hersien
1. Vind die produkte / Verwyder die hakies:
(a) 2J/0/ + 4)
(b) (y + 5)(y + 2)
(c) ( v + 2) (2y + 1)
(d) (y + 8)(y + 4)
(e) (2y + 9)(Sy+l)
(f) (3y-2)(y + 6)
Table 8.7
Kliek hier vir die oplossing 6
2. Faktoriseer:
a. 21 + 2w
b. I2x + 32y
c. 6a; 2 + 2x+ 10a; 3
d. 2xy 2 + xy 2 z + "ixy
e. -2o6 2 - 4a 2 6
Klier hier vir die oplossing 7
3. Faktoriseer volledig:
(a) la + 4
(b) 20a - 10
(c) 18a6 - 36c
(d) 12kj + 18kq
(e) 16fc 2 - 4k
(f ) 3a 2 + 6a - 18
(g) -6a - 24
(h) -2a6 - 8a
(i) 24kj - 16k 2 j
(j) -a 2 b-b 2 a
(k) 12fc 2 j + 24fc 2 j 2
(1) 726 2 g - 186 3 g 2
(m) 4(y-3) + fc(3-2/)
(n) a (a- 1) - 5 (a - 1)
(o) bm (6 + 4) - 6m (6 + 4)
(p) a 2 {a+7) + a{a + 7)
(q) 36 (6 -4) -7 (4 -6)
(r) a 2 6 2 c 2 - 1
Table 8.8
Kliek hier vir die oplossing 8
8.2.3 Meer Produkte
Khan Akademie video oor die produk van polinoomuitdrukkings
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.eom/v/fGThIRp WEE4&rel=0>
Figure 8.1
Ons het gesien hoe om twee binomiale te vermenigvuldig in die afdeling "Produk van twee Binomiale"
(Section 8.2.2.2: Produk van twee Binomiale). In hierdie gedeelte, gaan ons leer hoe om 'n binomiaal
6 http:// www.fhsst.org/lxl
7 http:// www.fhsst.org/lqV
8 http:// www.fhsst.org/lqE
94
CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
(uitdrukking met twee terme) met 'n trinomiaal of drieterm (uitdrukking met drie terme) te vermenigvuldig.
Gelukkig gebruik ons dieselfde metode as om twee binomiaaluitdrukkings te vermenigvuldiging.
Byvoorbeeld, vermenigvuldig 2x + 1 met x 2 + 2x + 1
(2x + 1) (x 2 + 2x + 1) = 2x (x 2 + 2x + 1)+1 (x 2 + 2x + 1) (pas distributiewe eienskap $&&$)=
[2x (x 2 ) + 2x (2x) + 2x (1)] + [1 (x 2 ) + 1 (2x) + 1 (1)] = 2a; 3 + 4a; 2 + 2a; +
x 2 + 2a; + 1 (brei die hakies uit) = 2a; 3 + (4a; 2 + a; 2 ) + (2x + 2x) +
1 (groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig) = 2a; 3 + 5a; 2 + 4a; +
1 (vereenvoudig om 'n finale antwoord te gee)
tip: In die vermenigvuldiging van die binomiaal A + B met die trinomiaal C + D + E, is die heel
eerste stap om die distributiewe wet toe te pas:
{A + B) (C + D + E) = A (C + D + E) + B (C + D + E)
As jy dit onthou, sal jy nie 'n fout maak nie!
3.20)
Exercise 8.9: Vermenigvuldiging van Binomiaal met Trinomiaal (Solution on p. 104.)
Vermenigvuldig x — 1 met x 2 — 2x + 1
Exercise 8.10: Som van Derdemagte (Solution on p. 104.)
Vind die produk van x + y en x 1 — xy + y 2 .
tip: Ons het gesien dat:
(a: + y) (x 2 - xy + y 2 ) = x 3 + y 3
Dit staan bekend as die som van derdemagte.
3.21)
8.2.3.1 Ondersoek: Verskil van Derdemagte
Toon aan dat die verskil van derdemagte (x 3 — y 3 ) gegee word deur die produk van x — y en x 2 + xy + y 2 .
8.2.3.2 Produkte
1. Vind die produk van:
(a) (-2y 2 -4y+ll)(5y-12)
(b) (_ii 2/ + 3)(_io y 2_ 7y _9)
(c) (Ay 2 + Y2y + 10) (-9y 2 + 8y + 2)
(d) (7y 2 -6y-8)(-2y+2)
(e) (io 2/ 5 + 3)(-2y 2 -ll 2/ + 2)
(f) (-12y-3)(l2y 2 -lly+3)
(g) (-10)(2j/ 2 + 8y + 3)
(h) (2y 6 + 3 2 / 5 )(-5y-12)
(i) (6y 7 - 8y 2 + 7) (-Ay - 3) (-6y 2 -7y- ll)
0) (-9y 2 + Hy + 2)(8y 2 + 6y-7)
(k) (8y 5 + 3y 4 + 2y 3 ) (5y + 10) (l2y 2 + Qy + 6)
(1) (_ 7 y + H)(_12y + 3)
(m) (Ay 3 + by 2 - I2y) {-I2y - 2) (7y 2 - 9y + 12)
(n) (7y + 3) (7y 2 + 3y + 10)
(o) (9) (8y 2 -2y + 3)
(p) (-12y + 12)(4y 2 -lly+ll)
(q) (-6y 4 + lly 2 + 3y) (Wy + 4) (Ay - 4)
(r) (-3y 6 -6y 3 )(lly-6)(10y-10)
(s) (-lly 5 + lly 4 + 11) (9y 3 - 7y 2 - Ay + 6)
(t) (-3y + 8) (-Ay 3 + 8y 2 - 2y + 12)
95
Table 8.9
Kliek hier vir die oplossing 9
8.3 Faktorisering en breke 10
8.3.1 Faktorisering van Kwadratiese Uitdrukkings
Khan Akademie video oor die faktorisering van kwadratiese uitdrukkings
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/eF6zYNzlZKQ&rel=0>
Figure 8.2
Faktorisering kan gesien word as die omgekeerde proses van die berekening van die produk van faktore. Om
'n kwadratiese uitdrukking te faktoriseer, is dit dus nodig om die faktore te vind wat, wanneer hulle met
mekaar vermenigvuldig word, gelyk sal wees aan die oorspronklike kwadratiese uitdrukking.
Beskou 'n kwadratiese uitdrukking van die vorm: ax 2 + bx . Ons kan sien hier is x is 'n gemeenskaplike
faktor in beide terme. Dus, ax 2 + bx faktoriseer tot x (ax + b). Byvoorbeeld, 8y 2 + Ay faktoriseer tot
42/(2?/ +1).
'n Ander tipe kwadratiese uitdrukking bestaan uit die verskil tussen kwadrate. Ons weet dat:
(a+b)(a-b) = a 2 -b 2 (8.22)
Dit is waar vir enige waardes van o en 6, en, nog belangriker, aangesien die twee uitdrukkings aan mekaar
gelyk (ekwivalent) is, kan ons skryf:
a 2 - b 2 = {a + b) (a - b) (8.23)
Dit beteken dat wanneer ons enige kwadratiese uitdrukking wat bestaan uit die verskil tussen twee kwadrate
teekom, ons onmiddellik die faktore kan neerskryf.
Exercise 8.11: Verskil van Kwadrate (Solution on p. 104.)
Vind die faktore van 9a; 2 — 25.
Hierdie soort kwadratiese uitdrukking is eenvoudig om te faktoriseer. Nie baie kwadratiese uitdrukkings
val egter in hierdie kategorie nie, en gevolglik het ons 'n meer algemene metode nodig vir kwadrate soos
x 2 — x — 2 .
Ons kan leer hoe om kwadrate te faktoriseer deur twee binomiale met mekaar te vermenigvuldig en so 'n
kwadratiese uitdrukking te kry. Byvoorbeeld, (x + 2) (x + 3) vermenigvuldig uit as:
(a; + 2) (a; + 3) = x (x + 3) + 2 (x + 3)
= (a;) (x) + 3a; + 2a; + (2) (3) (8.24)
= a; 2 + 5x + 6.
9 http:// www.fhsst.org/llz
10 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39699/l.l/>.
96
CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
Ons kan sien dat die x 2 term in die kwadratiese uitdrukking die produk is van die cc-terme in elke hakie.
Soortgelyk, die 6 in die kwadratiese uitdrukking is die produk van 2 en 3 in die hakies. Gevolglik is die
middelterm die som van die twee terme.
Dus, hoe gebruik ons hierdie inligting om die kwadratiese uitdrukking te faktoriseer?
Kom ons begin faktoriseer x 2 + 5x + 6 en sien of ons kan besluit op sekere algemene reels. Eerstens,
skryf twee hakies neer met 'n x in elke hakie en los spasie vir die oorblywende terme.
( x )( x )
Besluit nou op die faktore van 6. Aangesien 6 'n positiewe getal is, sal dit wees:
.25)
Faktore van 6
1
6
2
3
-1
-6
-2
-3
Table 8.10
Vervolgens het ons nou vier moontlikhede:
Opsie 1
Opsie 2
Opsie 3
Opsie 4
(x+l)(x + 6)
(x- l)(ar-
-6)
{x + 2)(x + 3)
(x-2)(x-
-3)
Table 8.11
Vervolgens vermenigvuldig ons elke stel hakies uit om te sien watter stel gee vir die regte middelterm.
Opsie 1
Opsie 2
Opsie 3
Opsie 4
(x+l)(x + 6)
(x- l)(x-6)
{x + 2)(x + 3)
(aj-2)(x-3)
x 2 + 7x + 6
x 2 — 7x + 6
x 2 + 5x + 6
x 2 — 5x + 6
Table 8.12
Ons kan sien dat Opsie 3, (x+2)(x+3), die korrekte oplossing is. Die proses van faktorisering is hoofsaaklik
'n proses van opsies identifiseer en evalueer, maar daar is inligting wat die proses kan vergemaklik.
8.3.1.1 Metode: Faktorisering van Kwadratiese Uitdrukkings
1. Eerstens, haal enige gemeenskaplike faktore van die koeffisi'ente uit om 'n uitdrukking te kry van die
vorm ax 2 + bx + c = waar a, b en c geen gemene faktore het nie en o positief is.
2. Skryf twee hakies neer met 'n x in elke hakie en plek vir die oorblywende terme.
( x )( x )
.26)
3. Skryf 'n stel faktore neer vir a en c.
4. Skryf 'n stel opsies neer vir die moontlike faktore is van die kwadratiese term deur die faktore van o
en c te gebruik.
97
5. Brei al die opsies uit om te sien watter stel vir jou die korrekte antwoord gee.
Daar is sekere wenke wat jy in gedagte kan hou:
• As c positief is, moet albei die faktore van c positief of albei negatief wees. Die faktore is beide negatief
indien b negatief is, en beide positief indien b positief is. As c negatief is, beteken dit slegs een van die
faktore van c is negatief, en die ander een is positief.
• Wanneer jy 'n antwoord gekry het, brei weer jou hakies uit net om te toets of dit reg uitwerk.
Exercise 8.12: Faktorisering van 'n Kwadratiese Uitdrukking (Solution on p. 104.)
Vind die faktore van 3x 2 + 2x — 1.
8.3.1.1.1 Faktorisering van 'n Kwadratiese Drieterm
1. Faktoriseer die volgende:
(a) x 2 + 8x+ 15
(b) x 2 + 10a; + 24
(c) x 2 + 9x + 8
(d) x 2 + 9x+ 14
(e) x 2 + 15x + 36
(f) x 2 + Ylx + 36
Table 8.13
Kliek hier vir die oplossing 11
2. Ontbind die volgende in faktore:
a. x 2 — 2x — 15
b.
x 2 + 2x
-3
c.
x 2 + 2x
-8
d.
x 2 + x -
20
e.
2
X — X —
20
Kliek hier vir die oplossing 12
3. Vind die faktore van die volgende drieterme:
a.
2x 2
+ llx + 5
b.
3x 2
+ 19a; + 6
c.
6x 2
+ 7:r + 2
d.
Ylx
2 + 8a; + 1
e.
8x 2
+ 6a;+ 1
Kliek hier vir die
oplossing 13
4. Fakt
oriseer die volgende drieterme:
a.
3x 2
+ 17a; - 6
b.
7x 2
— 6a; — 1
c.
8x 2
-6a;+ 1
d.
2x 2
— 5a; — 3
Kliek hier vir die oplossing
14
11 http://www.fhsst.org/HY
12 http:// www.fhsst.org/lir
13 http:// www.fhsst.org/lil
14 http:// www.fhsst.org/HC
98 CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
8.3.2 Faktorisering deur Groepering
'n Verdere metode van faktorisering gebruik gemeenskaplike faktore. Ons weet dat die faktore van 3x + 3 ,
3 en (x + 1) is. Soortelyk is die faktore van 2x 2 + 2x , 2x en (a; + 1). Gevolglik het ons 'n uitdrukking:
2x 2 + 2x + 3x + 3 (8.27)
wat ons kan faktoriseer as:
2x(x+l) + 3(x+ 1) (8.28)
Nou kan ons sien daar is 'n ander gemene faktor: x + 1. Gevolglik kan ons nou skryf:
(x + 1) (2x + 3) (8.29)
Ons kry dit deur die x + 1 'uit te haal' (uit te deel) en te sien wat oorbly. Ons het +2x uit die eerste term
en +3 uit die tweede term. Dit word genoem faktorisering deur groepering.
Exercise 8.13: Faktorisering deur Groepering (Solution on p. 105.)
Vind die faktore van 7x + 14y + bx + 2by deur groepering
Khan Akademie video oor faktorisering van 'n drieterm deur groepering
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.eom/v/HXIj 16mjfgk&rel=0>
Figure 8.3
8.3.2.1 Faktorisering deur Groepering
1. Faktoriseer deur groepering: 6x + a + 2ax + 3
Kliek hier vir die oplossing 15
2. Faktoriseer deur groepering: x 2 — 6x + 5x — 30
Kliek hier vir die oplossing 16
3. Faktoriseer deur groepering: 5x + Wy — ax — 2ay
Kliek hier vir die oplossing 17
4. Faktoriseer deur groepering: a 2 — 2a — ax + 2x
Kliek hier vir die oplossing 18
5. Faktoriseer deur groepering: 5xy — 3y + lOx — 6
Kliek hier vir die oplossing 19
15 http:// www.fhsst.org/lih
16 http:// www.fhsst.org/HS
17 http:// www.fhsst.org/li J
18 http:// www.fhsst.org/liu
19 http:// www.fhsst.org/liz
99
8.3.3 Vereenvoudiging van Breuke
In sommige gevalle van die vereenvoudiging van 'n algebrai'ese uitdrukking, sal die uitdrukking 'n breuk
wees. Byvoorbeeld,
X -^ (8-30)
x + 3
het 'n kwadraat in die teller en 'n binomiaal (kwadratiese tweeterm) in die noemer. Jy kan die verskillende
metodes van faktorisering gebruik om die uitdrukking te vereenvoudig.
x -j-3x
x+3
x(x+3)
~ x+3
= x solank x ^ —3
As a; 3 is, sal die noemer, x — 3, wees en die breuk ongedefinieer.
Exercise 8.14: Vereenvoudiging van Breukuitdrukkings
Vereenvoudig: 2x ~ b + x - ab
° ax z —abx
Exercise 8.15: Vereenvoudiging van Breukuitdrukkings
Vereenvoudig: x ^_\~l 2 -e- Jq§^
.31)
(Solution on p. 105.)
(Solution on p. 105.)
8.3.3.1 Vereenvoudiging van Breuke
1. Vereenvoudig:
( a ) T§
(b) 2 "+ 10
( r \ 5a+20
^1 a+4
(d)4^
/„\ 3a 2 ~9a
W 2a~6
(f) 9a+27
\ I 9a+18
(„\ 6ab+2a
\&) 26
(h) 16^8^
(\\ 4:Xyp—8xp
\ ) 12xy
(:\ 3a+9 . 7a+21
w 14 - a+3
/i \ a 2 — ha .
\ ) 2a+10 ■
3a+15
4a
/i\ 3a:p+4p . 12p 2
\ ' 8p ' 3a;+4
(m) 16
. 6x 2 +82
12
( \ 24a-8 . 9a-3
V 1 ) 12 • 6
y 111 ' 2xp+4x
(o)^3- +
2a+4
20
(„-) P 2 +Pq ■ 8p+8q
W 7p • 21a
j \ 5ab—15b
W ia-12
. 66 2
' a+b
( r ) 'y/ a2
Table 8.14
Kliek hier vir die oplossing
2 i -I
2. Vereenvoudig: ^-^ x — jjy
20
Kliek hier vir die oplossing 2
20 http:// www.fhsst.org/lit
2 x http://www.fhsst.org/lie
100
CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
8.3.4 Optel en Aftrek van Breuke
Deur gebruik te maak van die konsepte wat ons geleer het in die vereenvoudiging van breuke, kan ons nou
eenvoudige breuke optel en aftrek. Om breuke op te tel of af te trek, moet ons daarop let dat ons slegs
breuke kan optel of aftrek wat dieselfde noemer het. Dus moet ons eers al die noemers herlei na dieselfde
noemer en dan die bewerkings van optelling of aftrekking doen. Dit word genoem die vind van die kleinste
gemeenskaplike noemer of veelvoud.
Byvoorbeeld, om \ en | op te tel, let ons op dat die kleinste gemene noemer 10 is. Dus moet ons die
eerste breuk se noemer vermenigvuldig met 5 en die tweede breuk met 2 om beide se noemers te herlei na
breuke met dieselfde noemer. Dit gee: ^ en -^. Nou kan ons die breuke optel. As ons dit doen, kry ons yi.
Exercise 8.16
Vereenvoudig die volgende uitdrukking: -§rzri
(Solution on p. 105.)
x-'+x-i
8.3.5 Twee interessante Wiskundige Bewyse
Ons kan die konsepte wat ons in hierdie hoofstuk geleer het, gebruik om twee interessante wiskundige bewyse
te illustreer. Die eerste bewering is dat n 2 + n ewe is vir alle n s Z. Die tweede is 'n bewys dat n 3 — n
deelbaar is deur 6 vir alle n£2. Voor ons kan toon dat hierdie twee bewerings waar is, moet ons eers kennis
neem van sekere ander wiskundige reels.
As ons 'n ewe getal vermenigvuldig met 'n onewe getal, kry ons 'n ewe getal. Net so, as ons 'n onewe
getal vermenigvuldig met 'n ewe getal, kry ons 'n ewe getal. Verder is 'n ewe getal vermenigvuldig met 'n
ewe getal altyd ewe, en 'n onewe getal vermenigvuldig met 'n onewe getal, onewe. Hierdie resultaat word
gewys in die volgende tabel:
Ewe getal
Onewe getal
Onewe getal
Ewe
Onewe
Ewe getal
Ewe
Ewe
Table 8.15
As ons 3 opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, sal die antwoord altyd deelbaar wees deur
3. Dit behoort voor die handliggend te wees want as ons enige 3 opeenvolgende getalle het, sal een van hulle
altyd deelbaar wees deur 3.
Nou is ons gereed om te bewys dat n 2 + n ewe is vir alle n € Z. As ons hierdie uitdrukking faktoriseer,
kry ons n(n + 1). As n ewe is, dan is n + 1 onewe. As n onewe is, dan is n + 1 ewe. Aangesien ons weet dat
as ons 'n ewe getal met 'n onewe getal vermenigvuldig, of 'n onewe getal met 'n ewe getal, kry ons 'n ewe
getal, het ons gedemonstreer dat n 2 + n altyd ewe is. Probeer dit met 'n paar waardes van n en jy sal vind
dat dit waar is.
Om te demonstreer dat
n deelbaar is deur 6 vir alle n £ Z, let ons eerstens op dat die faktore van
6, 3 en 2 is. Dus, as ons wys dat n 3 — n deelbaar is deur beide 3 en 2, dan het ons aangetoon dat dit ook
deelbaar is deur 6! As ons die uitdrukking faktoriseer, kry ons n (n + 1) (n — 1). Nou sien ons dat as ons drie
opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, dan neem ons n en tel dan 1 by of trek 1 af. Dit gee ons
die twee getalle weerskante van n. Byvoorbeeld, as n = 4, dan n + 1 = 5 en n - 1 = 3. Maar ons weet dat
as ons drie opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, is die antwoord altyd deelbaar deur 3. Dus
het ons gedemonstreer dat n 3 — n altyd deelbaar is deur 3. Deur aan te toon dat dit deelbaar is deur 2, kan
ons ook bewys dat dit ewe is. Ons het gewys dat n 2 + n altyd ewe is. Nou moet ons herroep wat ons gese
het oor die vermenigvuldiging van ewe en onewe getalle. Aangesien die een getal altyd ewe is en die ander
een ewe of onewe kan wees, sal die resultaat van die vermenigvuldiging van hierdie getalle, altyd ewe wees.
Dus het ons gedemonstreer dat n 3 — n deelbaar is deur 6 vir alle n e Z.
101
8.3.6 Opsomming
• 'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme. Die produk van twee identiese binomiale
staan bekend as die vierkant of kwadraat van die binomiaal. Die verskil tussen twee kwadrate kry ons
wanneer ons vermenigvuldig (ax + 6) (ax — 6)
• Faktorisering is die teenoorgestelde van die uitbreiding van hakies. Ons kan gemeenskaplike faktore of
die verskil tussen twee kwadrate gebruik om ons te help om uitdrukkings te faktoriseer.
• Die distributiewe wet ((A + B) (C + D + E) = A (C + D + E) + B (C + D + E)) help ons om 'n bi-
nomiaal en 'n trinomiaal te vermenigvuldig.
• Die som van derdemagte is: (x + y) (x 2 — xy + y 2 ) = x 3 + y 3 en die verskil van derdemagte is: x 3 — y 3 =
(x - y) (x 2 + xy + y 2 )
• Om 'n kwadratiese drieterm te faktoriseer, moet ons die twee binomiale vind wat met mekaar ver-
menigvuldig is om die kwadratiese drieterm te gee.
• Ons kan ook 'n drieterm faktoriseer deur groepering. Dit is wanneer ons 'n gemene faktor vind in elke
term van die drieterm, dit uithaal en sien wat oorbly.
• Ons kan breuke vereenvoudig deur gebruik te maak van die metodes wat ons gebruik het om uit-
drukkings mee te faktoriseer.
• Breuke kan bymekaargetel of van mekaar afgetrek word. Om dit te kan doen, moet al die breuke
dieselfde noemers he.
8.3.7 Einde van die Hoofstuk Oefeninge
1. Fakt
,oriseer:
a.
a 2 -9
b.
m 2 -36
c.
% 2 - 81
d.
166 6 - 25a 2
c.
m 2 - (1/9)
f.
5 - 5a 2 6 6
g-
166a 4 - 816
h.
a 2 - 10a + 25
i.
166 2 + 566 + 49
J-
2a 2 - 12a6+ 186 2
k.
-46 2 - 1446 8 + 486 5
Kliek hier vir die oplossing 22
2. Fakt
,oriseer volkome:
a.
(16 -x A )
b.
7x 2 - lAx + 7xy - 14y
c.
y 2 -7y- 30
d.
1 — x — x 2 + x 3
e.
-3(l-p 2 )+p+l
Kliek hier vir die oplossing 23
3. Vereenvoudig die volgende:
a.
(a-2) 2 -a(a + 4)
b.
(5a - 46) (25a 2 + 20ab + 166 2 )
c.
(2m - 3) (4m 2 + 9) (2m + 3)
d.
(a + 26- c)(a+26+c)
22 http:// www.fhsst.org/HM
23 http://www.fhsst.org/lTY
102 CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
Kliek hier vir die oplossing 24
4. Vereenvoudig die volgende:
p 2 -q 2 . p+q
d. ~7" — o
p p 2 -pq
2 , x 2x
b - x ' 2 3
.25
Kliek hier vir die oplossing :
5. Wys dat (2x — 1) — (x — 3) vereenvoudig kan word tot (x + 2) (3a; — 4)
Kliek hier vir die oplossing 26
6. Bepaal wat moet by x 2 — x + 4 getel word sodat dit gelyk is aan (x + 2)^
Kliek hier vir die oplossing
.27
24 http:// www.fhsst.org/lTg
25 http://www.fhsst.org/lT4
26 http:// www.fhsst.org/lib
27 http:// www.fhsst.org/HT
103
Solutions to Exercises in Chapter 8
Solution to Exercise 8.1 (p. 88)
Step 1.
(3x - 2) (5x + 8) = (3a;) (5x) + (3x) (8) + (-2) (5x) + (-2) (8)
= 15s 2 + 24x - lOx - 16 (8.32)
= 15a; 2 + 14a; - 16
Solution to Exercise 8.2 (p. 89)
Step 1.
b 2 y 5 - 3aoy 3 = by 3 (by 2 - 3a) (8.33)
Solution to Exercise 8.3 (p. 89)
Step 1. (a — 4) is die gemene faktor
3a (a -4) -7 (a -4) = (a - 4) (3a - 7) (8.34)
Solution to Exercise 8.4 (p. 89)
Step 1.
5 (a -2) -6 (2 -a) = 5 (a - 2) - [-6 (a - 2)]
5 (a -2) + b (a -2) (8.35)
(a -2) (5 + 6)
Solution to Exercise 8.5 (p. 91)
Step 1.
(3x - 2) (5x + 8) = (3x) (5x) + (3x) (8) + (-2) (5x) + (-2) (8)
= 15x 2 + 24x - lOx - 16 (8.36)
15x 2 + 14x - 16
Solution to Exercise 8.6 (p. 92)
Step 1.
b 2 y 5 - 3aby 3 = by 3 (by 2 - 3a) (8.37)
Solution to Exercise 8.7 (p. 92)
Step 1. (a — 4) is die gemene faktor
3a (a -4) -7 (a -4) = (a - 4) (3a - 7) (8.38)
Solution to Exercise 8.8 (p. 92)
Step 1.
5 (a -2) -b (2 -a) = 5 (a - 2) - [-6 (a - 2)]
5 (a -2) + b (a -2) (8.39)
(a -2) (5 + b)
104 CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
Solution to Exercise 8.9 (p. 94)
Step 1. Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, x — 1, en 'n trinomiaal, x 2 — 2x + 1. Ons moet hulle met
mekaar vermenigvuldig.
Step 2. Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig daarna.
Step 3.
(x — 1) (x 2 — 2x + 1) = x (x 2 — 2x + 1) — 1 (x 2 — 2x + 1) (pas die distributiewe wet toe)(8=40)
[x (x 2 ) + x (-2a;) + x (1)] + [-1 (a; 2 ) - 1 (-2a;) - 1 (1)] = x 3 - 2a; 2 +
x — a; 2 + 2a; — 1 (brei die hakies uit) = a; 3 + (—2a; 2 — x 2 ) + (a; + 2x) —
1 (groepeer soorgelyke terme saam om te vereenvoudig) = a; 3 — 3a; 2 + 3a; —
1 (vereenvoudig om die finale antwoord te kry)
Step 4. Die produk van x — 1 en x 2 — 2x + 1 is x 3 — 3a; 2 + 3a; — 1.
Solution to Exercise 8.10 (p. 94)
Step 1. Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, x + y, en 'n trinomiaal, x 2 — xy + y 2 . Ons moet hulle
met mekaar vermenigvuldig.
Step 2. Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig dan verder.
Step 3.
(x + y) (a; 2 — xy + y 2 ) = x (x 2 — xy + y 2 )+y (x 2 — xy + y 2 ) (pas die distributiewe wet
[x (x 2 ) + x {-xy) + x (y 2 )] + [y (x 2 ) + y (-xy) + y (y 2 )] = x 3 - x 2 y +
xy 2 + yx 2 — xy 2 + y 3 (brei die hakies uit) = x 3 + (—x 2 y + yx 2 ) +
(xy 2 — xy 2 ) + y 3 (groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig) = x 3 +
y 3 (vereenvoudig om die finale antwoord te kry)
Step 4. Die produk van x + y en x 2 — xy + y 2 is x 3 + y 3 .
Solution to Exercise 8.11 (p. 95)
Step 1. Ons sien die kwadratiese uitdrukking is die verskil tussen twee vierkante omdat:
(3a;) 2 = 9a; 2 (8.42)
en
5 2 = 25 (8.43)
Step 2.
9a; 2 - 25 = (3a;) 2 - 5 2 (8.44)
Step 3.
(3a;) 2 - 5 2 = (3a; - 5) (3a; + 5) (8.45)
Step 4. Die faktore van 9x 2 - 25 is (3a; - 5) (3a; + 5).
Solution to Exercise 8.12 (p. 97)
Step 1. Die kwadraat is in die regte vorm.
Step 2.
( x )( x ) (8.46)
Skryf die stel faktore neer van a en c. Die moontlike faktore van a is: (1,3). The moontlike faktore
van c is: (-1,1) of (1,-1).
Skryf die groep opsies neer van die moontlike faktore van die kwadratiese uitdrukking o en c. Daar is
twee moontlike oplossings.
105
Opsie 1
Opsie 2
(x- l)(3ar+l)
(x + l)(3x- 1)
3a; 2 - 2a; - 1
3x 2 + 2x - 1
.47)
Table 8.16
Step 3.
(a; + 1) (3a; - 1) = x (3x - 1) + 1 (3a; - 1)
= (x) (3x) + (x) (-1) + (1) (3a;) + (1) (-1)
= 3a; 2 — x + 3a; — 1
= x 2 + 2x-l.
Step 4. Die faktore van 3a; 2 + 2a; — 1 is (a; + 1) en (3a; — 1).
Solution to Exercise 8.13 (p. 98)
Step 1. Daar is geen algemene gemeenskaplike faktore nie.
Step 2. 7 is 'n gemene faktor van die eerste twee terme en b is 'n gemene faktor van die tweede twee terme.
Step 3.
7x + Uy + bx + 2by = 7{x + 2y) + b (x + 2y) (8.48)
Step 4. x + 2y is 'n gemeenskaplike faktor.
Step 5.
7 (x + 2y) + b (x + 2y) = {x + 2y) (7 + b) (8.49)
Step 6. Die faktore van 7x + 14y + bx + 2by is (7 + b) en (x + 2y)
Solution to Exercise 8.14 (p. 99)
Step 1. Gebruik groepering vir die teller en uithaal van 'n gemene faktor vir die noemer in hierdie voorbeeld.
Step 2. Die vereenvoudigde antwoord is:
Solution to Exercise 8.15 (p. 99)
Step 1.
Step 2.
Step 3. Die vereenvoudigde antwoord is
(ax — ab) + {x — b)
ax 2 — abx
a(x — b) + (x — b)
ax(x-b)
(x-b)(a+l)
ax(x-b)
n+1
ax
(x+l)(x-2) _^_ x(x+l)
(x+2)(x-2) " x(x+2)
(x+l)(x-2) x(x+2)
(x+2)(x-2) x(x+l)
.50)
,51)
,52)
.53)
.54)
Solution to Exercise 8.16 (p. 100)
106 CHAPTER 8. PRODUKTE EN FAKTORE
Step 1.
(x + 2) (x -2) x -2 (a: + 2) (a; -2) v ' y
Step 2. Ons maak al die noemers dieselfde sodat cms die breuke kan optel of aftrek. Die kleinste gemeenskaplike
noemer is (x — 2) (x + 2).
x-2 (x 2 ){x + 2) x 3 + x-4 ,
1 V ; V (8.56)
(a; + 2) (a; -2) (x + 2) (a; - 2) (x + 2)(a;-2)
Step 3. Aangesien al die breuke dieselfde noemer het, kan ons hulle almal skryf as een breuk met die toepaslike
bewerkingstekens.
x - 2 + (x 2 ) (x + 2) - x 3 + x - 4
(8.57)
(a: + 2) (x-2)
Step 4.
(a: + 2) (a; -2)
Step 5.
2 ^ + 2 ^ 6 (8.58)
2 (x 2 + x - 3) /
— '- 8.59
{x + 2 ){x-2) y '
Chapter 9
Vergelykings en ongelykhede
9.1 Strategie vir die vergelykings op te los en op los van lineere
vergelykings 1
9.1.1 Strategie vir die Oplos van Vergelykings
Hierdie hoofstuk handel oor die oplos van verskillende soorte vergelykings met twee veranderlikes. Die
algemene strategie is om die onbekende veranderlike alleen aan die linkerkant van die gelykaanteken te kry,
met al die konstantes aan die regterkant van die gelykaanteken. Byvoorbeeld, in die vergelyking x — 1 = ,
wil ons die vergelyking skryf as x = 1.
Soos ons gesien het in hersiening van vorige werk, in die afdeling wat handel oor herrangskikking van
vergelykings, is 'n vergelyking soos 'n weegskaal wat altyd gebalanseerd moet bly. Wanneer ons vergelykings
oplos, moet ons in gedagte hou dat wat aan die een kant gedoen word, ook aan die ander kant gedoen moet
word.
9.1.1.1 Metode: Herrangskikking van Vergelykings
Jy kan 'n getal optel, 'n getal aftrek, met 'n getal vermenigvuldig of met 'n getal deel, solank jy dieselfde
bewerking aan beide kante doen.
Byvoorbeeld, in die vergelyking x + 5 — 1 = — 6 , wil ons x alleen aan die linkerkant van die vergelyking
kry. Dit beteken ons moet 5 aftrek en 1 optel aan die linkerkant. Omdat ons die skaal gebalanseerd moet
hou, moet ons ook 5 aftrek en 1 optel aan die regterkant.
cc + 5-1 = -6
£+5-5-1+1 =-6-5+1 , s
(9.1)
x + + = -11 + 1
x = -10
In 'n ander voorbeeld, |a; = 8, moet ons deel met 2 en vermenigvuldig met 3 aan die linkerkant om x alleen
te kry. Om die vergelyking gebalanseerd te hou moet ons ook aan die regterkant deel met 2 en vermenigvuldig
lr This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39732/l.l/>.
107
108 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
met 3.
3 X
§x-r2 x 3 = 8 -=- 2 x 3
2 x | x x = 8X3 (92 )
1 x 1 x x = 12
x = 12
Hierdie is die basiese reels wat gevolg moet word wanneer 'n vergelyking vereenvoudig word. In die meeste
gevalle moet die reels herhaaldelik toegepas word voor ons die gewenste veranderlike as onderwerp het.
tip: Die volgende moet ook in gedagte gehou word:
1. Deling deur is ontoelaatbaar.
2. As - = 0, dan i = en j/ / 0, want deling deur gee 'n ongedefinieerde uitdrukking.
Ons is nou gereed om 'n paar vergelykings op te los!
9.1.1.1.1 Ondersoek: Strategie vir die Oplos van Vergelykings
Identifiseer wat is verkeerd in die volgende bewerking:
4x-8
=
3 (a; -2
4 (a; -2)
=
3 (x-2
4(x-2)
3(x-2)
(x-2)
(x-2)
(9.3)
9.1.2 Oplos van Lineere Vergelykings
Die eenvoudigste vergelyking om op te los is 'n lineere vergelyking. 'n Vergelyking word lineer genoem indien
die hoogste mag van die veranderlike (letter, byvoorbeeld x) 1 (een) is. Die volgende is voorbeelde van
lineere vergelykings:
2x + 2 = 1
2-x
3x+l
2 (9.4)
\x - 6 = 7x + 2
In hierdie afdeling sal ons leer om te bepaal wat die waarde van 'n veranderlike moet wees om 'n vergelyking
waar te maak. Byvoorbeeld, watter waarde van x maak beide kante van die baie eenvoudige vergelyking,
x + 1 = 1 waar.
Aangesien die definisie van 'n lineere vergelyking is dat die hoogste mag van die veranderlike een (1)
moet wees, is daar hoogstens een oplossing of wortel vir die vergelyking.
Hierdie afdeling berus op al die metodes wat ons reeds bespreek het: uitvermenigvuldiging van uit-
drukkings met hakies, groepering van terme en faktorisering. Maak seker dat jy goed vertroud is met hierdie
metodes voordat jy die werk in die res van hierdie hoofstuk aanpak.
2a; + 2 = 1
2x = 1 — 2 (groepeer soortgelyke terme saam) (9-5)
2x = —1 (so ver as moontlik vereenvoudig)
109
Nou sien cms dat 2x = — 1. Dit beteken dat as cms weerskante deel met 2, dan kry cms:
1
(9-6)
Vervang x = — |, in die oorspronklike vergelyking. Dan kry ons:
LK = 2x + 2
= 2(-|)+2
-1 + 2
(9.7)
1
en
RK = 1
Dit is die basiese beginsels vir die oplossing van lineere vergelykings.
tip: Wanneer jy die oplossing van 'n vergelyking gevind het, vervang die oplossing in die oorspron-
klike vergelyking om jou antwoord te bevestig.
9.1.2.1 Metode: Oplos van Lineere Vergelykings
Die algemene stappe in die oplos van lineere vergelykings is:
1. Verwyder alle hakies in die vergelyking.
2. "Dra" al die terme wat die veranderlike bevat "oor" na die linkerkant van die vergelyking, en alle
konstante terme (die getalle) na die regterkant van die gelykaanteken. Hou in gedagte dat die teken
van die terme sal verander van (+) na (— ) of omgekeerd, soos hulle 'oor' die gelykaanteken 'beweeg'.
3. Groepeer alle soortgelyke terme saam en vereenvoudig so ver as moontlik.
4. Faktoriseer, indien nodig.
5. Vind die oplossing en skryf die antwoord (e) neer.
6. Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in om die antwoord te bevestig.
Khan Akademie video oor vergelykings - 1
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/fl5zA0PhSek&rel=0>
Figure 9.1
Exercise 9.1: Oplos van Lineere Vergelykings (Solution on p. 125.)
Los op vir x: 4 — x = 4
Exercise 9.2: Oplos van Lineere Vergelykings (Solution on p. 125.)
Los op vir x: 4 (2x — 9) — Ax = 4 — 6x
Exercise 9.3: Oplos van Lineere Vergelykings (Solution on p. 125.)
Los op vir x: ?~ x , = 2
^ 3x+l
Exercise 9.4: Oplos van Lineere Vergelykings (Solution on p. 126.)
Los op vir x: \x — 6 = Ix + 2
110 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
9.1.2.1.1 Oplos van Lineere Vergelykings
1. Los op vir y: 2y — 3 = 7 Kliek hier vir die oplossing 2
2. Los op vir y: — 3y = Kliek hier vir die oplossing 3
3. Los op vir y: Ay = 16 Kliek hier vir die oplossing 4
4. Los op vir y: Yly + = 144 Kliek hier vir die oplossing 5
5. Los op vir y: 7 + 5y = 62 Kliek hier vir die oplossing 6
6. Los op vir x: 55 = 5x + | Kliek hier vir die oplossing 7
7. Los op vir x: 5x = 3a; + 45 Kliek hier vir die oplossing 8
8. Los op vir x: 23a; — 12 = 6 + 2x Kliek hier vir die oplossing 9
9. Los op vi x: 12 — 6a; + 34a: = 2x — 24 — 64 Kliek hier vir die oplossing 10
10. Los op vir x: 6x + 3a; = 4 — 5 (2a; — 3) Kliek hier vir die oplossing 11
11. Los op vir p: 18 — 2p = p + 9 Kliek hier vir die oplossing 12
12. Los op vir p: - = 1| Kliek hier vir die oplossing 13
13. Los op vir p: | = | Kliek hier vir die oplossing 14
14. Los op vir p: — ( — 16 — p) = 13p — 1 Kliek hier vir die oplossing 15
15. Los op vir p: 6p — 2 + 2p = — 2 + Ap + 8 Kliek hier vir die oplossing 16
16. Los op vir /: 3/ — 10 = 10 Kliek hier vir die oplossing 17
17. Los op vir /: 3/ + 16 = 4/ — 10 Kliek hier vir die oplossing 18
18. Los op vir /: 10/ + 5 + = -2/ + -3/ + 80 Kliek hier vir die oplossing 19
19. Los op vir /: 8 (/ — 4) = 5 (/ — 4) Kliek hier vir die oplossing 20
20. Los op vir /: 6 = 6 (/ + 7) + 5/ Kliek hier vir die oplossing 21
9.2 Oplos van kwadratiese vergelykings 22
9.2,1 Oplos van Kwadratiese Vergelykings
'n Kwadratiese vergelyking, is 'n vergelyking waar die mag van die veranderlike hoogstens 2 is. Die volgende
is voorbeelde van kwadratiese vergelykings.
2a; 2 + 2a; = 1
m = 2* (9.8)
ix-6 = 7a; 2 + 2
2 http:// www.fhsst.org/lcR
3 http:// www.fhsst.org/lcR
4 http:// www.fhsst.org/lcR
5 http:// www.fhsst.org/lcR
6 http:// www.fhsst.org/lcR
7 http:// www.fhsst.org/lcn
8 http:// www.fhsst.org/lcn
9 http:// www.fhsst.org/lcn
10 http:// www.fhsst.org/lcn
11 http://www.fhsst.org/lcn
12 http:// www.fhsst.org/lcQ
13 http:// www.fhsst.org/lcQ
14 http:// www.fhsst.org/lcQ
15 http:// www.fhsst.org/lcQ
16 http:// www.fhsst.org/lcQ
17 http:// www.fhsst.org/lcU
18 http:// www.fhsst.org/lcU
19 http:// www.fhsst.org/lcU
20 http:// www.fhsst.org/lcU
2 1 http://www.fhsst.org/lcU
22 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39731/l.l/>.
Ill
Kwadratiese vergelykings verskil van lineere vergelykings daarin dat 'n lineere vergelyking slegs een oplossing
het, terwyl 'n kwadratiese vergelyking hoogstens 2 oplossings het. Daar is spesiale gevalle waar 'n kwadratiese
vergelyking slegs een oplossing het.
Om 'n kwadratiese vergelyking op te los, herskryf ons dit met 'n aan die een kant van die gelykaanteken
en die produk van twee lineere uitdrukkings, in hakies, aan die anderkant. Ons weet byvoorbeeld dat:
(x+ 1) (2cc - 3) = 2x 2 -a;-3 (9.9)
Om op te los:
2x 2 - x - 3 = (9.10)
moet ons in staat wees om 2a; 2 — x — 3 te herskryf as (x + 1) (2x — 3), en ons weet reeds hoe om dit te doen.
9.2.1.1 Ondersoek: Faktorisering van 'n Kwadratiese Uitdrukking
Faktoriseer die volgende kwadratiese uitdrukkings:
1. x + x 2
2. x 2 + 1 + 2x
3. x 2 - Ax + 5
4. 16a; 2 - 9
5. 4a; 2 + 4a; + 1
As jy 'n kwadratiese uitdrukking kan faktoriseer, is jy een stap weg daarvan om 'n kwadratiese vergelyking
op te los. Byvoorbeeld, x 2 — 3a; + 2 = kan geskryf word as (x — 1) (x — 2) = 0. Dit beteken dat x — 1 =
of x — 2 = 0, wat x = 1 en x = 2 gee as die 2 oplossings van die kwadratiese vergelyking a; 2 — 3a; + 2 = 0.
9.2.1.2 Metode: Oplos van Kwadratiese Vergelykings
1. Deel heel eerste die hele vergelyking deur enige gemene faktore van die koeffisiente, ten einde 'n verge-
lyking te kry van die vorm aa; 2 + bx + c = waar a, b en c geen gemeenskaplike faktore het nie.
Byvoorbeeld, 2a; 2 + 4a; + 2 = kan geskryf word as x 2 + 2x + 1 = deur te deel met 2.
2. Skryf aa; 2 + bx + c in terme van sy faktore (rx + s) (ux + v). Dit beteken (rx + s) (ux + v) = 0.
3. Wanneer ons die vergelyking geskryf het in die vorm [rx + s) (ux + v) = 0, volg dit dat die oplossing
sal wees x = — - oi x = — -.
r u
4. Vervang elke moontlike waarde van die oplossing in die oorspronklike vergelyking in om te toets of dit
'n geldige oplossing is.
9.2.1.2.1 Oplossing (wortels) van Kwadratiese Vergelykings
'n Kwadratiese vergelyking het 2 wortels omdat enige een van die 2 waardes die vergelyking kan bevredig.
Khan Akademie video oor vergelykings - 3
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/yl9jYxzY8Y8&rel=0>
Figure 9.2
112 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
Exercise 9.5: Oplos van Kwadratiese Vergelykings (Solution on p. 126.)
Los op vir x: 3a; 2 + 2x — 1 = 0.
Dit mag gebeur dat die vergelyking met die eerste oogopslag nie soos 'n kwadratiese vergelyking lyk nie,
maar deur 'n paar bewerkings in een verander kan word. Onthou dat dieselfde bewerking aan elke kant
gedoen moet word om die vergelyking geldig (waar) te hou.
Dit mag nodig wees om een of meer van die volgende te doen:
• Byvoorbeeld,
ax + b = §
x {ax + b) = aj(f) (9.11)
ax 2 + bx = c
• Dit beteken om beide kante te verhef tot die mag — 1. Byvoorbeeld,
hh.r
\ax 2 +bx) ~ \ C >
ax 2 +bx 1
1 — c
ax 2 + bx = -
Dit beteken om weerskante te verhef tot die mag 2. Byvoorbeeld,
(9.12)
Vax 2 + bx = c
(Vax 2 + bxf = c 2 (9.13)
ax 2 + bx = c 2
Hierdie strategiee kan op verskillende wyses gekombineer word en die sekerste manier om jou intui'sie te
ontwikkel oor wat die beste ding is om te doen, is om te oefen. 'n Gekombineerde stel bewerkings kan
byvoorbeeld wees:
i = c
y/ax 2 -\-bx
i V 1 _ ^-i
ax 2 -\-bx
y/ax 2 -\-bx 1
\/ax 2 + bx
(c) (kry weerskante die resiprook)
(9.14)
l
,2 ,n2
(s/ax 2 + bx) = (-) (kwadreer weerskante)
ax 2 + bx = -^
Exercise 9.6: Oplos van Kwadratiese Vergelykings (Solution on p. 127.)
Los op vir x: v ' x + 2 = x.
Exercise 9.7: Oplos van Kwadratiese Vergelykings (Solution on p. 128.)
Los die vergelyking op: x 2 + 3a; — 4 = 0.
Exercise 9.8: Oplos van Kwadratiese Vergelykings (Solution on p. 128.)
Vind die wortels van die kwadratiese vergelyking = — 2x 2 + Ax — 2.
113
9.2.1.2.2 Oplos van Kwadratiese Vergelykings
1. Los op vir x: (3a; + 2) (3a; — 4) = Kliek hier vir die oplossing 23
2. Los op vir x: (5a; — 9) (x + 6) = Kliek hier vir die oplossing 24
3. Los op vir x: (2x + 3) (2x — 3) = Kliek hier vir die oplossing 25
4. Los op vir x: (2x + 1) (2x — 9) = Kliek hier vir die oplossing 26
5. Los op vir x: (2x — 3) (2x — 3) = Kliek hier vir die oplossing 27
6. Los op vir x: 20a; + 25x 2 = Kliek hier vir die oplossing 28
7. Los op vir x: Ax 2 — Ylx — 77 = Kliek hier vir die oplossing 29
8. Los op vir x: 2x 2 — 5x — 12 = Kliek hier vir die oplossing 30
9. Los op vir x: —75a; 2 + 290a; — 240 = Kliek hier vir die oplossing 31
10. Los op vir x: 2x = \x 2 — 3a; + 14 1 Kliek hier vir die oplossing 32
11. Los op vir x: x 2 — Ax = —4 Kliek hier vir die oplossing 33
12. Los op vir x: —x 2 + Ax — 6 = 4a; 2 — 5a; + 3 Kliek hier vir die oplossing 34
13. Los op vir x: x 2 = 3a; Kliek hier vir die oplossing 35
14. Los op vir x: 3a; 2 + 10a; — 25 = Kliek hier vir die oplossing 36
15. Los op vir x: x 2 — x + 3 Kliek hier vir die oplossing 37
16. Los op vir x: x 2 — Ax + 4 = Kliek hier vir die oplossing 38
17. Los op vir x: a; 2 — 6x = 7 Kliek hier vir die oplossing 39
18. Los op vir x: lAx 2 + 5x = 6 Kliek hier vir die oplossing 40
19. Los op vir x: 2x 2 — 2x = 12 Kliek hier vir die oplossing 41
20. Los op vir x: 3a; 2 + 2y — 6 = x 2 — x + 2 Kliek hier vir die oplossing 42
9.3 Eksponensiele vergelykings 43
9.3.1 Ekponensiele Vergelykings van die vorm ka^^ = m
Eksponensiele vergelykings het in die algemeen die veranderlike in die mag. Die volgende is voorbeelde van
eksponensiele vergelykings:
2 X = 1
2~ x _
| - 6 = 7 X + 2
2 (9.15)
23 http:// www.fhsst.org/lcP
24 http:// www.fhsst.org/lcP
25 http:// www.fhsst.org/lcP
26 http:// www.fhsst.org/lcP
27 http:// www.fhsst.org/lcP
28 http:// www.fhsst.org/lcE
29 http:// www.fhsst.org/lcE
30 http:// www.fhsst.org/lcE
3 1 http://www.fhsst.org/lcE
32 http:// www.fhsst.org/lcE
33 http:// www.fhsst.org/lcE
34 http:// www.fhsst.org/lcm
35 http:// www.fhsst.org/lcm
36 http:// www.fhsst.org/lcm
37 http:// www.fhsst.org/lcm
38 http:// www.fhsst.org/lcm
39 http:// www.fhsst.org/lcm
40 http:// www.fhsst.org/lcm
4 x http://www.msst .org/lcm
42 http:// www.fhsst.org/lcm
43 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39743/l.l/>.
114
CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
Jy behoort reeds vertroud te wees met eksponensiele notasie. Oplos van eksponensiele vergelykings is
eenvoudig, solank ons onthou hoe om die eksponentwette toe te pas.
9.3.1.1 Ondersoek: Oplos van Eksponensiele Vergelykings
Los die volgende vergelykings op deur die tabel te voltooi:
2 X
= 2
X
-3
-2
-1
1
2
3
2 X
Table 9.1
3*
= 9
X
-3
-2
-1
1
2
3
3*
Table 9.2
2 x+l =
= 8
X
-3
-2
-1
1
2
3
2 x+l
Table 9.3
9.3.1.2 AlgebraTese Oplossing
Definition 9.1: Gelykheid van Eksponensiele Funksies
As a 'n positiewe getal is so dat a > 0, (behalwe wanneer a = 1 ) dan:
as en slegs as:
(9.16)
x = y (9.17)
(As a = 1, dan kan x en y verskil.)
Dit beteken dat indien ons al die terme met dieselfde grondtal kan skryf, kan ons die eksponensiele
vergelykings oplos deur die eksponente gelyk te stel. Neem byvoorbeeld die vergelyking 3 X+1 = 9. Dit kan
geskryf word as:
3 X+1 = 3 2 (9.18)
Aangesien die grondtalle gelyk is (aan 3), weet ons dat die eksponente gelyk moet wees. Daarom kan ons
skryf:
Dit gee:
x+1 = 2
x= 1
(9.19)
(9.20)
115
9.3.1.2.1 Metode: Oplos van Eksponensiele Vergelykings
1. Probeer om al die terme met dieselfde grondtal te skryf.
2. Stel die eksponente van die grondtalle van die LK en RK gelyk.
3. Los die vergelyking wat in die vorige stap verkry is, op.
4. Bevestig die antwoorde.
9.3.1.2.1.1 Ondersoek : Eksponensiele Getalle
Skryf die volgende met dieselfde grondtal. Die grondtal is eerste in die lys. Byvoorbeeld in die lys 2, 4, 8, is
die grondtal twee(2) en ons kan 4 skryf as 2 2 .
1. 2,4,8,16,32,64,128,512,1024
2. 3,9,27,81,243
3. 5,25,125,625
4. 13,169
5. 2x, 4a; 2 , 8a; 3 , 49a; 8
Exercise 9.9: Oplos van Eksponensiele Vergelykings (Solution on p. 128.)
Los op vir x: 2 X = 2
Exercise 9.10: Oplos van Eksponensiele Vergelykings (Solution on p. 129.)
Los op:
■)X+4 _ A 2x
A Zx (9.21)
9.3.1.2.1.2 Oplos van Eksponensiele Vergelykings
1. Los die volgende eksponensiele vergelykings op:
a. 2 X+5 = 2 5
b. 3 2a;+1 = 3 3
c. 5 2x + 2 = 5 3
d. 6 5 " x = 6 12
e. QA X+1 = 16 2x+5
f. 125* = 5
Kliek hier vir die oplossing 44
2. Los op i 9x - 2 = 27
Kliek hier vir die oplossing 45
3. Los op vir k: 81 fc+2 = 27 fe+4
Kliek hier vir die oplossing 46
4. Die groei van alge in 'n poel kan gemodelleer word met die funksie / (t) = 2*. Vind die waarde van t
sodat / (t) = 128 Kliek hier vir die oplossing 47
5. Los op vir x: 25^^ 2x ' = 5 4 Kliek hier vir die oplossing 48
6. Los op vir x: 27 x x 9 X ~ 2 = 1 Kliek hier vir die oplossing 49
44 http:// www.fhsst.org/lce
45 http:// www.fhsst.org/lct
46 http:// www.fhsst.org/lct
47 http:// www.fhsst.org/lcz
48 http:// www.fhsst.org/lcu
49 http:// www.fhsst.org/lcu
116 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
9.4 Lineere ongelykhede 50
9.4.1 Lineere Ongelykhede
9.4.1.1 Ondersoek : Ongelykhede op 'n Getallelyn
Stel die volgende voor op getallelyne:
1. x = 4
2. x < 4
3. x <4
4. x > 4
5. x > 4
'n LineSre ongelykheid is soortgelyk aan 'n lineere vergelyking aangesien die hoogste eksponent van die
veranderlike 1 is. Die volgende is voorbeelde van lineere ongelykhede:
2x + 2 < 1
2-x
3x+l
> 2 (9.22)
i
3 x-6 < 7x + 2
Die metodes wat gebruik word om lineere ongelykhede op te los, is identies aan die wat gebruik word om
lineere vergelykings op te los. Die enigste verskil kom voor wanneer daar 'n vermenigvuldiging met of deling
deur 'n negatiewe getal is. Ons weet byvoorbeeld dat 8 > 6. As beide kante van die ongelykheid gedeel word
(byvoorbeeld deur —2), sien ons —4 is nie groter as —3 nie. Dus moet die ongelykheid omkeer, wat beteken
-4 < - 3.
tip: Wanneer beide kante van 'n ongelykheid met 'n negatiewe getal vermenigvuldig word, of met
'n negatiewe getal gedeel word, verander die rigting van die ongelykheid. Om hierdie rede mag
ons nie met 'n veranderlike vermenigvuldig as ons nie weet nie wat die onbekende (veranderlike) se
teken is nie.
Byvoorbeeld, as x < 1, dan — x > — 1.
Om 'n ongelykheid met 'n gewone vergelyking te vergelyk, sal ons eers die gewone vergelyking oplos. Los
op 2a; + 2 = 1.
(9.23)
+ 2
=
1
2x
=
1-2
2.T
=
-1
X
=
l
2
As ons hierdie antwoord op 'n getallelyn voorstel, kry ons:
Image not finished
Figure 9.3
°This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39745/l.l/>.
117
Kom cms los nou die ongelykheid 2a; + 2 < 1 op:
2x + 2 < 1
2x < 1-2
(9.24)
2x < -1
x < -\
As ons hierdie antwoord op 'n getallelyn voorstel, kry ons:
Image not finished
Figure 9.4
Soos jy kan sien, vir die vergelyking is daar slegs 'n enkele waarde van x waarvoor die vergelyking waar
is. Vir die ongelykheid is daar egter 'n hele versameling waardes waarvoor die ongelykheid waar is. Dit is
die groot verskil tussen gewone vergelykings (gelykhede) en ongelykhede.
Khan Akademie video oor ongelykhede - 1
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/y7QLay8wrW8&rel=0>
Figure 9.5
Khan Akademie video oor ongelykhede - 2
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/VgDe_D8ojxw&rel=0>
Figure 9.6
Exercise 9.11: Lineere Ongelykhede (Solution on p. 130.)
Los op vir r: 6 — r > 2
Exercise 9.12: Lineere Ongelykhede (Solution on p. 130.)
Los op vir q: Aq + 3 < 2 (q + 3) en stel die oplossing voor op 'n getallelyn.
Exercise 9.13: Saamgestelde Lineere Ongelykhede (Solution on p. 130.)
Los op vir a;: 5 < x + 3 < 8 en stel die antwoord op 'n getallelyn voor.
118 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
9.4.1.2 Lineere Ongelykhede
1. Los op vir x en stel die oplossing grafies voor:
a. 3a; + 4 > 5x + 8
b. 3(x- 1) - 2 < 6a; + 4
3 2
d. -4(a;-l) < x + 2
e. 2^ + 3 ( x ~ J-J ^ g^ — 3
Kliek hier vir die oplossing 51
2. Los die volgende ongelykhede op. Illustreer jou antwoord op 'n getallelyn as x 'n reele getal is.
a. -2 < x - 1 < 3
b. -5 < 2x - 3 < 7
Kliek hier vir die oplossing 52
3. Los op vir x: 7 (3a; + 2) — 5 (2a; — 3) > 7 Illustreer die antwoord op 'n getallelyn. Kliek hier vir die
oplossing 53
9.5 Lineaire gelyktydige vergely kings 54
9.5.1 Gelyktydige Lineere Vergelykings
Tot dusver het alle vergelykings slegs een onbekende veranderlike gehad wat ons moes vind. Wanneer 2
onbekendes bepaal moet word, het ons 2 vergelykings nodig. Hierdie vergelykings word gelyktydige verge-
lykings genoem. Die oplossing vir die stelsel van gelyktydige vergelykings is die waardes van die veranderlikes
wat die stelsel van vergelykings gelyktydig sal bevredig. In die algemeen beteken dit indien daar n onbekende
veranderlikes is, benodig ons n vergelykings om 'n oplossing vir elk van die n veranderlikes te vind.
'n Voorbeeld van stel gelyktydige vergelykings is:
2x + 2y=l /
9.25
2-x _ 2
3y+l
9.5.1.1 Oplos van Gelyktydige Vergelykings
Om 'n numeriese waarde vir onbekende veranderlikes te vind, moet ons ten minste soveel onafhanklike
vergelykings as veranderlikes he. Ons kan gelyktydige vergelykings algebrai'es of grafies oplos.
Khan Akademie video oor gelyktydige vergelykings - 1
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/nok99JOhcjo&rel=0>
Figure 9.7
http
5.1
52 http
53 http
54
// www.fhsst.org/lc J
// www.fhsst.org/lcS
// www.fhsst.org/lch
This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39756/l.l/>.
119
9.5.1.2 Grafiese Oplossing
Gelyktydige vergelykings kan grafies opgelos word. Die oplossing van die gelyktydige vergelykings word gegee
deur die koordinate van die punt waar die twee grafieke mekaar sny.
x = 2y „
(9.26)
y = 2x — 3
Trek die grafieke van die 2 vergelykings in (9.26).
Image not finished
Figure 9.8
Die snypunt van die 2 grafieke is (2, 1). Dus, die oplossing van die stel gelyktydige vergelykings in (9.26)
is y = 1 and x = 2.
Dit kan algebrai'es getoon word as:
x = 2y
.-. y = 2(2y)-3
y-4y = -3
-Sy = -3 (9.27)
y = i
Stel in die eerste vergelyking in : x = 2(1)
= 2
Exercise 9.14: Gelyktydige Vergelykings (Solution on p. 131.)
Los die volgende stel gelyktydige vergelykings grafies op.
4y + 3x = 100
4y-l9x = 12
(9.28)
9.5.1.3 Oplossing deur Vervanging
'n Algemene algebrai'ese metode is vervanging: probeer een van die vergelykings op te los vir een van die
veranderlikes en vervang die resultaat in die ander vergelykings. Deur dit te doen verminder die hoeveelheid
vergelykings en ook die hoeveelheid onbekende veranderlikes met 1. Hierdie proses word herhaal tot 'n enkele
vergelyking met 1 veranderlike oorbly, wat (hopelik) opgelos kan word. Terugvervanging kan dan gebruik
word om die waardes van die ander veranderlikes te bevestig.
In die voobeeld (9.25), los ons die eerste vergelyking op vir x:
x=\-V (9-29)
120
CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
en stel hierdie resultaat in die tweede vergelyking in:
2-x
3y+i
*-{h-y)
3y+i
= 2
= 2
2 - (| - S/)
= 2(3y+l)
2-5 + 2/
6y + 2
y-Qy
= -2 + i + :
-by
i
2
y
1
10
X =
\-v
=
2 V 10 7
=
10
=
3
5
e vergelykings
(9.25) is:
x =
3
5
y =
1
10
(9.30)
(9.31)
(9.32)
Exercise 9.15: Gelyktydige Vergelykings
Los die volgende stelsel gelyktydige vergelykings op:
(Solution on p. 131.)
4y + 3x
Ay - 19a;
100
12
(9.33)
Exercise 9.16: Tweewielfietse en Driewiele (Solution on p. 132.)
'n Winkel verkoop tweewielfietse en driewiele. In totaal is daar 7 fietse (fietse sluit tweewielfietse
en driewiele in) en 19 wiele. Bepaal hoeveel van elke soort fiets is daar.
9.5.1.3.1 Gelyktydige vergelykings
1. Los grafies op en bevestig jou antwoord algebrai'es: 3a — 267 = ,
oplossing 55
2. Los algebrai'es op: 15c + lid — 132 = 0, 2c + 3d — 59 = Kliek hier vir die oplossing 56
3. Los algebrai'es op: — 18e — 18 + 3/ = 0, e — 4/ + 47 = Kliek hier vir die oplossing 57
4. Los grafies op: x + 2y = 7, x + y = Kliek hier vir die oplossing 58
46 + 1 = Kliek hier vir die
55 http:// www.fhsst.org/lxq
56 http:// www.fhsst.org/lxl
57 http:// www.fhsst.org/lxi
58 http:// www.fhsst.org/lx3
121
9.6 Letterlike vergelykings 59
9.6.1 Vergelykings met Letterkoeffisiente (Lettervergelykings)
'n Vergelyking met letterkoeffisiente is een wat verskeie letters of veranderlikes bevat. Voorbeelde sluit die
area van 'n sirkel (A = nr 2 ) in en die formule vir die berekening van spoed (s = |). In hierdie afdeling
sal jy leer hoe om vergelykings met letterkoeffisiente op te los in terme van een van die veranderlikes. Om
dit te doen, sal jy die beginsels oor die oplos van vergelykings wat jy geleer het, gebruik en toepas om die
woordvergelykings te herrangskik. Die oplos van vergelykings met letterkoeffisiente staan ook bekend as
verandering van die onderwerp van 'n formule.
Wanneer jy lettervergelykings oplos, behoort jy die volgende in gedagte tehou:
• Ons isoleer die onbekende deur te vra wat daaraan verbind is en hoe dit daaraan verbind is en dan
doen ons die teenoorgestelde bewerking (aan beide kante as 'n geheel).
• As die onbekende veranderlike in twee of meer terme voorkom, haal ons dit uit as 'n gemeenskaplike
faktor.
• As ons weerskante die vierkantswortel moet neem, onthou dat daar 'n positiewe sowel as 'n negatiewe
antwoord mag wees.
• As die onbekende veranderlike in die noemer is, dan vind ons die kleinste gemene noemer (KGN),
vermenigvuldig weerskante met die KGN en gaan dan voort om die probleem op te los.
Exercise 9.17: Oplos van lettervergelykings - 1 (Solution on p. 132.)
Die area van 'n driehoek is A = |6 x h. Wat is die hoogte van die driehoek in terme van die basis
en area?
9.6.1.1 Oplos van Lettervergelykings
1. Los op vir t: v = u + at
Kliek hier vir die oplossing 60
2. Los op vir x: ax — bx = c
Kliek hier vir die oplossing 61
3. Los op vir x: \ + ^ = 2
Kliek hier vir die oplossing 62
9.7 Wiskundige modelle 63
9.7.1 Wiskundige Modelle (Nie in CAPS - ingesluit vir volledigheid)
9.7.1.1 Inleiding
Thinus and Ronelle is vriende. Thinus gaan haal Ronelle se Fisika antwoordstel, maar wil nie haar punt vir
haar se nie. Hy weet sy hou nie van Wiskunde nie, so hy besluit om haar siel uit te trek. Thinus se: "Ek
het 2 punte meer as jy behaal en die som van ons altwee se punte is gelyk aan 14. Hoeveel het ons elkeen
gekry?" Kom ons help Ronelle om haar punt te bereken.
of!
9 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39748/l.l/>.
http
61 http
62 http
// www.fhsst.org/lgw
// www.fhsst.org/lgw
// www.fhsst.org/lgw
This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39751/l.l/>.
122 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
Ons het twee onbekendes, Thinus se punt, wat ons t sal noem, en Ronelle s'n, wat ons j sal noem. Thinus
het 2 meer punte as Ronelle. Daarom is,
t = j + 2 (9.34)
Ons weet ook beide punte is saam 14. Dus,
t + j = 14 (9.35)
Die 2 vergelykings maak 'n stel lineere (want die hoogste mag is een) gelyktydige vergelykings - en ons weet
hoe om dit op te los! Vervang t in die tweede vergelyking om te kry:
t + j = 14
j + 2 + j = 14
2j + 2 = 14
2 (i + 1) = 14 (9.36)
j + 1 = 7
j = 7-1
6
Dus,
t = j + 2
= 6+2 (9.37)
So, ons sien Thinus het 8 en Ronelle het 6 gekry vir die toets.
Hierdie probleem is 'n voorbeeld van 'n eenvoudige wiskundige model. Ons het 'n probleem geneem en
was in staat daartoe om dit wiskundig te formuleer (neer te skryf). Die oplossing van die vergelykings gee
dan die oplossing van die probleem.
9.7.1.2 Probleemoplossing Strategie
Die doel van hierdie afdeling is om vir jou die vaardighede te leer om 'n probleem te neem en dit wiskundig
te formuleer sodat dit opgelos kan word. Die algemene stappe is:
1. Lees die HELE vraag!
2. Bepaal wat gevra word.
3. Gebruik ('n) veranderlike(s) om die onbekende getalle/hoeveelhede wat gevra word voor te stel, byvoor-
beeld x.
4. Herskryf die inligting wat gegee is in terme van die veranderlike(s). Dus, vertaal die woorde in alge-
brai'ese taal.
5. Stel 'n vergelyking of 'n stel gelyktydige vergelykings ('n Wiskundige model) op om die onbekende te
kry.
6. Los die vergelyking algebrai'es op om die oplossing te vind.
123
9.7.1.3 Toepassing van Wiskundige Modellering
Exercise 9.18: Wiskundige Modellering: twee veranderlikes (Solution on p. 132.)
Drie liniale en twee penne kos saam R 21,00. Een liniaal en een pen kos saam R 8,00. Hoeveel kos
'n pen op sy eie en hoeveel kos 'n liniaal op sy eie?
Exercise 9.19: Wiskundige Modellering: een veranderlike (Solution on p. 133.)
'n Vrugteskommel kos R2,00 meer as 'n sjokolade melkskommel. As 3 vrugteskommels en 5
sjokolade melkskommels saam R78,00 kos, bepaal die individuele pryse.
9.7.1.3.1 Wiskundige Modelle
1. Vian het 1 liter van 'n mengsel wat 69% sout bevat. Hoeveel water moet Vian bygooi om die mengsel
50% sout te maak? Skryf jou antwoord as 'n breukdeel van 'n liter. Kliek hier vir die oplossing 64
2. Die diagonaal van 'n reghoek is 25 cm meer as die wydte. Die lengte van die reghoek is 17 cm meer as
die wydte. Wat is die afmetings van die reghoek? Kliek hier vir die oplossing 65
3. Die som van 27 en 12 is 73 meer as 'n onbekende getal. Vind die onbekende getal. Kliek hier vir die
oplossing 66
4. Die twee kleiner hoeke van 'n reghoekige driehoek is in die verhouding 1:2. Wat is die groottes van die
twee hoeke? Kliek hier vir die oplossing 67
5. Werner besit 'n bakkery wat spesialiseer in troukoeke. Vir elke troukoek kos dit Werner R150 vir
bestandele, R50 vir ekstras en R5 vir advertering. Werner se troukoeke kos R400 elk. Hoeveel wins
maak Werner op 'n troukoek? Druk jou antwoord uit as 'n persentasie van die koste. Kliek hier vir
die oplossing 68
6. As 4 keer 'n getal met 7 vermeerder word, is die resultaat 15 minder as die vierkant (kwadraat) van
die getal. Vind die getal wat hierdie stelling bevredig deur 'n vergelyking op te stel en dan op te los.
Kliek hier vir die oplossing 69
7. Die lengte van 'n reghoek is 2 cm meer as die wydte van die reghoek. Die omtrek van die reghoek is
20 cm. Vind die lengte en breedte van die reghoek. Kliek hier vir die oplossing 70
9.7.1.4 Opsomming
• 'n Lineere vergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste mag van die veranderlike (letter, byvoorbeeld
x) l(een) is. 'n Lineere vergelyking het op die meeste een oplossing.
• 'n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste mag van die veranderlike 2 is. 'n
Kwadratiese vergelyking het op die meeste 2 oplossings.
• 'n Eksponensiele vergelyking het in die algemeen die onbekende veranderlike in die mag. Die algemene
vorm van 'n eksponensiele vergelyking is: ka^ x+p ^ = m
• 'n Lineere ongelykheid is soorgelyk aan 'n lineere vergelyking en met die hoogste mag van die verander-
like gelyk aan 1. Wanneer jy weerskante van 'n ongelykheid deel of vermenigvuldig met 'n negatiewe
getal, draai die rigting van die ongelykheid om. Jy kan lineere ongelykhede oplos met dieselfde metodes
as lineere vergelykings
• Wanneer 2 onbekende veranderlikes opgelos moet word, moet jy 2 vergelyking gebruik en hierdie
vergelykings staan bekend as gelyktydige vergelykings. Daar is twee maniere waarop jy gelyktydige
lineere vergelykings kan oplos: grafies en algebrai'es. Om die vergelykings grafies op te los, trek jy 'n
64 http:// www.fhsst.org/lcy
65 http:// www.fhsst.org/lcV
66 http:// www.fhsst.org/lcp
67 http:// www.fhsst.org/lcw
68 http:// www.fhsst.org/lcd
69 http:// www.fhsst.org/lcf
70 http:// www.fhsst.org/lcv
124 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
grafiek van elke vergelyking en die oplossing sal die koordinate van die snypunt van die grafieke wees.
Om die oplossing algebrai'es te vind, los jy een vergelyking op vir een veranderlike en stel dan daardie
oplossing in die ander vergelyking in om die ander veranderlike se waarde te vind.
• Lettervergelykings is vergelykings waar jy verskeie letters (verander likes) het en jy herrangskik die
vergelyking om die oplossing te vind in terme van een van die letters (veranderlikes)
• Wiskundige modellering is waar ons 'n vergelyking of 'n stel vergelykings opstel om 'n probleem
wiskundig voor te stel. Die oplossing van die vergelykings gee dan die oplossing van die probleem.
9.7.1.5 Einde van Hoofstuk Probleme
1. Wat is die wortels van die kwadratiese vergelyking x 2 — 3a; + 2 = ? Kliek hier vir die oplossing 71
2. Wat is die oplossing van die vergelyking x 2 + x = 6 ? Kliek hier vir die oplossing 72
3. In die vergelyking y = 2x 2 — 5x — 18, wat is die waarde van x when y = ? Kliek hier vir die
oplossing 73
4. Marie het 5 meer CD's as Natalie. Rulof het twee keer soveel as Marie. Saam het hulle 63 CD's.
Hoeveel het elke persoon afsonderlik? Kliek hier vir die oplossing 74
5. Sewe agtstes van 'n getal is 5 meer as 'n derde van die getal. Vind die getal. Kliek hier vir die
oplossing 75
6. 'n Man hardloop na 'n telefoon en terug in 15 minute. Sy spoed na die telefoon is 5 m/s en sy spoed
terug is 4 m/s. Wat is die afstand na die foon?. Kliek hier vir die oplossing 76
7. Los die ongelykheid op en antwoord dan die vrae: | — 14 > 14 — |
a. As x G R, skryf die oplossing in intervalnotasie.
b. as x G Z en x < 51, skryf die oplossing as 'n stel heelgetalle.
Kliek hier vir die oplossing 77
f 2 > 1
9. Los op vir x : x — 1 = — Kliek hier vir die oplossing 79
10. Los op vir x and y: 7x + 2>y = 13 en 2x — 3y = —4 Kliek hier vir die oplossing :
8. Los op vir a: K^- — 2 -^ L > 1 Kliek hier vir die oplossing 78
.80
71 http://www.fhsst.org/lcG
72 http:// www.fhsst.org/lc7
73 http:// www.fhsst.org/lcA
74 http:// www.fhsst.org/lco
75 http:// www.fhsst.org/lcs
76 http:// www.fhsst.org/lcH
77 http:// www.fhsst.org/lc6
78 http:// www.fhsst.org/lcF
79 http:// www.fhsst.org/lcL
80 http://www.fhsst.org/lcM
125
Solutions to Exercises in Chapter 9
Solution to Exercise 9.1 (p. 109)
Step 1. Ons word gegee 4 — x = A en word gevra om vir x op te los.
Step 2. Aangesien daar geen hakies is nie, kan ons begin met die herrangskikking en dan die groepering van
soorgelyke terme.
Step 3.
(9.38)
x = 4
x = 4-4
(herrangskik)
x =
(groepeer soortgelyke terme)
x =
Step 4. Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in:
(9.39)
4-0 = 4
4 = 4
Aangesien beide kante gelyk is, is die antwoord korrek.
Step 5. Die oplossing van 4 — x = 4isx = 0.
Solution to Exercise 9.2 (p. 109)
Step 1. Ons word gegee 4 (2x — 9) — Ax = 4 — 6x en word gevra om op te los vir x.
Step 2. Ons begin met die uitbreiding van hakies, dan herrangskikking, daarna groepering van soortgelyke
terme en uiteindelik vereenvoudiging.
Step 3.
4 (2x - 9) - Ax =
= 4- 6x
8a; - 36 - Ax =
= A-6x
8x — Ax + 6x =
= 4 + 36
(8x -Ax + 6x) =
= (4 + 36
Wx =
40
10*
( brei die hakies uit)
(herrangskik)
(4 + 36) (groepeer soortgelyke terme saam)
(vereenvoudig gegroepeerde terme)
(deel weerskante deur 10)
4
(9.40)
ill
10
Step 4. Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in:
4(2(4) -9) -4 (4) =
4-6(4)
4 (8 -9) -16 =
4-24
4(-l)-16 =
-20
-4-16 =
-20
-20 =
-20
(9.41)
Aangesien beide kante gelyk is aan —20, is die antwoord korrek.
Step 5. Die oplossing van 4 (2x — 9) — Ax = A — 6x is x = A.
Solution to Exercise 9.3 (p. 109)
Step 1. Ons word gegee
2-x
3x+l
2 en word gevra om op te los vir x.
126 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
Step 2. Aangesien daar 'n noemer van (3a; + 1) is, kan cms begin deur weerskante van die vergelyking te
vermenigvuldig met (3a; + 1). Omdat deling met ontoelaatbaar is, is daar 'n beperking op die waarde
Step 3.
(brei hakies uit)
(herrangskik) (9.42)
(vereenvoudig gegroepeerde terme)
(zero gedeel deur enige ander getal is 0)
Step 4. Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in:
2-(0) =
L
2
van x (x / -gi).
2-x
3x+l
=
2
(2-x)
=
2(3x + r
2-x
=
6a; + 2
—x — 6x
=
2-2
-7x
=
X
=
0-5- (-7)
X
=
;ii:TrT ~ 2 (9.43)
Aangesien weerskante gelyk is aan 2, is die antwoord korrek.
ep 5. Die oplossing van ^~f x = 2 is x = 0.
Solution to Exercise 9.4 (p. 109)
Step 1. Ons word gegee |x — 6 = 7a; + 2 en word gevra om op te los vir x.
Step 2. Ons begin deur elk van die terme in die vergelyking te vermenigvuldig met 3, daarna soortelyke terme
saam te groepeer en vervolgens te vereenvoudig.
Step 3.
7a; + 2
21a; + 6 (elke term word vermenigvuldig met 3)
6+18 (herrangskik)
V ; (9.44)
24 (vereenvoudig gegroepeerde terme)
* 7
:-6
Ax
- 18
Ax -
21a;
-17a;
~-^-x
-17
24
-17
-24
17
(deel weerskante deur — 17)
x =
Step 4. Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in:
|xf-6 = 7xf+2
4x(-8) f. _ 7x(-24) 9
(17) D — 17 ~r Z
(-32) _ f. _ -168 , 9
17 D — 17 "I" *
-32-102 = (-168)+34
17 17
-134 _ -134
17 — 17
-134
(9.45)
Beide kante is gelyk aan ^ , dus die oplossing is reg.
Step 5. Die oplossing van |x — 6 = 7a; + 2 is, x = = ^ L -
Solution to Exercise 9.5 (p. Ill)
Step 1. Ons het gesien die faktore van 3a; 2 + 2a; — 1 is (x + 1) and (3a; — 1).
127
Step 2.
(x + 1) (3a; - 1) = (9.46)
Step 3. Ons het
x + 1 = (9.47)
of
3x - 1 = (9.48)
Dus, x = — lofcc=|.
Step 4. As ons die antwoorde instel in die oorspronklike vergelyking in, vind ons die vergelyking is waar vir
beide antwoorde.
Step 5. 3a; 2 + 2x - 1 = vir x = -1 of x = |.
Solution to Exercise 9.6 (p. 112)
Step 1. Beide kante van die vergelyking behoort gekwadreer te word om die vierkantswortelteken te verwyder.
Step 2.
x + 2 = x 2
x + 2
=
x 2 (trek x'
x + 2 - x 2
=
(deel w
x-2 + x 2
=
x 2 — x — 2
x 2 - x - 2
(9.49)
(9.50)
Step 3.
(9.51)
Die faktore van x 2 — x — 2 is (x — 2) (x + 1).
Step 4.
(x-2)(x + l) =0 (9.52)
Step 5. Ons het
x + l = (9.53)
of
Dus, x = — 1 of x = 2.
x -
-2 =
gelyking
\Jx + 2 = x:
LK =
v/(-l) + 2
=
Vi
=
1
naar
RK =
(-D
(9.54)
(9.55)
128 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
Daarom LK / RK. Die twee kante van 'n vergelyking moet altyd balanseer; 'n moontlike oplossing
wat NIE die vergelyking bevredig nie, is nie geldig nie. In hierdie geval balanseer die twee kante van
die vergelyking nie.
Dus x ^ — 1.
Stel nou x = 2 in die oorspronklike vergelyking in \Jx + 2 = x:
LK =
V2 + 2
=
\M
=
2
en
RK =
2
(9.56)
Dus, LK = RK
Dus x = 2 is die enigste geldige oplossing.
Step 7. \Jx + 2 = x vir x = 2 alleenlik.
Solution to Exercise 9.7 (p. 112)
Step 1. Die vergelyking is in die verlangde vorm, met a = 1.
Step 2. Jy benodig die faktore van 1 en 4 sodat die middelterm +3 is. So, die faktore is:
0-l)(x + 4)
Step 3.
Dus x = 1 of x = —4.
Step 4.
x 2 + 3x-4 = (x- l)(x + 4) = (9.57)
l 2 + 3(l)-4 = (9.58)
(-4) 2 + 3 (-4) -4 = (9.59)
Beide oplossings is geldig.
Step 5. Dus, die oplossing is x = 1 of x = —4.
Solution to Exercise 9.8 (p. 112)
Step 1. Daar is 'n gemeenskaplike faktor: -2. Dus, deel weerskante van die vergelyking deur -2.
-2x 2 + 4x-2 =
x 2 -2x+l =
(9.60)
Step 2. Die middelterm is negatief. Dus, die faktore is (x — 1) (x — 1).
As ons uitvermenigvuldig (x — 1) (x — 1), kry ons x 2 — 2x + 1.
Step 3.
x 2 -2x+l = (x- l)(x- 1) = (9.61)
In hierdie geval is die kwadratiese uitdrukking 'n volkome vierkant, so daar is net een oplossing vir x:
x = 1.
Step 4. -2(1) 2 + 4(1) -2 =
Step 5. Die wortel van = — 2x 2 + 4x — 2 is x = 1.
Solution to Exercise 9.9 (p. 115)
Step 1. Al die terme word geskryf met dieselfde grondtal:
2 X = 2 1 (9.62)
129
Step 2.
x = 1 (9.63)
Step 3.
LK = 2 X
= 2 1
= 2
(9.64)
RK = 2 1
= 2
= LK
Aangesien beide kante van die vergelyking dieselfde is, is die antwoord korrek.
Step 4.
is die oplossing van 2 X = 2.
Solution to Exercise 9.10 (p. 115)
Step 1.
Step 2.
Step 3.
Step 4.
x = 1 (9.65)
nx+4 a2x
2 X + 4 = 2 2( - 2x 1 (9.66)
x + 4 = Ax (9.67)
x + A
= 4x
x — Ax
= -4
—3a;
= -4
X
-4
~ -3
X
4
3
K =
oi+4
=
2 (f+ 4 )
=
2^
=
(2 16 ) 1
,K =
4 2x
=
4 2 (D
=
4§
=
(4»)*
=
((2 2 ) 8 )
=
(2 16 )*
=
LK
(9.68)
(9.69)
130 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
Aangesien beide kante dieselfde is, is die oplossing korrek.
Step 5.
x = | (9.70)
is die oplossing van 2 x+i = 4 2x .
Solution to Exercise 9.11 (p. 117)
Step 1.
-r > 2- 6
(9.71)
-r > - 4
Step 2. Wanneer jy met 'n negatiewe getal vermenigvuldig, draai die rigting van die ongelykheid om.
r < 4 (9.72)
Image not finished
Step 3.
Figure 9.9
Solution to Exercise 9.12 (p. 117)
Step 1.
Step 2.
4g + 3 < 2{q+3)
4g + 3 < 2q + 6
Step 3.
4g + 3 <
2q + 6
4q-2q <
6-3
2g <
3
2q < 3 deel beide kante deur 2
q <
3
2
Image not finished
Step 4.
Figure 9.10
Solution to Exercise 9.13 (p. 117)
Step 1.
5-3< rr + 3-3 <8-3
2 < x < 5
(9.73)
(9.74)
(9.75)
(9.76)
131
Image not finished
Step 2.
Figure 9.11
Solution to Exercise 9.14 (p. 119)
Step 1. Vir die eerste vergelyking:
en vir die tweede vergelyking:
Ay + 3x
=
100
Ay
=
100 - 3a;
y
=
25- \x
Ay - 19x
=
12
4y
=
19a; +12
V
=
f* + 3
Image not finished
Figure 9.12
Step 2. Die grafieke sny by (4,22).
Step 3.
x =
A
y =
22
Solution to Exercise 9.15 (p. 120)
Step 1.
Step 2.
Step 3.
_ 100-4;
a, — 3
•i
Ay 19( w °- iy )
=
12
\y- 19(100-4y)
=
36
12j/ - 1900 + 76y
=
36
88y
=
1936
y
=
22
(9.77)
(9.78)
(9.79)
Ay + 3a; = 100
3a; = 100 -Ay (9.80)
(9.81)
132 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
Step 4.
100-4(22)
3
100-88
3
12
3
Step 5.
4 (22) + 3 (4) = 88+12 = 100
4(22) - 19(4) = 88-76 = 12
Solution to Exercise 9.16 (p. 120)
Step 1. Die aantal fietse en die aantal driewiele word verlang.
Step 2. As 6 die aantal tweewielfietse en t die aantal driewiele is, dan:
b + t = 7
2b+3t = 19
Step 3.
b = 7-t
In die tweede vergelyking : 2 (7 — t) + 3t = 19
14 - It + 3t = 19
t = 5
In die eerste vergelyking : : b = 7 — 5
2
Step 4.
2 + 5 = 7
2(2) + 3(5) = 4+ 15 = 19
Solution to Exercise 9.17 (p. 121)
(9.82)
(9.83)
(9.84)
(9.85)
(9.86)
Step 1. Ons herrangskik die vergelyking sodat die hoogte aan die een kant van die gelykaanteken is en die res
van die veranderlikes aan die ander kant van die gelykaanteken.
A = \b x h
2A = b x h (vermenigvuldig weerskante met 2) (9.87)
'A -
b ~
' — h (deel weerskante met b)
Step 2. Die hoogte van 'n driehoek word gegee deur: h=^4-
Solution to Exercise 9.18 (p. 123)
Step 1. Laat die koste van een liniaal x rand wees en die koste van een pen y rand.
Step 2.
3x + 2y = 21
x + y = 8
(9.88)
133
Step 3. Los eers die tweede vergelyking op vir y:
y = 8-x
en stel die antwoord in die eerste vergelyking in:
(9.89)
3x + 2 (8 -
-x)
= 21
3a; + 16-
- 2x
= 21
X
= 5
(9.90)
dus
(9.91)
V = 8-5
y = 3
Step 4. 'n Liniaal kos R 5,00 en 'n pen kos R 3,00.
Solution to Exercise 9.19 (p. 123)
Step 1. Gestel die prys van 'n sjokelade melkskommel is x rand en die prys van 'n vrugteskommel is y rand
Step 2.
Step 3.
y= x + 2
Prys
Aantal
Totaal
Vrugte
y
3
3y
Sjokelade
X
5
5a:
Table 9.4
3y + 5x = 78
3(a; + 2) + 5x
=
78
3x + 6 + 5x
=
78
8a;
=
72
X
=
9
y
=
x + 2
=
9 + 2
=
11
Step 4. Een sjokelade melkskommel kos R 9,00 en een vrugteskommel kos R 11,00
(9.92)
(9.93)
134 CHAPTER 9. VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE
Chapter 10
Gemiddelde gradient
10.1 Reguit lyn en parabool 1
10.1.1 Inleiding
Die gradient van 'n reguitlyngrafiek word bereken met:
2/2- 2/i
(10.1)
vir 2 punte (x\; y\) en (22; 2/2) °P die grafiek.
Ons kan nou die gemiddelde gradient tussen 2 punte (x\;yij en {x2\ 2/2) bepaal, selfs al word hulle
gedefinieer deur 'n funksie wat nie 'n reguitlyn is nie, met:
2/2-2/1
x 2 - X\
(10.2)
Dit is dieselfde as (10.1).
10.1.2 Reguitlynfunksies
10.1.2.1 Ondersoek: Gemiddelde Gradient - Reguit lynfunksie
Voltooi die tabel deur die gemiddelde gradient oor die aangeduide intervalle te bereken vir die funksie
/ (x) = 2x — 2. Let daarop dat (xi;j/i) die koordinate is van die eerste punt en dat (2252/2) die koordinate is
van die tweede punt. So, vir AB is (xi;yi) die koordinate van punt A en (a^SJfe) ls die koordinate van punt
B.
X\
X 2
2/1
2/2
J/2 -1/1
A-B
A-C
B-C
Table 10.1
'This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39671/l.l/>.
135
136
CHAPTER 10. GEMIDDELDE GRADIENT
Image notjtnished
Figure 10.1
Wat let jy op van die gradiente oor elke interval?
Die gemiddelde gradient van 'n reguitlynfunksie is dieselfde oor enige twee intervalle in die funksie.
10.1.3 Paraboliese Funksie
10.1.3.1 Ondersoek : Gemiddelde Gradient - Paraboliese Funksie
Vul die tabel in deur die gemiddelde gradient oor die aangeduide intervalle te bereken vir die funksie / (x)
2a; -2:
Xl
X2
2/1
2/2
V2-yi
x 2 —xi
A-B
B-C
C-D
D-E
E-F
F-G
Table 10.2
Wat let jy op van die gemiddelde gradient oor elke interval? Wat kan jy se oor die gemiddelde gradiente
tussen A en D in vergelyking met die gemiddelde gradiente tussen D en G?
Image notjtnished
Figure 10.2
Die gemiddelde gradient van 'n paraboliese funksie hang af van die interval en is die gradient van 'n
reguitlyn wat deur die betrokke punte op daardie interval loop.
Byvoorbeeld, in Figure 10.3 is die verskeie punte verbind deur reguitlyne. Die gemiddelde gradiente
tussen die betrokke punte is dan die gradiente van die reguitlyne wat deur daardie punte loop.
137
Image not finished
Figure 10.3: Die gemiddelde gradient tussen twee punte op 'n kurwe is die gradient van die reguitlyn
wat deur die punte loop.
10.1.3.2 Metode: Gemiddelde Gradient
Gegee, die vergelyking van 'n kromme en twee punte (xi; X2):
1. Skryf die vergelyking van die kromme in die vorm y = ....
2. Bereken y\ deur x\ in die vergelyking vir die kromme in te stel.
3. Bereken yi deur x^ in die vergelyking vir die kromme in te stel.
4. Bereken die gemiddelde gradient deur gebruik te maak van:
2/2 - J/1
x 2 - x 1
(10.3)
Exercise 10.1: Gemiddelde Gradient (Solution on p. 140.)
Vind die gemiddelde gradient van die kromme y = 5x 2 — 4 tussen die punte x = —3 en x = 3.
10.2 Ander funksies 2
10.2,1 Gemiddelde Gradient van ander Funksies
Ons kan die konsep van die gemiddelde gradient uitbrei na enige funksie. Die gemiddelde gradient van enige
nie-reglynige funksie hang af van die gekose interval want dit is die gradient van die reguitlyn wat deur die
twee gekose punte gaan; dit is nie konstant nie. Ons kan dus die formule gebruik wat ons gebruik het vir die
gemiddelde gradient van paraboliese funksies en dit toepas op enige ander funksie. Ons sal die gemiddelde
gradient van twee funksies hier ondersoek: die eksponensiele funksie en die hiperboliese funksie.
10.2.1.1 Gemiddelde Gradient van Eksponensiele Funksies
Veronderstel ons word gevra om die gemiddelde gradient van die funksie g (x) = S^ 21 + 2 tussen die punte
(—4; 2, 2) en (—0,6; 4) te vind. Dit word getoon in Figure 10.4.
2 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39669/l.l/>.
138
CHAPTER 10. GEMIDDELDE GRADIENT
4 -3 -2 -1 = = 1 2 3 4
Figure 10.4: Die gemiddelde gradient vir 'n eksponensiele funksie
139
As ons die formule gebruik, vind ons:
X2-X! (-0,6)-(-4)
1,8
-0,6+4 (1Q4)
1,8 v ;
5.2
0,35
10.2.1.2 Gemiddelde Gradient van Hiperboliese Funksies
Gestel ons word byvoorbeeld gevra om die gemiddelde gradiente te vind van die funksie g (x) = - + 2 tussen
die punte(— 4; —2, 5) en (0, 5; 6) ; asook tussen (—4; 2, 2) en (—0, 6; 4). Dit word getoon in Figure 10.5.
Image not finished
Figure 10.5: Die gemiddelde gradient vir 'n hiperboliese funksie
Vir die eerste punt kry ons:
t/2-t/i = (-2,5)-!
X2 — xx ( — 4)— 0,5
_ -3.5
-4,5
0,78
Soortgelyk, die gemiddelde gradient tussen die tweede stel punte sal wees 0, 53
(10-5)
10.2.2 Opsomming
• Die gemiddelde gradient tussen twee punte is: V2 ~ Vl
• Die gemiddelde gradient van 'n reguitlynfunksie is dieselfde oor enige interval (tussen enige twee punte)
op die reguitlyn.
• Die gemiddelde gradient van 'n paraboliese funksie hang af van die punte (interval) wat gekies is; dit
is die gradient van die reguitlyn wat deur die gekose punte gaan.
• Ons kan die konsep van gemiddelde gradient uitbrei na enige funksie.
10.2.3 Einde van die Hoofstuk Oefeninge
1. 'n Voorwerp beweeg volgens die funksie d = 2t 2 + 1 , waar d die afstand in meter is en t die tyd in
sekondes. Bereken die gemiddelde snelheid van die voorwerp tussen die tweede en derde sekondes. Die
snelheid is die gradient van die funksie d
Kliek hier vir die oplossing 3
2. Gegee: / (x) = x 3 — 6x. Bepaal die gemiddelde gradient tussen die punte x = 1 en x = 4.
Kliek hier vir die oplossing 4
3 http:// www.fhsst.org/HP
4 http:// www.fhsst.org/HE
140 CHAPTER 10. GEMIDDELDE GRADIENT
Solutions to Exercises in Chapter 10
Solution to Exercise 10.1 (p. 137)
Step 1. Merk die punte as volg:
Xi = -3 (10.6)
x 2 = 3 (10.7)
om dit makliker te maak om die gradient te bereken.
Step 2. Ons gebruik die vergelyking van die kromme om die y-waarde van die kromme by x\ en x 2 te vind.
(lOi
yi =
5xl-A
=
5(-3) 2 -4
=
5 (9) -4
=
41
2/2 =
5x1-4
=
5(3) 2 -4
=
5 (9) -4
=
41
J/2 -J/1
x 2 —x 1
41-41
- 3-(-3)
~~ 3+3
6
(10.9)
= 5 (9) -4
41
Step 3.
2/2—2/1 _ 41-41
xi — xi 3— ( — 3)
_
(10.10)
Step 4. Die gemiddelde gradient tussen x = —3 en x = 3 op die kromme y = 5x 2 — 4 is 0.
Chapter 11
Waarskynlikheid
11.1 Waarskynlikheid: deel l 1
11.1.1 Inleiding
Ons kan wiskunde in suiwer- en toegepastewiskunde opdeel. Suiwer-wiskunde is die teorie van wiskunde
en dit is baie abstrak. Die werk wat jy tot dusver in algebra gedoen het is meestal suiwerwiskunde.
Toegepastewiskunde neem die teorie (of suiwerwiskunde) en pas dit op die regte wereld toe. Om
toegepastewiskunde te kan doen, moet jy eers die suiwerwiskunde bemeester.
Wat het dit nou te doen met waarskynlikheid? Wei, net soos wiskunde in suiwer- en toegepastewiskunde
verdeel kan word, so kan statistiek ook in waarskynlikheidsteorie en toegepaste-statistiek opgedeel word.
Waar jy nie toegepastewiskunde sonder teorie kan doen nie, so kan jy ook nie statistiek baasraak sonder
om eers met 'n bietjie waarskynlikheidsteorie te begin nie. Voorts, soos dit nie moontlik is om te beskryf
wat rekenkunde is sonder die beskryf van wiskunde as 'n geheel nie, is dit nie moontlik om te beskryf wat
waarskynlikheidsteorie is sonder 'n basiese begrip van wat statistiek as 'n geheel is nie. Statistiek, in sy
breedste sin, gaan oor 'prosesse'.
note: Galileo het 'n paar idees oor dobbelsteenspeletjies in die sewentiende eeu neergeskryf. Sedert-
dien is daar al baie besprekings gevoer en artikels geskryf oor die waarskynlikheidsteorie, maar dit
bly steeds 'n deel van Wiskunde wat nie goed verstaan word nie.
'n Proses is hoe 'n voorwerp verander oor tyd. Byvoorbeeld, kom ons beskou 'n muntstuk: die muntstuk
opsigself is nie 'n proses nie; dit is slegs 'n voorwerp. Wanneer ek die muntstuk sou opskiet (dit deur 'n proses
sit), na 'n sekere hoeveelheid tyd (hoe lank dit sal neem om te land), sal dit 'n finale toestand bereik. Ons
verwys gewoonlik na hierdie finale toestand as 'kop' of 'stert', na gelang van watter kant van die muntstuk
die gesig geland het. Dit is hierdie kop of stert waarin die statistikus (persoon wat statistiek bestudeer)
belangstel. Sonder die proses is daar niks om te bestudeer nie. Wanneer die muntstuk bloot stil le, is
dit natuurlik 66k 'n proses. Omdat ons alreeds weet dat die finale toestand identies aan die oorspronklike
toestand is, is dit nie juis 'n besondere interessante proses nie. Indien daar van 'n proses gepraat word,
bedoel ons een waar die uitslag nog nie bekend is nie, anders is daar geen werklike punt in die analise nie.
Met bogenoemde begrip is dit baie maklik om te verstaan presies wat waarskynlikheidsleer is.
Wanneer ons praat van waarskynlikheidsteorie as 'n geheel, bedoel ons die manier waarop ons die ho-
eveelheid moontlike uitkomstes van prosesse bepaal. Net soos toegepastewiskunde die metodes van suiw-
erwiskunde neem en toepas op werklike situasies, neem toegepastestatistiek die middele en metodes van
waarskynlikheidsteorie (dws die middele en metodes wat gebruik word om moontlike uitkomste van gebeure
te bepaal) en pas dit op werklike gebeure toe in een of ander manier. Byvoorbeeld, ons kan waarskynlikhei-
dsteorie gebruik en die moontlike uitkoms van bogenoemde munt-opskiet op 50% kop, 50% stert vaspen.
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39759/l.l/>.
141
142 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Statistiek kan dan gebruik word om dit toe te pas op 'n werklike situasie deur te se dat indien daar ses
munte op die tafel le, die mees waarskynlike uitkoms is dat drie munte kop en drie munte stert sal land.
Natuurlik kan die uitkoms verskil, maar indien ons op slegs EEN uitkoms kon wed, sal ons vermoedelik
daarop wed omdat dit die mees waarskynlike is. Ons gaan alreeds hier te ver vooruit, so kom ons neem 'n
stap terug.
Om die resultate te bepaal, kan ons 'n verskeidenheid van metodes, name en notasies gebruik. 'n Paar
algemenes is:
• 'n persentasie (byvoorbeeld: 50%)
• 'n verhouding van die totale hoeveelheid uitkomste (byvoorbeeld: 'vyf uit tien')
• 'n breukdeel van een (byvoorbeeld, i)
Jy sal opmerk dat al drie van die bogenoemde voorbeelde dieselfde waarskynlikheid verteenwoordig. In
werklikheid is ENIGE metode van waarskynlikheid gegrond op die volgende proses:
1. Omskryf 'n proses.
2. Omskryf die totale maatreel vir alle uitkomste van die proses.
3. Beskryf die waarskynlikheid van elke moontlike uitkoms van die proses met betrekking tot die totale
maatstaf.
Die term "maatstaf" kan verwarrend wees, maar mens kan daaraan dink as 'n liniaal. Wanneer ons 'n liniaal
neem wat 1 meter lank is, dan is die helfte van die liniaal 50 sentimeter, 'n kwart van die liniaal is 25
sentimeter, ens. Dit is belangrik om te onhou dat sonder die liniaal maak dit geen sin om te praat van die
liniaal afmetinge nie! Trouens, die drie voorbeelde hierbo (50%, 'vyf uit tien' en i) verteenwoordig dieselfde
waarskynlikheid, die enigste verskil is hoe die totale maatstaf (liniaal) gedefinieer was. As ons terug gaan
en nadink in terme van 'n liniaal beteken 50%, 50 uit 100, of dat ons 50 dele van die oorspronklike 100
dele (sentimeter) gebruik om die uitslag se hoeveelheid te bepaal. Vyf uit tien beteken vyf dele uit die
oorspronklike 10 dele (tien sentimeter deeltjies) bepaal die uitslag. In die laaste voorbeeld beteken ^ dat ons
die liniaal in twee dele verdeel en se dat een van daardie twee dele die uitslag bepaal. Onthou net dat hierdie
notasies bloot verskillende maniere is om na dieselfde 50 eenhede van die 100 sentimeter liniaal te verwys!
In terme van kansrekening stel ons slegs in die verhouding tot die geheel belang.
Alhoewel daar baie maniere bestaan om 'n maatstaf te definieer, is die mees algemeen en maklikste een
om '1' as die totale maatstaf te gebruik. Wanneer ons dan 'n munt-opskiet beskou, sal ons se dat die kans vir
kop 2 is (dws helfte van een) en die kans vir stert ook %. Aan die ander kant, wanneer ons die geval beskou
waar die munt nie opgeskiet word nie en tans kop-boontoe le is die waarskynlikheid van kop nou 1 terwyl
die kans vir stert is. Ons kon net sowel 14 as die oorspronklike maatstaf gebruik het. In daardie geval sou
die waarskynlikheid vir kop of stert met die opskiet beide 7 uit 14 gewees het, terwyl die waarskynlikheid
14 uit 14 sou wees vir kop as die munt nie opgeskiet is nie en uit 14 vir stert. Soortgelyk, wanneer ons
die gooi van 'n dobbelsteen ondersoek, sal dit makliker wees om die maatstaf as 6 te kies en te se dat die
waarskynlikheid dat 'n 4 gegooi word '1 uit die 6' is, gewoonlik sal ons sommer se dat dit 1/6 is.
11.1.2 Definisie
Daar is drie belangrike konsepte verbonde aan 'n lukrake eksperiment: 'uitkoms,' 'steekproefgrootte' en
'gebeurtenis.' Twee voorbeelde van eksperimente sal gebruik word om jou met hierdie terme vertroud te
maak:
• In Eksperiment 1 word 'n enkele dobbelsteen gerol en die waarde van die boonste vlak nadat dit tot
rus gekom het word neergeskryf.
• In Eksperiment 2 word twee dobbelstene gerol op dieselfde tyd en die som van die waardes van elke
boonste vlak na stilstand word aangeteken.
143
11.1.2.1 Uitkomste
Die uitkoms van 'n eksperiment is 'n enkele resultaat van daardie eksperiment.
• 'n Moontlike uitkoms van Eksperiment 1: die waarde van die boonste vlak is '3'
• 'n Moontlike uitkoms van Eksperiment 2: die totale waarde van die boonste vlakke is '9
11.1.2.2 Steekproefruimte
Die steekproefruimte van 'n eksperiment is die volledige stel moontlike uitkomste van die eksperiment.
• Eksperiment 1: die steekproefruimte is 1,2,3,4,5,6
• Eksperiment 2: die steekproefruimte is 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
note: Wanneer jy twee dobbelstene werp en die resultate sommeer, is die mees algemene uitkoms
sewe. Om dit te verstaan, onthou dat daar net een manier bestaan waarop twee as 'n resultaat
verkry kan word (beide stene land op een) en daar is slegs een manier om 12 as 'n resultaat te
kry (beide stene land op ses). Die teenoorgestelde kante van 'n ses-kantige dobbelsteen sommeer
na sewe. Van hierdie inligting moet jy kan uitredeneer dat daar 12 maniere bestaan waarop sewe
verkry kan word.
11.1.2.3 Gebeurtenisse
'n Gebeurtenis is enige stel uitkomste van 'n eksperiment
• 'n Moontlike gebeurtenis van Eksperiment 1: 'n ewe-nommer op die boonste vlak van die dobbelsteen
• 'n Moontlike gebeurtenis van Eksperiment 2: die getalle op die boonste vlakke is gelyk
11.1.3 Ewekansige Eksperimente
Die begrip ewekansige eksperiment of statistiese eksperiment word gebruik om enige herhaalbare proses te
beskryf waarvan die resultate op een of ander manier ontleed is. Byvoorbeeld, die opskiet van 'n muntstuk
en aantekening van die resultaat is 'n ewekansige eksperiment, want die proses is herhaalbaar. Aan die
ander kant, jou lees van hierdie sin vir die eerste keer en aantekening van of jy dit verstaan of nie is nie 'n
ewekansige eksperiment nie, omdat dit nie herhaalbaar is nie (indien jy wel 'n reeks verskeie mense vra om
dit te lees en 'n aantekening te maak oor of hulle dit verstaan, al dan nie, sal dit 'n ewekansige eksperiment
word) .
11.1.3.1 Venn diagramme
'n Venn-diagram kan gebruik word om die verhouding tussen die moontlike uitkomste van 'n ewekansige
eksperiment en die steekproefruimte te toon. Die Venn-diagram op Figure 11.1 toon die verskil tussen die
universele stel, 'n voorbeeldruimte en gebeure en hul uitkomste as deelversamelings van die steekproefruimte.
Image not finished
Figure 11.1: Diagram om die verskil tussen die universele stel en voorbeeldruimte uit te beeld. Die
voorbeeldruimte bestaan uit alle moontlike uitkomste van 'n statistiese eksperiment en 'n gebeurtenis is
'n deelruimte van die voorbeeld ruimte.
144
CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Ons kan Venn-diagramme teken vir eksperimente met twee en drie gebeurtenisse. Hulle word gewys
in Figure 11.2 en Figure 11.3. Venn-diagramme vir eksperimente met meer as drie gebeurtenisse is meer
kompleks en word nie op hierdie vlak behandel nie.
Sample space
S
Figure 11.2: Venn-diagram vir 'n eksperiment met twee gebeurtenisse.
145
Figure 11.3: Venn-diagram vir 'n eksperiment met drie gebeurtenisse.
note: Die Grieks-, Russiese- en Latynse-alfabet kan geillustreer word deur middel van Venn-
diagramme. Al drie hierdie alfabette het sommige gemene letters. Die Venn-diagram word hier
onder gegee:
Image notjinished
Figure 11.4
Die vereniging van A en B is die stel van alle elemente in A of in B (of in beide) . A of B word ook geskryf
as^4 U B. Die snypunt van A en B is die stel van alle elemente in beide A en B. A en B word ook geskryf
146
CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
as A n B.
Venn-diagramme kan ook gebruik word om die vereniging en snypunte tussen gebeure in 'n monsterruimte
aan te dui (Figure 11.5 en Figure 11.6).
Figure 11.5: Venn-diagram om die vereniging (samesmelting) van twee gebeurtenisse, A en B, te wys
in die steekproefruimte S.
147
«
Figure 11.6: Venn-diagram om die kruising van die twee gebeurtenisse, A en B, te wys in die steekproe-
fruimte S. Die swart gedeelte dm op die kruispunt.
148 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Ons gebruik n (S) om na die hoeveelheid elemente in 'n stel, S, te verwys. Ook n (X) vir die hoeveelheid
elemente in X, ens.
Exercise 11.1: Ewekansige Eksperimente (Solution on p. 166.)
Gestel jy het 'n boks met stukkies papier daarin waarop die getalle van een tot nege geskryf is. Jy
trek nou 'n papiertjie en kyk na die nommer daarop. Laat S die steekproefruimte voorstel, P dui
op die 'trek van 'n priemgetal' en E wys op die 'trek van 'n ewegetal.' Deur van die gepaste notasie
gebruik te maak, op hoeveel maniere is dit moontlik om die volgende te trek: i) enige getal? ii) 'n
priemgetal? iii) 'n ewegetal? iv) 'n getal wat of priem of ewe is? v) 'n getal wat beide priem en
ewe is?
Exercise 11.2 (Solution on p. 166.)
In 'n opname is 100 mense gevra watter kitskosrestaurant hulle verkies (Nando's, Debonairs of
Steers). Die volgende resultate is aangeteken:
• 50 het Nando's verkies
• 66 het Debonairs verkies
• 40 het Steers verkies
• 27 het Nando's en Debonairs verkies, maar nie Steers nie
• 13 het Debonairs en Steers verkies, maar nie Nando's nie
• 4 het van al drie gehou
• 94 het van ten minste een gehou
a. Hoeveel mense het nie van een van die restaurante gehou nie?
b. Hoeveel mense het van Nando's en Steers gehou maar nie van Debonairs nie?
11.1.3.2 Aktiwiteit: Venn-diagramme
Van watter selfoonnetwerk maak jy tans gebruik (VodaCom, MTN of Cell C) Vorder hierdie inligting van
jou klasmaats in en gebruik dit om vas te stel hoeveel van jou klas gebruik slegs een netwerk en hoeveel
gebruik al drie.
11.1.3.3 Ter afronding
'n Laaste begrip wat belangrik is om te verstaan, is die van komplementere gebeurtenis. In meetkunde, as
ons twee hoeke het wat komplementer genoem word, beteken dit dat die som van hierdie twee hoeke 90
grade is (hierdie twee hoeke 'komplementeer' mekaar om 'n regte hoek te vorm). Net so is die komplement
van 'n stel uitkomstes A al die uitkomstes in die steekproefruimte en nie binne A nie. Dit word gewoonlik
aangedui as A' of soms A c en word genoem die 'komplement van A' of net 'A-komplement'. Dus, as S die
totale steekproefruimte van alle uitkomstes voorstel, en A is 'n deelruimte van enige uitkomstes waarin ons
belangstel (dws enige gebeurtenis) , dan is die stelling AuA = S altyd waar, (dws A komplementeer A om die
totale steekproefruimte te vorm). Dus, in bogenoemde oefening, P = {1,4,6,8,9}, while E' = {1,3,5,7,9}.
So n(P') = n(E') = 5.
Die waarskynlikheid van 'n komplementere gebeurtenis verwys na die waarskynlikheid wat ons verbind
met die komplement van 'n gebeurtenis. Dws. die waarskynlikheid dat iets anders eerder as die gebeurtenis
waarna verwys word, sal gebeur. Byvoorbeeld, as P (A) = 0, 25, dan is die waarskynlikheid dat A nie sal
gebeur nie, die waarskynlikheid dat alle ander gebeurtenisse in S wel sal plaasvind, minus die gebeurtenis
van A.
In teorie is dit baie maklik om 'n komplement te bereken, aangesien die aantal elemente in die komplement
van' n stel net die totale aantal uitkomste in die steekproefruimte is minus die uitkomste wat in daardie stel is.
(In die voorbeeld hierbo, was daar 9 moontlike uitkomste in die steekproefruimte, en 4 moontlike uitkomste
in elk van die stelle wat ons in belangstel. Dus bevat beide komplemente 9-4 = 5 elemente). Net so, is dit
149
maklik om waarskynlikheid van 'n komplementere gebeurtenis te bepaal, want dit is eenvoudig die totale
waarskynlikheid (bv. 1, indien ons totale maatreel 1 is) minus die waarskynlikheid van die gebeurtenis waarin
ons belangstel.Daarom,
P(A') = l-P(A)
Dit is soms makliker om die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis te bereken deur eerder eers die waarskyn-
likheid dat die komplementere gebeurtenis NIE sal plaasvind nie, te bereken. Byvoorbeeld, kom ons neem
aan dat die proses waarin ons belangstel is om drie dobbelstene te werp, en die gebeurtenis waarin ons
belangstel is dat ten minste een van die dobbelstene se vlakke 'n een toon. Dit is beslis makliker om eers te
bereken wat die waarskynlikheid is dat 'n een NIE sal plaasvind nie, as om al die moontlike kombinasies te
bereken van die drie dobbelstene waar 'n een wel sal plaasvind!
Exercise 11.3 (Solution on p. 169.)
Indien jy twee dobbelstene werp, een rooi en een blou, wat is die waarskynlikheid dat ten minste
een van hierdie twee 'n ses sal toon?
Exercise 11.4 (Solution on p. 169.)
'n Sak bevat drie rooi balle, vyf wit balle, twee groen balle en vier blou balle:
1. Bereken die waarskynlikheid dat 'n rooi bal uit die sak gehaal sal word.
2. Bereken die waarskynlikheid dat 'n bal wat NIE rooi is nie, uit die sak gehaal sal word.
11.1.3.4 Waarskynlikheid in die Alledaagse Lewe
Waarskynlikheidsleer hou verband met onsekerheid. In enige statistiese eksperiment, kan die moontlike
uitkomste bekend wees, maar om presies te se watter een, is nie bekend nie. Waarskynlikheidsteorie formuleer,
op 'n Wiskundige wyse, onvolledige kennis met betrekking tot die moontlikheid of waarskynlikheid van 'n
gebeurtenis. Byvoorbeeld, 'n weervoorspeller sal se dat daar 'n 60% kans is dat dit more gaan reen. Dit
beteken dat 6 van elke 10 keer wanneer die wereld in die huidige toestand verkeer, dit more sal reen.
Nog 'n manier om na waarskynlikheid te verwys is kans. Die kans van 'n gebeurtenis word gedefmieer
as die verhouding van die waarskynlikheid dat die gebeurtenis plaasvind na die waarskynlikheid dat dit nie
plaasvind nie. Byvoorbeeld, die kans dat 'n muntstuk op 'n gegewe kant land is ^| = 1, gewoonlik geskryf
"1 tot 1" of "1:1". Dit beteken dat die muntstuk gemiddeld so veel keer op die een kant sal land as wat dit
op die ander kant sal land.
11.1.3.4.1 Die Eenvoudigste Voorbeeld: Ewe Waarskynlike Uitkomste
Ons se dat twee uitkomste ewe waarskynlik is as hulle 'n gelyke kans het om te gebeur. Byvoorbeeld wanneer
'n billike muntstuk opgeskiet word, sal elke uitkoms in die steekproefruimte S = {kop, stert} ewe waarskynlik
wees om voor te kom.
Waarskynlikheid is 'n funksie van gebeurtenisse (sedert dit nie moontlik is dat vir 'n enkele gebeurtenis
twee verskillende waarskynlikhede bestaan nie), so ons dui gewoonlik die waarskynlikheid P dat 'n seker
gebeurtenis E voorkom as P(E). Wanneer al die uitkomste ewe waarskynlik is (in enige aktiwiteit), is dit
redelik maklik om die waarskynlikheid dat 'n sekere gebeurtenis sal plaasvind te bepaal. In hierdie geval,
P(E)=n (E) jn (S)
Byvoorbeeld, wanneer ons 'n ewekansige dobbelsteen rol is die steekproefruimtee space is S =
{1; 2; 3; 4; 5; 6} so die totale aantal moontlike uitkomste n (S) = 6.
Gebeurtenis 1: Rol 'n 4
Die enigste moontlike uitkom is 4, i.e E = {4}. So n (E) = 1.
Die waarskynlikheid dat 'n 4 gerol word: P (k = 4) = n (E) jn (S) = 1/6.
Gebeurtenis 2: Rol 'n nommer groter as 3
Gunstige uitkomste: E = {4; 5; 6}
Aantal gunstige uitkomste : n (E) = 3.
150 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Die waarskynlikheid om 'n nommer groter as 3 te rol: P (k > 3) = n (E) jn (S) = 3/6 = 1/2.
Exercise 11.5 (Solution on p. 170.)
'n Standaard pak kaarte (sonder harlekyne) het 52 kaarte. Daar is vier stelle kaarte: harte, klawers,
skoppe, en diamante wat die pas genoem word. Die pas waaraan 'n kaart behoort word aangedui
deur' n simbool op die kaart. Elke pas het 13 kaarte (4 passe x 13 kaarte = 52) wat opgemaak
word deur een van elke tipe - ase, koning, koningin, boer en die nommerkaarte 2 tot 10.
As ons lukraak 'n kaart uit die pak trek, kan ons die gekose kaart beskou as 'n moontlike
uitkoms. Dus is daar is 52 moontlike uitkomstes. Ons kan nou kyk na verskeie gebeurtenisse en
hul waarskynlikhede bereken:
1. Slegs 13 van die 52 kaarte is klawers. Daarom, as die gebeurtenis van belang die trek van
'n klawer is, sal daar 13 gunstige uitkomste wees. Wat is die waarskynlikheid van hierdie
gebeurtenis?
2. Daar is 4 konings in 'n pak (een van elke pas). Wat is die waarskynlikheid dat 'n koning
getrek word?
3. Wat is die waarskynlikheid om 'n koning of klawer te trek?
11.1.3.4.1.1 Waarskynlikheids modelle
1. 'n Houer bevat 1 wit, 6 rooi, 3 blou en 2 groen balle. 'n Bal word lukraak gekies. Wat is die
waarskynlikheid dat dit die volgende kleur het:
a. rooi
b. blou of wit
c. nie groen nie (wenk: dink 'komplement')
d. nie groen of rooi nie?
Kliek hier vir die antwoord. 2
2. 'n Enkele kaart word lukraak uit 'n pak van 52 kaarte getrek. Wat is die waarskynlikheid dat die kaart:
a. die 2 van harte is
b. rooi
c. 'n prent kaart
d. 'n ase
e. 'n nommer kaart kleiner as 4?
Kliek hier vir die antwoord. 3
3. Ewe getalle van 2-100 word elk op 'n kaart geskryf. Wat is die waarskynlikheid daarvan dat die getal'n
veelvoud van 5 is as 'n kaart lukraak getrek word?
Kliek hier vir die antwoord. 4
11.1.3.5 Waarskynlikheids Identiteite
Die volgende resultate is van toepassing op waarskynlikhede, vir die steekproefruimte S en die twee
gebeurtenisse A en B, binne S.
P(S) = 1 (11.1)
^http
3 http
4 http
// www.fhsst.org/lqu
// www.fhsst.org/lq J
// www.fhsst.org/lqS
151
P(Af]B) = P{A)x P(B)
(11.2)
P {A U B) = P {A) + P (B) - P {A n B)
(11.3)
Ons kan die laaste resultaat demonstreer met behulp van 'n Venn-diagram. Die vereniging van A en B is
die versameling van al die elemente in 'n of in B of beide.
Sample space
S
Figure 11.7
Die waarskynlikheid dat gebeurtenis A voorkom word gegee as P (A) en die waarskynlikheid dat gebeurte-
nis B voorkom deur P(B). Maar, as ons die sirkels wat hierdie gebeurtenisse voorstel ondersoek sal ons
opmerk dat dat die waarskynlikheid 'n klein deeltjie van die ander gebeurtenis insluit. So gebeurtenis A
bevat 'n stukkie van B en andersom. Dit word in die volgende diagram aangedui:
152
CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Figure 11.8
153
Ons merk op dat hierdie klein gedeelte die snyding van die twee gebeurtenisse is.
Wanneer ons die waarskynlikheid van P (A U B) wil bepaal merk ons die volgende op:
• Ons kan P (A) en P (B) bymekaar tel
• Maar deur dit te doen tel ons die snyding dubbeld: een keer in P (A) en nog 'n keer in P (B).
So, as ons net die waarskynlikheid van die snyding aftrek, dan sal ons vind dat die totale waarskynlikheid
van die unie is: P {Au B) = P {A) + P {B) - P {An B)
Exercise 11.6: Waarskynlikheids identiteite (Solution on p. 170.)
Wat is die waarskynlikheid dat ons 'n swart of rooi kaart uit 'n pak van 52 kaarte sal trek.
Exercise 11.7: Waarskynlikheids identiteite (Solution on p. 170.)
Wat is die waarskynlikheid om met 'n enkele trekbeurt uit 'n pak van 52 kaarte 'n klawer of ase
te trek.
Die volgende video verskaf 'n kort opsomming van sommige van die werk wat ons tot dusver behandel het.
Khan academy video oor waarskynlikheid
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/3ER8OkqBdpE&rel=0>
Figure 11.9
11.1.3.5.1 Oefeninge met waarskynlikheidsidentiteite
Beantwoord die volgende vrae:
1. Rory oefen vir 'n skyfskiet kompetisie. Sy waarskynlikheid om die teiken te tref is 0,7. Hy vuur vyf
skote af. Wat is die waarskynlikheid dat al vyf skote mis is?
Kliek hier vir die antwoord. 5
2. 'n Boogskut skiet op 'n teiken. Die waarskynlikheid vir 'n kolskoot is 0,4. As sy drie pyle skiet, wat
is die waarskynlikheid van drie kolskote?
Kliek hier vir die antwoord. 6
3. 'n Dobbelsteen met die nommers 1,3,5,7,9,11 word gerol. Op dieselfde tyd word 'n ewekansige munt
opgeskiet. Wat is die waarskynlikheid dat :
a. Die munt land op "kop" en 'n 9 word gerol?
b. Die munt land op "stert" en 'n 3 word gerol?
Kliek hier vir die antwoord. 7
4. Vier leerder skryf 'n toets. Die waarskynlikhede dat elkeen slaag is as volg. Sarah: 0,8, Kosma: 0,5,
Heather: 0, 6, Wendy: 0, 9. Wat is die waarskynlikheid dat:
a. al vier slaag?
b. al vier druip?
Kliek hier vir die antwoord. 8
5 http:// www.fhsst.org/lab
6 http:// www.fhsst.org/laj
7 http:// www.fhsst.org/laD
8 http:// www.fhsst.org/laW
154
CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
5. Met 'n enkele trekbeurt uit 'n pak van 52 kaarte, wat is die waarskynlikheid dat die kaart 'n ase of 'n
swart kaart is?
Kliek hier vir die antwoord. 9
11.1.3.6 Onderling Uitsluitende Gebeurtenisse
Onderling uitsluitende gebeurtenisse is gebeurtenisse wat nie op dieselfde tyd waar kan waar wees nie.
Voorbeelde van onderling uitsluitende gebeure is:
1. 'n Dobbelsteen wat op 'n ewe of op 'n onewe getal land.
2. 'n Student wat 'n eksamen dop of slaag.
3. 'n Muntstuk wat op kop of stert land
Dit beteken dat as ons die elemente ondersoek wat die stelle A en B opmaak, sal daar geen gemeenskaplike
elemente wees nie. Daarom, A n B = (waar verwys na die lee stel). Since, P (An B) = 0, vergelyking
(11.3) word:
P(AuB) = P{A) + P(B)
(11.4)
vir onderling uitsluitende gebeurtenisse.
Ons kan onderling uitsluitende gebeurtenisse op 'n Venn-diagram voorstel. In hierdie geval raak die twee
sirkels nie aan mekaar raak, maar is eerder heeltemal aparte dele van die steekproefruimte.
Sample space
S
Figure 11.10: Venn diagram vir onderlinge uitsluitende gebeurtenisse
9 http:// www.fhsst.org/laZ
155
11.1.3.6.1 Oefeninge met onderling uitsluitende gebeutrenisse
1. 'n Boks bevat gekleurde blokkies. Die aantal van elke kleur word deur die volgende tabel voorges-
tel.
Kleur
Pers
Oranje
Wit
Pienk
Aantal blokkies
24
32
41
19
Table 11.1
'n Blokkie word ewekansig gekies. Wat is die waarskynlikheid dat die blokkie:
a. pers
b. pers of wit is
c. pienk en oranje is
d. nie oranje is nie?
Klik hier vir die oplossing. 10
2. 'n Klein private skool het' n klas met kinders van verskillende ouderdomme. Die tabel gee die aantal
leerlinge van elke ouderdomsgroep in die klas.
3 jarige meisies
3 jarige seuns
4 jarige meisies
4 jarige seuns
5 jarige meisies
5 jarige seuns
6
2
5
7
4
6
Table 11.2
As 'n leerder lukraak gekies word, wat is die waarskynlikheid dat dat die leerder:
a. 'n meisie is
b. 'n 4 jarige seun is
c. 3 of 4 jaar oud is
d. 3 en 4 jaar oud is
e. nie 5 jaar oud is nie
f. 3 jaar oud of 'n meisie is?
Kliek hier vir die oplossing. 11
3. Fiona het 85 gemerkte skyfies wat genommer is vanaf 1 tot 85. As 'n skyfie lukraak gekies word, wat
is die waarskynlikheid dat die nommer van die skyfie:
a. eindig met 'n 5
b. met 3 vermenigvuldig kan word
c. met 6 vermenigvuldig kan word
d. die nommer 65 is
e. nie 'n veelvoud van 5 is nie
f. 'n veelvoud van 4 of 3 is
g. 'n veelvoud van 2 en 6 is
h. die nommmer 1 is?
Kliek hier vir die oplossing. 12
10 http
"http
12 http
// www.fhsst.org/laB
// www.fhsst.org/laK
// www.fhsst.org/lak
156 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
11.1.3.7 Komplementere Gebeurtenisse
Die waarskynlikheid van komplementere gebeurtenis verwys na die waarskynlikheid dat gebeure nie sal
plaasvind nie. Byvoorbeeld: as P (A) = 0.25, dan is die warskynlikheid dat A nie gebeur nie dieselfde as
die waarskynlikheid dat al die ander gebeure in S gebeur minus as die waarskynlikheid dat A gebeur. Dit
beteken dat
P(A') = 1-P(A) (11.5)
waar A' verwys na 'nie A' Met ander woorde, die waarskynlikheid van 'nie A' is gelyk aan een minus die
waarskynlikheid van A.
Exercise 11.8: Waarskynlikheid (Solution on p. 170.)
As jy twee dobbelstene gooi, een rooi en die ander blou, wat is die waarskynlikheid dat ten minste
een van hulle 'n ses sal wees?
Exercise 11.9: Waarskynlikheid (Solution on p. 171.)
'n Sak bevat drie rooi balle, vyf wit balle, twee groen balle en vier blou balle:
1. Bereken die waarskynlikheid dat 'n rooi bal getrek word.
2. Bereken die waarskynlikheid dat 'n bal wat nie rooi is nie getrek word.
11.1.3.8 Ewekansige Eksperimente
• S = {heel getalle vanafltotl6}, X = {ewe getalle vanafltotl6} en Y = {priemgetalle vanafltotl6}
a. Teken 'n Venn-diagram S, X en Y.
b. Skryf neer n (S), n {X), n (Y), n{XU Y), n{Xn Y).
Klik hier vir die oplossing. 13
• Daar is 79 Graad 10 leerders by die skool. Almal van hulle neem Wiskunde, Aardrykskunde of Geskiede-
nis. Die aantal wat Aardrykskunde neem is 41, die wat Geskiedenis neem is 36 en 30 neem Wiskunde.
Die aantal wat Wiskunde en Geskiedenis neem is 16; die aantal wat Geskiedenis en Aardrykskunde
neem is 6. Dan is daar 8 wat slegs Wiskunde en 16 wat slegs Geskiedenis neem.
a. Teken 'n Venn-diagram om al die inligting voor te stel.
b. Hoeveel leerders neem Wiskunde en Aardrykskunde, maar nie Geskiedenis nie?
c. Hoeveel leerders neem slegs Aardrykskunde?
d. Hoeveel leerders neem al drie hierdie vakke?
Klik hier vir die oplossing. 14
• Stukkies papier met die getalle 1 tot 12 word in 'n boks geplaas en die boks word geskud. Een stukkie
papier word getrek en dan terug geplaas.
a. Wat is die steekproefruimte, S ?
b. Skryf die versameling A neer, wat die gebeurtenis om 'n faktor van 12 te trek, voorstel.
c. Skryf die versameling B neer, wat die gebeurtenis om 'n priemgetal te trek, voorstel.
d. Doen nou 'n voorstelling van A, B en S deur middel van 'n Venn-diagram.
e. Skryf die volgende neer:
i. n(S)
ii. n(A)
iii. n(B)
iv. n(AnB)
v. n(Al)B)
f. Is n {All B) = n {A) + n{B)-n{An B)?
13 http://www.fhsst/lqe
14 http://www.fhsst/lqt
157
Klik hier vir die oplossing
15
11.2 Waarskynlikheid: deel 2 16
11.2.1 Relatiewe Frekwensie vs. Waarskynlikheid
Daar is twee maniere om die waarskynlikheid van enige gebeurtenis van 'n lukrake eksperiment te bepaal:
1. Bepaal die totale aantal moontlike uitkomstes en bereken die waarskynlikheid deur die definisie te
gebruik of
2. doen die eksperiment en bereken die relatiewe frekwensie van elke uitkomste.
Relatiewe Frekwensie word gedefmieer as die aantal kere wat 'n gebeurtenis in 'n eksperiment plaasvind,
gedeel deur die aantal kere wat die eksperiment gedoen is.
Dit verg 'n baie groot aantal eksperimente voor die relatiewe frekwensie van gebeurtenis gelyk is aan die
waarskynlikheid daarvan. Byvoorbeeld: die data in Table 11.3 verteenwoordig die uitkomste van 100 proewe
van 'n statistieke eksperiment (die gooi van 'n muntstuk 100 keer).
K
S
s
K
K
S
K
K
K
K
K
K
K
K
S
K
K
S
S
S
S
S
K
S
S
K
S
K
S
K
K
K
S
S
K
S
S
K
S
S
S
K
K
K
S
S
K
S
S
K
K
S
S
S
S
K
S
S
K
K
S
S
K
S
s
K
S
S
K
S
K
s
S
K
s
S
S
S
K
S
S
K
S
S
K
K
K
S
K
s
S
s
s
K
K
S
S
S
K
s
Table 11.3: Uitslae van 100 gooie van 'n regverdige muntstuk. K beteken die muntstuk het met sy kop na
bo geland en S beteken die muntstuk het met sy stert na bo geland.
Die volgende twee voorbeelde wys dat die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis nie noodwendig gelyk
is aan die waarskynlikheid daarvan nie. Relatiewe frekwensie behoort dus eerder beskou te word as 'n
benaderde waarskynlikheid.
Exercise 11.10: Relatiewe Frekwensie en Waarskynlikheid (Solution on p. 171.)
Bepaal die relatiewe frekwensie wat met elke uitkoms in die volgende data geassosieer word Table
11.3.
Exercise 11.11: Waarskynlikheid (Solution on p. 171.)
Bepaal die waarskynlikheid van 'n regverdige muntstuk om op enige kant te land.
15 http://www.fhsst/lqz
16 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39758/l.l/>.
158 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
11.2.2 Projek Idee
Voer 'n eksperiment uit wat wys dat die relatiewe frekwensie die waarskynlikheid van 'n gegewe uitkoms
benader soos wat die aantal proewe toeneem. Doen 10, 20, 50, 100 en 200 proewe van die gooi van 'n
muntstuk.
11.2.3 Interpretasie van Waarskynlikheidswaardes - (nie in CAPS, maar ingesluit
vir volledigheid)
Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis word dikwels uitgedruk as 'n reele getal tussen en 1, ingesluit.
Waar 'n onmoontlike waarskynlikheid deur en 'n versekerde waarskynlikheid deur 1 voorgestel word. Tog
is waarskynlikheid gebeure nie altyd onmoontlik nie, terwyl 1 waarskynlikheid gebeure nie altyd verseker is
nie. Hierdie subtiele verskil tussen seker en waarskynlikheid 1 word verder bespreek in die gedeelte "amper
seker".
Byvoorbeeld, ons kan se dat die son altyd sal opkom in die ooste. Dit is 'n sekere gebeurtenis, die son
sal nie skielik in die noorde opkom nie. Maar, as ons kyk na die geval van 'n swem kompetisie tussen Penny
Heyns en jou wiskunde-onderwyser, dan is hierdie gebeurtenis is amper seker. Daar is' n baie klein kans dat
jou onderwyser hierdie wedren sal wen.
Die meeste waarskynlikhede wat plaasvind in die praktyk is getalle tussen en 1, wat die gebeurtenis se
posisie op die kontinuum tussen onmoontlik en sekerheid aandui. Hoe nader 'n gebeurtenis se waarskynlikheid
is aan 1, hoe meer waarskynlik is dit on te gebeur.
Byvoorbeeld, as ons aanvaar dat twee onderling uitsluitende gebeurtenisse ewe waarskynlik is om te
gebeur, soos vir 'n regverdige muntstuk om op "kop" of "stert" te land, kan ons die waarskynlikheid van
elke gebeurtenis uitdruk as "1 in 2", ewe, "50%" of '1 / 2".
Waarskynlikhede kan ook uitgedruk word as kanse , wat die verhouding van die waarskynlikheid van een
gebeurtenis tot die waarskynlikheid van alle ander gebeurtenisse is. In die geval van "kop" by "kop-of-stert"
is dit (l/2)/(l - 1/2), wat gelyk is aan 1/1. Dit word uitgedruk as "1 tot 1 kanse" en word dikwels geskryf
as "1:1".
Kans a:b vir 'n gebeurtenis is dus a/(a+b). Byvoorbeeld: kanse van 1:1 is gelyk aan waarskynlikheid van
1/2 en kanse van 3:2 is gelyk aan waarskynlikheid van 3/5.
11.2.4 Opsomming
• Die term ewekansige eksperiment, lukrake eksperiment of statistiese eksperiment word gebruik om enige
herhaalbare proses te beskryf waarvan die resultate in een of ander manier ontleed is.
• 'n Uitkoms van 'n eksperiment is 'n enkele resultaat van die eksperiment.
• Die steekproefruimte van 'n eksperiment is die volledige stel van die moontlike uitkomste van die
eksperiment.
• 'n Gebeurtenis is enige stel van uitkomstes van 'n eksperiment.
• 'N Venn-diagram kan gebruik word om die verhouding tussen die moontlike uitkomste van' n ewekansige
eksperiment en die steekproefruimte aan te toon. Venn-diagramme kan ook gebruik word om die
vereniging en die snyding tussen die gebeurtenisse in die steekproefruimte aan te dui.
• Wanneer al die uitkomstes ewe waarskynlik is, het hulle 'n gelyke kans om te gebeur. P (E) =
n (E) /n (S) beskryf die waarskynlikheid dat 'n ewe waarskynlike uitkoms gebeur.
• Relatiewe Frekwensie word gedefinieer as die aantal kere wat 'n gebeurtenis plaasgevind het in 'n
statistiese eksperiment gedeel deur die aantal kere wat die steekproef gedoen is.
• Die volgende resultate is van toepassing op waarskynlikhede, vir die steekproefruimte S twee
gebeurtenisse A en B, binne S.
P(S) = 1 (11.6)
P{Ar\B) = P{A)x P(B) (11.7)
159
P {AU B) = P {A) + P {B) - P {AD B)
(11.?
• Onderling uitsluitende gebeurtenisse is gebeurtenisse wat nie op dieselfde tyd waar kan wees nie.
• P (A) = 1 — P (A) is die waarskynilikheid dat A nie sal gebeur nie. Dit is ook bekend as 'n kompli-
mentere gebeurtenis van A.
'n Paar van die belangrikste begrippe in hierdie hoofstuk word in die volgende tabel opgesom:
Term
Betekenis
Voorstelling
Venn diagram
Vereniging
Alles in A en B
AUB
<
continued on next page
160
CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Snyding
Alles in A of B
AC\B
161
Reimplement
Alles wat nie in A is nie
continued on next page
162
CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Slegs een
Alles wat slegs in A is
A-B
163
Table 11.4
11.2.5 Finale Oefeninge
1. 'n Groep van 45 kinders was gevra of hulle Frosties en/of Strawberry Pops eet. 31 eet beide en 6 eet
slegs Frosties. Wat is die waarskynlikheid dat 'n kind wat willekeurig gekies word slegs Strawberry
Pops eet?
Kliek hier vir die oplossing. 17
2. In 'n groep van 42 leerders,het almal behalwe 3 'n pakkie skyfies of 'n Fanta of beide. Indien 23
'n pakkie skyfies het en 7 van hulle ook 'n Fanta het, wat is die waarskynlikheid dat 'n leerder wat
willekeurig gekies word:
a. Beide skyfies en Fanta het?
b. Slegs Fanta het?
Kliek hier vir die oplossing. 18
3. Gebruik 'n Venn-diagram om die volgende waarskynlikhede van 'n gerolde dobbelsteen te bepaal:
a. 'n veelvoud van 5 en 'n onewe getal
b. 'n getal wat nie 'n veelvoud van 5 of 'n onewe getal is nie
c. 'n getal wat nie 'n veelvoud van 5 is nie, maar wel onewe is.
Kliek hier vir die oplossing. 19
4. 'n Pakkie bevat geel en pienk lekkers. Die waarskynlikheid om 'n pienk lekker te vat is 7/12.
a. Wat is die waarskynlikheid om 'n geel lekker te vat?
b. Indien 44 van die lekkers geel is, hoeveel lekkers is pienk?
Kliek hier vir die oplossing. 20
5. In 'n parkeerarea is 300 motors, waarvan 190 Opels is. Wat is die waarskynlikheid dat die eerste kar
wat die parkeerarea verlaat:
a. 'n Opel is?
b. nie 'n Opel is nie?
Kliek hier vir die oplossing. 21
6. Tamara het 18 los sokkies in haar laai. Agt van hulle is oranje en twee is pienk. Bereken die waarskyn-
likheid dat die eerste sokkie wat sy uithaal:
a. Oranje is
b. nie oranje is nie
c. pienk is
d. nie pienk is nie
e. oranje of pienk is
f. nog minder oranje of pienk is
Kliek hier vir die oplossing. 22
7. Daar is 9 botterkoekies, 4 gemmerkoekies, 11 soetkoekies en 18 Jambo's op 'n bord. Wat is die
waarskynlikheid dat 'n koekie wat willekeurig gekies word:
a. of 'n gemmerkoekie of 'n Jambo is?
b. nie 'n botterkoekie is nie?
http
17
18 http
19 http
20 http
21 http
22 http
// www.fhsst.org/lqh
// www.fhsst.org/llq
// www.fhsst.org/lll
// www.fhsst.org/lli
// www.fhsst.org/113
// www.fhsst.org/HO
164 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Kliek hier vir die oplossing. 23
8. 280 kaartjies word tydens 'n lotery verkoop. Ingrid het 15 gekoop. Wat is die waarskynlikheid dat:
a. Sy die prys wen?
b. Sy nie die prys wen nie?
Kliek hier vir die oplossing. 24
9. Die kinders in 'n kleuterskool word volgens haar- en oogkleur ingedeel. 44 het rooi hare, maar nie
bruin oe nie, 14 het bruin oe en rooi hare, 5 het bruin oe, maar nie rooi hare nie en 40 het nie bruin
oe of rooi hare nie.
a. Hoeveel kinders is in die skool?
b. Wat is die waarskynlikheid dat 'n kind wat willekeurig gekies word:
1. Bruin oe het?
2. Rooi hare het?
c. 'n Kind met bruin oe word willekeurig gekies. Wat is die waarskynlikheid dat hierdie kind rooi
hare het?
Kliek hier vir die oplossing. 25
10. 'n Fles bevat pers, blou en swart lekkers. Die waarskynlikheid dat 'n lekker, wat willekeurig gekies
word, pers is, is 1/7 en die waarskynlikheid dat dit swart is, is 3/5.
a. Indien 'n lekker willekeurig gekies word, wat is die waarskynlikheid dat dit:
i. pers of blou is?
ii. Swart is?
iii. Pers is?
b. Indien daar 70 lekkers in die fles is, hoeveel perses is daar?
c. 'n 1/4 van die pers lekkers in b) het strepe op en die res het nie. Hoeveel pers lekkers het strepe?
Kliek hier vir die oplossing. 26
11. Vir elk van die volgende, teken 'n Venn-diagram om die situasie voor te stel en dink aan 'n praktiese
voorbeeld van die situasie.
a. 'n Steekproefruimte waarin daar 2 gebeure is wat nie onderling uitsluitend is nie.
b. 'n Steekproefruimte waarin daar 2 gebeure is wat komplementer is.
Kliek hier vir die oplossing. 27
12. Gebruik 'n Venn-diagram om te bewys dat die waarskynlikheid dat gebeurtenis A of B plaasvind, gegee
word deur: P(A of B) = P(A) + P(B) - P(A en B)
Kliek hier vir die oplossing. 28
13. Al die klawers word uit 'n pak kaarte gehaal. Die oorblywende kaarte word geskommel en een kaart
word gekies. Nadat die kaart gekies is, word dit teruggeplaas voor die volgende kaart gekies word.
a. Wat is die steekproefruimte?
b. Vind 'n manier om gebeurtenis P, wat die trek van 'n Prentjie kaart behels, voorstel.
c. Vind 'n manier om gebeurtenis N, wat die trek van 'n Nommer kaart behels, voorstel.
d. Stel die gebeure op 'n Venn-diagram voor.
e. Watter beskrywing van die versamelings P en N is gepas? (Wenk: Vind enige elemente van P in
N en N in P.)
Kliek hier vir die oplossing. 29
23 http:// www.fhsst.org/llc
24 http:// www.fhsst.org/llx
25 http:// www.fhsst.org/lla
26 http:// www.fhsst.org/HC
27 http:// www.fhsst.org/lll
28 http:// www.fhsst.org/llr
29 http:// www.fhsst.org/HY
165
14. Thuli het 'n sak wat vyf oranje, drie pers en sewe pienk blokkies bevat. Die sak word geskud en 'n
blokkie word getrek. Die blokkie se kleur word aangeteken en die blokkie word teruggesit.
a. Wat is die steekproefruimte vir hierdie eksperiment?
b. Watter stelsel beskryf die gebeurtenis om 'n pienk blokkie P te trek?
c. Skryf 'n stelsel, O of B, wat die gebeurtenis om 'n oranje of 'n pers blok te trek, voorstel.
d. Teken 'n Venn-diagram om die inligting voor te stel.
Kliek hier vir die oplossing. 30
-'http://www.ihsst.org/llq
166 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Solutions to Exercises in Chapter 11
Solution to Exercise 11.1 (p. 148)
Step 1. • Trek 'n priemgetal: P = {2; 3; 5; 7}
• Trek 'n ewegetal: E = {2; 4; 6; 8}
Image not finished
Step 2.
Figure 11.15
Step 3. Die vereniging van P en E is die stel van alle elemente in P of E (of in albei). P\J E = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Step 4. Die kruispunt van P en E is die stel van alle elemente in beide P en E. P n E = 2.
Step 5.
.-. n(S) = 9
n{P) = 4
n(E) = 4 (11.9)
n(P\jE) = 7
n(PnE) = 2
Solution to Exercise 11.2 (p. 148)
Step 1. Die hoeveelheid mense wat van Nando's en Debonairs gehou het is 27, dus is dit die kruising van hierdie
twee gebeure. Die aantal mense wat Debonairs en Steers verkies het is 13, dus is die kruising van die
twee gebeure 13. Ons word ook vertel dat daar vier mense is wat van al drie opsies hou, dus beteken
dit dat daar vier mense in die kruising van al drie opsies is. So kan ons bepaal dat die getal mense
wat net van Debonairs hou 66 4 27 — 13 = 22 is. (Dit is bloot die totale getal mense wat van
Debonairs hou minus die hoeveelheid mense wat Debonairs en Steers verkies, of Debonairs en Nando's
of al drie) . Ons teken die volgende diagram om die data voor te stel:
167
Figure 11.16
Step 2. Ons word vertel dat daar 100 mense is en dat 94 van tenminste een hou. Dus is die aantal mense wat
nie van een hou nie: 100 94 = 6. Hierdie is die antwoord van a).
Step 3. Ons kan die deel van die Venn-diagram oorteken wat hier van belang is:
168
CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Figure 11.17
Totale aantal mense wat van Nando's hou: 50
Van hierdie hou 27 van beide Nando's en Debonairs en vier van al drie opsies. Die totale aantal mense
wat slegs van Nando's hou is dus: 50 27 4 = 19
Totale aantal mense wat van Steers hou: 40
Van hierdie hou 13 van beide Steers en Debonairs en vier hou van al drie opsies. Ons kan dus vasstel
dat die totale aantal mense wat slegs van Steers hou: 40 13 4 = 23 is.
Gebruik nou die identiteit n (Nando's of Steers) = n (Nando's) + n (Steers) n (Nando's en Steers)
om die getal mense te bepaal wat van Nando's en Steers hou, maar nie van Debonairs nie.
n (Nando's of Steers)
28
n (Nando's en Steers) =
Die Venn-diagram wat al hierdie informasie voorstel is:
n (Nando's) + n (Steers) n (Nando's en Steers)
23+19 n (Nando's en Steers)
14
(11.10)
169
/Debonairs jX^ Steers
/ 22 [ 13 \ 23
\ /\ 4 /^\
\ / 27 V/ 14 \
I 19 i
\. Nandos ./
6
Figure 11.18
Solution to Exercise 11.3 (p. 149)
Step 1. Bereken die waarskynlikheid van gebeurtenis 1:
Om hierdie tipe vraag op te los, bereken die waarskynlikheid dat daar geen ses sal wees nie.
Step 2. Bereken die waarskynlikheid van gebeurtenis 2:
Die waarskynlikheid dat die rooi dobbelsteen nie 'n ses sal wees nie is 5 uit 6, en die waarskynlikheid
dat die blou dobbelsteen nie 'n ses sal wees nie is ook 5 uit 6.
Step 3. Die waarskynlikheid dat nie een van hierdie 'n ses sal wees nie:
Dit kan bereken word soos volg: 5/6x5/6=25/36.
Step 4. Die waarskynlikheid van een:
Die waarskynlikheid dat slegs een 'n ses sal wees kan bereken word soos volg: 1—25/36=11/36
170 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Solution to Exercise 11.4 (p. 149)
Step 1. Vind gebeurtenis 1:
Gestel R is die gebeurtenis waar 'n rooi bal uit die sak gehaal word.
• P(R)-n(R)/n(S)=3/14
• R en R' is komplementere gebeurtenisse
Step 2. Bereken die waarskynlikhede:
.-. P(R') = 1 - P(R) = 1 -3/14 = 11/14.
Step 3. Alternatiewe oplossing:
• Alternatiewelik, P(R') = P(B) + P(W) + P(G)
• P(R') = 4/14 + 5/14 + 2/14 = 11/14
Solution to Exercise 11.5 (p. 150)
Step 1. Die waarskynlikheid van hierdie gebeurtenis is §§ = j-
Step 2. 52 = i3-
Step 3. Hierdie voorbeeld is 'n bietjie meer ingewikkeld. Ons kan nie bloot die aantal uitkomste in elke
geval afsonderlik bymekaar tel nie (4 + 13 = 17) want dan word een van die uitkomste dubbeld
getel (die koning van klawers). Hoekom is dit so? Wei, soos aangedui in vraag 3, deel (f) hierbo,
n (A U B) = n (A) + n(B) — n(ADB). In die resultate met die gooi van die dobbelsteen, was die
kruising van enige twee uitkomste leeg (en dus n(AC\B) = 0) aangesien dit nie moontlik is vir die
bokant van 'n dobbelsteen om twee verskillende waardes gelyktydig te he. Maar in hierdie geval,
kan 'n kaart op dieselfde tyd sowel as' n klawer en 'n koning wees (dws n (A n B) = 1). Daarom,
n (A U B) = 4 + 13 - 1 = 16. So die korrekte antwoord is |§.
Solution to Exercise 11.6 (p. 153)
Step 1. P (S) = ^Tgl = t§ = 1 want al die kaarte is of swart of rooi!
Solution to Exercise 11.7 (p. 153)
Step 1.
P (klawer U ase) = P (klawer) + P (ase) — P (klawer n ase) (11.11)
Step 2.
4 T 13 1 4 13/
I + J_ _ J_
4 ^ 13 52
16
52
4_
13
(11.12)
Neem kennis hoe ons gebruik gemaak het van P (C U A) = P (C) + P (A) — P (C n A).
Solution to Exercise 11.8 (p. 156)
Step 1. Om hierdie tipe probleem op te los, bereken die waarskynlikheid dat daar geen 6 sal wees nie.
Step 2. Die waarskynlikheid dat die rooi dobbelsteen nie 'n 6 is nie is 5/6 en die waarskynlikheid dat die bloue
nie 'n 6 is nie, is ook 5/6.
Step 3. So die waarskynlikheid dat geeneen 'n ses sal wees nie is 5/6 x 5/6 = 25/36.
Step 4. So die waarskynlikheid dat ten minste een 'n 6 sal wees is 1 — 25/36 = 11/36.
171
Solution to Exercise 11.9 (p. 156)
Step 1. Laat R die gebeurtenis waar 'n rooi bal getrek word wees:
• P(R)-n(R)/n(S)=3/14
• R en R' is komplementere gebeure.
Step 2. .-. P(R') = 1 - P(R) = 1 -3/14 = 11/14
Step 3. • Alternatiewelik P(R') = P(B) + P(W) + P(G)
• P(R') = 4/14 + 5/14 + 2/14 = 11/14
Solution to Exercise 11.10 (p. 157)
Step 1. Daar is twee unieke uitkomste: K en S.
Step 2
Uitkoms
Frekwensie
K
44
S
56
Table 11.5
Step 3. Die statistieke eksperiment van die muntstuk gooi was 100 keer uitgevoer. Daarom was daar 'n totaal
van 100 proewe.
Step 4.
Waarskynlikheid van K
frekwensie van uitkoms
aantal proewe
44
100
0,44
(11.13)
Relatiewe frekwensie van S
frekwensie '
uitkoms
aantal proewe
56
100
0,56
Die relatiewe frekwensie van die muntstuk gooie om kop te lewer is 0,44 en die relatiewe frekwensie
om stert te lewer is 0,56.
Solution to Exercise 11.11 (p. 157)
Step 1. Daar is twee unieke uitkomste: K en S.
Step 2. Daar is twee moontlike uitkomste.
Step 3.
Relatiewe Frekwensie van K
Relatiewe Frekwensie van S
aantal gunstigc uitkomste
totalc aantal uitkomste
1
2
0,5
aantal gunstigc uitkomste
totalc aantal uitkomste
1
2
0,5
Die waarskynlikheid van 'n regverdige muntstuk om op enige kant te land is 0, 5.
(11.14)
172 CHAPTER 11. WAARSKYNLIKHEID
Chapter 12
Basiese beginsels van meetkunde
12.1 Punte, lyne en hoeke 1
12.1.1 Inleiding
Die doel van hierdie hoofstuk is om van die meetkundige en trigonometriese beginsels, wat jy in die verlede
teegekom het, te hersien. Jy moet gemaklik wees met die werk wat behandel word in die hoofstuk voor jy
die Graad 10 Meetkunde Hoofstuk 2 of die Graad 10 Trigonometrie Hoofstuk 3 aanpak. Die hoofstuk hersien
die volgende:
1. Terminologie: vierhoeke, hoekpunte, sye, hoeke, parallele lyne, loodregte lyne, hoeklyne, halveerlyne
en snylyne
2. Ooreenstemmings en verskille tussen driehoeke en vierhoeke
3. Eienskappe van driehoeke en vierhoeke
4. Kongruensie
5. Onderskeid tussen skerphoeke, regte hoeke, stomphoeke, reguitlyne en 'n voile omwenteling
6. Pythagoras se Teorie, wat gebruik word om die sye van reghoekige driehoeke se lengtes te bereken
12.1.2 Punte en Lyne
Die twee eenvoudigste elemente in meetkunde is punte en lyne.
[U+0149] Punt is [U+0149] koordinaat wat [U+0149] posisie in ruimte aandui (of op [U+0149] getallelyn,
of in [U+0149] vlak of in [U+0149] drie- of meerdimensionele ruimte) en word voorgestel deur [U+0149]
dot. Punte word gewoonlik aangedui met [U+0149] hoofletter. [U+0149] Paar voorbeelde van hoe punte
aangedui word, kan gesien word in Figure 12.1.
[U+0149] Lyn is [U+0149] stel kontinue koordinate in [U+0149] ruimte en kan gesien word as baie punte
wat langs mekaar is. Lyne kan reguit of geboe wees, maar is altyd kontinu en dus is daar geen onderbrekings
in lyne nie. Die eindpunte van lynstukke word met hoofletters aangedui. Voorbeelde van twee lyne word in
Figure 12.1 aangetoon.
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39628/l.l/>.
2 "Geometry - Grade 10" <http://siyavula.cnx.org/content/m32629/latest/>
3 "Trigonometry - Grade 10" <http://siyavula.cnx.org/content/m32620/latest/>
173
174
CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
• s
•R
•Q
• P
'n paar punte
D
'n paar lyne
Figure 12.1: Voorbeelde van [U+0149] paar punte (aangedui deur P, Q, R en S ) en [U+0149] paar
lyne (aangedui deur BC en DE )
[U+0149] Lyn word aangedui deur [U+0149] beginpunt en [U+0149] eindpunt. Ons noem [U+0149] lyn
wat begin by punt A en eindig by punt B, AB. Aangsien die lyn van punt B tot punt A dieselfde is as as
die lyn van punt A tot die punt B, kan ons se dat AB = BA.
Die lengte tussen die punte A en B is AB . Dus as ons se AB = CD word dit bedoel dat die lengte van
die lynstuk tussen A en B gelyk is aan die lengte tussen C en D.
[U+0149] Lyn word gemeet in eenhede van lengte. [U+0149] Paar voorbeelde van algemene eenhede van
lengte word gelys in Table 12.1.
Eenheid van lengte
Afkorting
kilometer
km
meter
m
sentimeter
cm
millimeter
mm
Table 12.1: 'n Paar algemene eenhede van lengte en hul afkortings
12.1.3 Hoeke
[U+0149] Hoek word gevorm as twee lyne in [U+0149] gemeenskaplike punt ontmoet. Die punt waar twee
lyne ontmoet staan bekend as die hoekpunt. Hoeke word aangedui deur [U+0149] (kappie) bo 'n letter
te plaas. Byvoorbeeld, in Figure 12.2 is daar 'n hoek by B- Hoeke kan ook aangedui word met behulp van
die lyn segmente waaruit die hoek bestaan. Byvoorbeeld, in Figure 12.2 word die hoek gevorm waar die
lynsegmente CB en BA mekaar ontmoet. Die hoek kan dus aangedui word deur ZCBA of ZABC . Die Z
simbool dui 'n hoek in meetkunde aan.
Hoeke word gemeet in grade wat aangedui word deur die simbool ° (byvoorbeeld, 60°).
note: Hoeke kan ook gemeet word in radiale. In die hoerskool sal ons slegs grade gebruik, maar
in wiskunde op universiteitsvlak sal jy definitief weer radiale teekom.
175
Image not finished
Figure 12.2: Hoek aangedui deur B, ZCBA of ZABC
Image not finished
Figure 12.3: Voorbeelde van hoeke. A~E, al is die lyne wat die verskillende hoeke vorm van verskillende
lengtes
12.1.3.1 Meting van Hoeke
Die grootte van [U+0149] hoek is onafhanklik van die lengtes van die twee sye wat die hoek onderspan. Dit
hang slegs af van hoe die twee lyne relatief tot mekaar geplaas word, soos aangedui in Figure 12.3. [U+0149]
Hoek vorm wanneer daar geroteer word om [U+0149] hoekpunt.
12.1.3.1.1 Hoe om 'n gradeboog te gebruik
[U+0149] Gradeboog is [U+0149] eenvoudige instrument wat gebruik word om hoeke te meet. [U+0149]
Diagram van [U+0149] gradeboog word getoon in Figure 12.4.
Image not finished
Figure 12.4: Diagram van 'n gradeboog
Metode:
Hoe om 'n gradeboog te gebruik:
1. Plaas die onderste lyn van die gradeboog langs een van die sye van die hoek. Die tweede lyn moet in
die rigting van die afgemete skaal wys.
2. Beweeg die gradeboog sodat die middelpunt van die gradeboog en die hoekpunt oorstem.
3. Lees af waar die tweede lyn van die hoek die afgemete skaal kruis. Maak seker dat jy by die 0° begin
lees.
176 CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
12.1.3.1.1.1 Meting van Hoeke: gebruik [U+0149] gradeboog om die volgende hoeke te meet
Image not finished
Figure 12.5
12.1.3.2 Spesiale Hoeke
Wat is die kleinste hoek wat geteken kan word? Die figuur hier onder toon aan hoe twee lyne (CA en AB)
[U+0149] hoek onderspan by die hoekpunt A. As die lyn CA geroteer word om die hoekpunt A, in die
rigting van lyn AB, dan is die kleinste hoek wat geteken kan word, die geval waar beide lyne in dieselfde
rigting wys. Dit noem ons [U+0149] 0° hoek. Dit word aangedui in Figure 12.6.
Image not finished
Figure 12.6
As lyn CA nou opwaarts geroteer word, kan enige ander hoek gevorm word. As lyn CA en lyn AB in
presies teenoorgestelde rigtings wys (soos in geval 3 in Figure 12.6) word [U+0149] 180° hoek onderspan.
tip: As drie punte A, B en C op [U+0149] reguitlyn le, is die hoek wat onderspan word 180°.
Netso, as die hoek tussen 3 punte 180° is, le die punte op [U+0149] reguitlyn.
[U+0149] Hoek van 90° word [U+0149] regie hoek genoem. [U+0149] Regte hoek is die helfte van die hoek
wat onderspan word deur die reguitlyn (die 180° lyn). Ons se dus CA is loodreg op AB of CA _L AB .
[U+0149] Hoek, twee maal die grootte van die hoek wat die reguitlyn onderspan, is 360°. [U+0149] Hoek
van 360° is presies dieselfde as [U+0149] 0°, hoek (behalwe vir die notasie). Ons noem dit 'n omwenteling.
Image not finished
Figure 12.7: 'n Hoek van 90° word aangedui as 'n regte hoek.
12.1.3.2.1 Hoeke groter as 360°
Alle hoeke, groter as 360°, lyk dieselfde as hoeke wat ons alreeds teegekom het. As jy [U+0149] hoek gegee
word wat groter is as 360°, trek 360° herhaaldelik af van die hoek, tot jy 'n antwoord kry tussen 0°and 360°.
Hoeke wat meer as 360° is meestal vir die wiskundige gerief.
tip:
177
• Skerphoek: 'n Hoek > 0° en < 90°.
• Regtehoek : 'n Hoek gelyk aan 90°.
• Stomphoek: 'n Hoek > 90° en < 180°.
• Reguitlynhoek: 'n Hoek gelyk aan 180°.
• Inspringende hoek: 'n Hoek > 180° en < 360°.
• Omwenteling: 'n Hoek gelyk aan 360°.
Hierdie is basies net name vir hoeke in 'n spesifieke reeks, soos gewys in Figure 12.8.
Image not finished
Figure 12.8: Drie soorte hoeke
Waneer jy hoeke meet, kan jy hulle met mekaar vergelyk. Byvoorbeeld, alle regte hoeke is 90°, dus is alle
regte hoeke is gelyk aan mekaar en 'n stomphoek sal altyd groter wees as 'n skerphoek.
Die volgende video gee 'n opsomming van wat jy moet weet van hoeke.
Khan Akademie video oor hoeke - 1
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/2439OIVBgPg&rel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 12.9
Let daarop dat vir hoerskool sal jy net grade gebruik, nie radiale soos gewys in die video nie. Radiale is
'n ander manier om hoeke te meet. Jy sal op universiteit aan radiale voorgestel word.
12.1.3.3 Spesiale Hoekpare
In Figure 12.10, sny reguitlyne AB en CD in punt X en dit vorm vier hoeke: X\ of ZBXD , X2 of ZBXC
, X 3 of ZCXA en X A of ZAXD .
Image not finished
Figure 12.10: Twee kruisende reguitlyne vorm hoeke X\,X$ en X2,Xi
Die tabel gee 'n opsomming van spesiale hoekpare.
178
CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
Spesiale Hoeke
Eienskap
Byvoorbeeld
Aangrensende hoeke
deel 'n hoekpunt en 'n gemeen-
skaplike sy
1 X\ , x 2 1 , 1 x 2 , X 3 1 ,
1 X 3 ,Xi 1 , 1 X&,Xi J
Lineere paar (aangrensende
hoeke op 'n reguitlyn)
aangrensende hoeke wat gevorm
word by twee snydende reguitlyne
wat volgens definisie saam 180°is
X 1 + X 2 = 180°; X 2 + X 3 =
180°; X 3 + X A = 180°; X A
+ X x = 180°
Teenoorstaande hoeke
hoeke wat gevorm word deur
2 snydende reguitlyne wat 'n
hoekpunt deel maar nie enige sye
nie
X\=X 3 ; X 2 =Xi
Supplementere hoeke
2 hoeke waarvan die som 180 is°
Komplementere hoeke
2 hoeke waarvan die som 90 is°
Table 12.2
tip: Die teenoorstaande/regoorstaande hoeke wat gevorm word by twee snydende lyne is gelyk.
Aangrensende hoeke op 'n reguitlyn is supplementer.
Die volgende video som op wat jy tot dusver geleer het.
Khan Akademie video oor hoeke - 2
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/zrqzG6xKalA&rel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 12.11
12.1.3.4 Parallelle Lyne wat gesny word deur Dwarslyne
Twee lyne sny mekaar as hulle kruis by 'n punt. Byvoorbeeld, by 'n verkeerskruising sny 2 of meer strate en
die snypunt van die kruising is die gemeenskaplike punt tussen die strate.
Parallelle of ewewydige lyne is lyne wat nooit kruis nie. Byvoorbeeld, spoorlyne is parallel.
Image not finished
Figure 12.12
Al hierdie lyne is parallel aan mekaar. Let op die simbool vir parallelle lyne.
179
note: 'n Gedeelte van die Australiese Nasionale Spoorlyn is van die langste parallelle lyne in die
wereld.
Langste Spoorlyn met ewewydige spore (Source: www.guinnessworldrecords.com)
The Australian National Railways Trans-Australian line over the Nullarbor Plain, is 478
km (297 miles) dead straight, from Mile 496, between Nurina and Loongana, Western
Australia, to Mile 793, between Ooldea and Watson, South Australia.
'n Dwarslyn van twee of meer lyne is 'n lyn wat hierdie lyne sny. Byvoorbeeld, in Figure 12.13, AB en CD
is twee parallelle lyne en EF is 'n dwarslyn. Ons se AB || CD. Die eienskappe van hoeke wat gevorm word
by hierdie kruisende lyne word opgesom in die volgende tabel.
Image not finished
Figure 12.13: Parallelle lyne wat gekruis is by 'n dwarslyn
Naam van hoek
Definisie
Voorbeelde
Aantekening
binnehoeke
hoeke wat binne die
parallelle lyne le
in Figure 12.13 a, b,
c en d is binnehoeke
die woord binnehoeke beteken tussen
die lyne
aangrensende hoeke
die hoeke deel 'n
gemeenskaplike
hoekpunt en sy
in Figure 12.13 (a,
h) is aangrensend,
asook (h, g); (g, b);
(b,a)
buitehoeke
hoeke wat buite die
parallelle lyne le
in Figure 12.13 e,
/, g and h is buite-
hoeke
die woord buitehoeke beteken aan die
buitekant
verwisselende bin-
nehoeke
die binnehoeke
wat aan verskil-
lende kante van die
snylyn 16
in Figure 12.13
(a,c) en (b,d) is
pare van verwisse-
lende binnehoeke,
a = c, b = d
Figure :
continued on next page
180
CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
ko-binnehoeke aan
dieselfde kant
ko-binnehoeke wat
aan dieselfde kant
van die snylyn 16
in Figure 12.13
(a,d) en (b,c) is
binnehoeke aan
dieselfde kant
van die snylyn
a + d = 180°,
b + c= 180°
Figure :
ooreenkonistige
hoeke
die hoeke aan die-
selfde kant van die
snylyn en aan die-
selfde kant van die
parallelle lyne
in Figure 12.13
(a,e), (6,/), (c,g)
en (d, h) is pare
van ooreenkonistige
hoeke a = e, b = f ',
c = g, d = h
Figure :
Table 12.3
Die volgende video som op wat jy tot dusver geleer het.
Khan Akademie video oor hoeke - 3
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/NLg6hfoKKlE&rel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 12.17
NOTE: Euclides se Postulaat oor Parallelle Lyne. As 'n reguitlyn, wat twee ander reguitlyne
kruis, twee binnehoeke vorm aan dieselfde kant van die snylyn wat saam kleiner is twee regte hoeke
(180°), sal die twee reguitlyne, as hulle oneindig verleng word, mekaar aan daardie kant van die
snylyn ontmoet. Hierdie postulaat kan gebruik word om baie identiteite oor hoeke wat gevorm
word wanneer twee parallelle lyne deur 'n dwarslyn gesny word, te bewys.
TIP:
l.As twee parallelle lyne gesny word met 'n dwarslyn, is die som van die ko-binnehoeke aan
dieselfde kant van die snylyn 180°.
2. As twee parallelle lyne gesny word met 'n dwarslyn, is die verwisslelende binnehoeke ewe groot.
3. As twee parallelle lyne gesny word met 'n dwarslyn, is die ooreenkomstige hoeke ewe groot.
4. As twee lyne gesny word met 'n dwarslyn, sodat enige paar ko-binnehoeke aan dieselfde kant
van die snylyn supplemented is, dan is die twee lyne parallel.
5. As twee lyne gesny word met 'n dwarslyn, sodat enige paar verwisselende binnehoeke gelyk is,
dan is die twee lyne parallel.
6. As twee lyne gesny word met 'n dwarslyn, sodat enige paar ooreenkomstige hoeke gelyk is,
dan is die twee lyne parallel.
Exercise 12.1: Berekening van Hoeke
Vind al die onbekende hoeke in die volgende figure:
(Solution on p. 194.)
181
B
D
Figure 12.18
Exercise 12.2: Parallelle lyne
Bepaal of daar enige parallelle lyne in die volgende figure is:
(Solution on p. 194.)
182 CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
Figure 12.19
12.1.3.4.1 Hoeke
1. Gebruik aangrensende, ooreenkomstige, verwisselende en ko-binnehoeke om al die hoeke wat benoem
is met letters in die diagram hieronder, te vind:
Image notjtnished
Figure 12.20
Kliek hier vir die oplossing 4
2. Vind al die onbekende hoeke in die figuur hieronder:
Image notjtnished
Figure 12.21
4 http://www.fhsst.org/lxF
183
Kliek hier vir die oplossing 5
3. Vind die waarde van x in die figuur hieronder:
Image not finished
Figure 12.22
Kliek hier vir die oplossing 6
4. Bepaal of daar pare parallelle lyne is in die volgende figure:
a.
Image not finished
Figure 12.23
b Image not finished
Figure 12.24
c Image not finished
Figure 12.25
Kliek hier vir die oplossing 7
5. As AB parallel is aan CD en AB parallel is aan EF, bewys dat CD parallel is aan EF:
Image not finished
Figure 12.26
Kliek hier vir die oplossing 8
Die volgende video wys sekere probleme met hulle oplossings.
5 http:// www.fhsst.org/lxL
6 http:// www.fhsst.org/lxM
7 http:// www.fhsst.org/lxe
8 http:// www.fhsst.org/lxt
184
CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
Khan Akademie video oor hoeke - 4
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/kqU_ymV581c&rel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 12.27
12.2 Poligone 9
12.2.1 Poligone
As jy 'n aantal lyne verbind sodat die eindpunt van die eerste lyn die beginpunt van die laaste lyn ontmoet,
kry jy 'n poligoon. Elke lyn wat deel van die poligoon uitmaak, staan bekend as 'n sy. 'n Poligoon het
binnehoeke - dit is die hoeke aan die binnekant van die poligoon. Poligone het net soveel sye as binnehoeke.
As 'n poligoon se sye ewe lank is en sy hoeke ewe groot is, noem ons dit 'n reelmatige poligoon. Voorbeelde
van poligone word getoon inFigure 12.28.
Figure 12.28: Voorbeelde van poligone. Hulle is almal reelmatig, behalwe die gemerk met
12.2.1.1 Driehoeke
'n Driehoek is 'n drie-sydige poligoon. Daar is verskeie soorte driehoeke: ongelyksydig, gelyksydig, gelykbe-
nig, reghoekig, skerphoekig, stomphoekig. Die eienskappe van hierdie driehoeke is opgesom in Table 12.4.
9 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39625/l.l/>.
185
Naam
Diagram
gelyksydig
Image notjtnished
Figure 12.29
gelykbenig
Image notjtnished
Figure 12.30
reghoekig
Image notjtnished
Figure 12.31
skerphoekig (nie-sillabus)
Image notjtnished
Figure 12.32
Table 12.4: Tipes Driehoeke
As die hoekpunte van 'n driehoek benoem word met A, B en C - dan praat ons van [U+25B5] ABC.
12.2.1.1.1 Eienskappe van Driehoeke
12.2.1.1.1.1 Ondersoek : Som van die hoeke van 'n driehoek
1. Trek 'n driehoek van enige grootte of vorm op 'n vel papier.
2. Sny dit uit en benoem die hoeke A, B en C aan beide kante van die papier.
3. Trek stippellyne soos aangetoon en sny langs hierdie lyne om 3 stukke papier te kry.
4. Plaas die 3 stukke teen jou liniaal soos aangetoon om te sien dat A + B + C= 180°
186 CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
Image not finished
Figure 12.33
Image not finished
Figure 12.34
tip: Die som van die hoeke van 'n driehoek is 180°.
Image not finished
Figure 12.35: In enige driehoek, ZA + ZB + ZC = 180°
tip: 'n Buitehoek van 'n driehoek is gelyk aan die som van die twee teenoorstaande binnehoeke.
'n Buitehoek word gevorm deur een van die sye te verleng.
Image not finished
Figure 12.36: In enige driehoek is enige buitehoek gelyk aan die som van die 2 teenoorstaande bin-
nehoeke.
12.2.1.1.2 Kongruente Driehoeke
187
Simbool
Beskrywing
Diagram
SS90H
As die skuinssy en een ander
sy van een reghoekige driehoek
gelyk is aan die skuinssy en
ooreenkomstige ander sy van
'n tweede driehoek, dan is die
driehoeke kongruent.
Image
Fig,
sss
As die 3 sye van 'n driehoek net
so lank is soos die ooreenkomstige
3 sye van 'n ander driehoek, dan
is die 2 driehoeke kongruent.
Image
Fig,
SHS
As 2 sye en die ingeslote hoek van
een driehoek net so groot is soos
2 sye en die ingeslote hoek van
'n ander driehoek, dan is die 2
driehoeke kongruent.
Image
Figi
HHS
As 1 sy en 2 hoeke van 'n driehoek
net so groot is as die ooreenkom-
stige sy en 2 hoeke van 'n ander
driehoek, dan is die 2 driehoeke
kongruent .
Image
Figi
Table 12.5
188
CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
12.2.1.1.3 Gelykvormige Driehoeke
Beskrywing
Diagram
As 3 hoeke van een driehoek gelyk is aan die 3 hoeke
van 'n ander driehoek is die driehoeke gelykvormig.
Image notjinished
Figure 12.41
As al 3 sye van 'n driehoek eweredig is aan die
ooreenstemmende 3 sye van 'n ander driehoek, dan
is die 2 driehoeke gelykvormig.
Image notjinished
Figure 12.42
X
_ y _ z
V
q r
Table 12.6
12.2.1.1.4 Die Stelling van Pythagoras
Image notjinished
Figure 12.43
As [U+25B5]ABC 'n reghoekige driehoek is (B= 90°) dan b 2
Omgekeerde: As
c 2 , dan is [U+25B5] ABC 'n reghoekige driehoek (B= 90°
Exercise 12.3: Driehoeke (Solution on p. 194.)
In die volgende figure, bepaal of die 2 driehoeke kongruent is en gebruik dan die resultaat om die
onbekendes te vind.
189
Figure 12.44
12.2.1.1.4.1 Driehoeke
1. Bereken die onbekende veranderlikes in elk van die volgende figure. Alle lengtes is in mm.
Image not finished
Figure 12.45
Kliek hier vir die oplossing 10
2. Bepaal of elk van die volgende pare driehoeke kongruent is of nie. Gee redes vir jou antwoorde. As
daar nie genoeg inliging is om 'n besluit te neem nie, se hoekom.
Image not finished
Figure 12.46
Kliek hier vir die oplossing 1
10 http:// www.fhsst.org/lxz
11 http://www.fhsst.org/lxu
190
CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
12.2.1.1.5 Vierhoeke
'n Vierhoek is 'n geslote vier-sydige figuur. Daar is 'n aantal spesiale vierhoeke (trapesium, parallelogram,
vlieer, rombus, reghoek, vierkant) waaroor jy later sal leer in Geometry 12 .
12.2.1.1.6 Ander poligone
Daar is baie ander poligone waarvan sommige gegee word in die tabel hieronder.
Sye
Naam
5
pent ago on
6
heksagoon
7
heptagoon
8
oktagoon
10
dekagoon
15
pent ago on
Table 12.7: Tabel van sommige poligone en hulle aantal sye
Image not finished
Figure 12.47: Voorbeelde van poligone
12.2.1.1.7 Hoeke van Reelmatige Poligone
Jy kan die grootte van die binnehoek van 'n reelmatige poligoon as volg bereken:
" n-2
A= x 180°
(12.1)
waar n die aantal sye is en A enige hoek is.
Exercise 12.4
Vind die grootte van die binnehoeke van 'n reelmatige oktogoon.
(Solution on p. 194.)
12.2.2 Opsomming
• Maak seker dat jy weet wat die volgende terme beteken: vierhoeke, hoekpunte, sye, hoeke, parallelle
lyne, loodregte lyne, diagonale/hoeklyne, halveerlyne en snylyne.
• Die eienskappe van driehoeke is bespreek.
• Kongruensie en gelykvormigheid van driehoeke is belangrike konsepte.
"Geometry - Grade 10 [CAPS]" <http://siyavula.cnx.org/content/m38381/latest/>
191
• Hoeke kan geklassifiseer word as skerp, reghoekig, stomp, gestrek, refieks of omwenteling.
• Die Stelling van Pythagoras word gebruik om die lengtes van die sye van reghoekige driehoeke te
bereken.
• Hoeke:
Skerphoek: 'n Hoek tussen 0° en 90°
Regte hoek: 'n Hoek van 90°
Stomphoek: 'n Hoek tussen 90° en 180°
Gestrekte hoek: 'n Hoek van 180°
Refiekse hoek: 'n Hoek tussen 180° en 360°
Omwenteling: 'n Hoek van 360°
• Hoeke het verskillende eienskappe en spesiale name daarvoor.
• Daar is verskeie tipes driehoeke: gelyksydig, gelykbenig, reghoekig, skerphoekig.
• Die hoeke van 'n driehoek is saam 180°'
12.2.3 Oefeninge
1. Vind al die pare parallelle lyne in die volgende figure en gee redes in elke geval.
a Image not finished
Figure 12.48
b Image not finished
Figure 12.49
c Image not finished
Figure 12.50
Kliek hier vir die oplossing 13
2. Vind hoeke a, b, c en d gee redes in elke geval.
a.
Image not finished
Figure 12.51
5 http://www.fhsst.org/lxh
192 CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
Image not finished
b.
Figure 12.52
Image not finished
Figure 12.53
Kliek hier vir die oplossing 14
3. Identifiseer watter van die volgende pare driehoeke is kongruent en gee redes.
a Image not finished
Figure 12.54
b Image not finished
Figure 12.55
c Image not finished
Figure 12.56
d Image not finished
Figure 12.57
15
Kliek hier vir die oplossing
12.2.3.1 Probleem met 'n Uitdaging
1. Toon aan dat die som van die drie hoeke van 'n driekhoek gelyk is aan 180 ° deur gebruik te maak van
die skets hieronder. Lyn DE is parallel aan BC.
14 http:// www.fhsst.org/laq
15 http:// www.fhsst.org/lai
193
Image not finished
Figure 12.58
Kliek hier vir die oplossing
16
16 http:// www.fhsst.org/laO
194 CHAPTER 12. BASIESE BEGINSELS VAN MEETKUNDE
Solutions to Exercises in Chapter 12
Solution to Exercise 12.1 (p. 180)
Step 1. AB || CD. So x = 30 (verwisselende binnehoeke)
Step 2.
160 +y = 180
(12-2)
V = 20
(ko-binnehoeke aan dieselfde kant van die snylyn)
Solution to Exercise 12.2 (p. 181)
Step 1. Lyn EF kan nie parallel wees aan AB of CD nie aangesien dit beide hierdie lyne sny. Lyne AB en CD
mag parallel wees.
Step 2. Ons kan aantoon dat twee lyne parallel is, as ons een van die pare spesiale hoeke kan identifiseer. Ons
e
weet dat Ei= 25 (teenoorstaande hoeke). Dan let ons op dat
e e
E 2 = Fa
o
= 25
CE 2
=
DE 2 + DC 2
5 2
=
3 2 + x 2
x 2
=
16
X
=
4
y = 35 (hoeke in 'n driehoek)
z = 5 (kongruente driehoeke, AC = CE)
Solution to Exercise 12.4 (p. 190)
Step 1. 'n Oktogoon het 8 sye.
Step 2.
A
=
^ x 180'
n
A
=
^ x 180'
A
=
| x 180°
A
=
135°
(12.3)
Dus het ons aangetoon dat AB || CD (ooreenkomstige hoeke ewe groot)
Solution to Exercise 12.3 (p. 188)
e e
Step 1. D E C = B AC = 55 (som van die hoeke van 'n driehoek is 180
ABC = C DE = 90° (gegee)
DE = AB = 3 (gegee)
.-. AABC = AEDC (12.4)
Step 2. Ons gebruik Pythagoras om x te bereken:
(12.5)
(12.6)
Chapter 13
Meetkunde
13.1 Vierhoeke en poligone 1
13.1.1 Inleiding
Meetkunde (Grieks: geo = aarde, metria = meet) het ontstaan as die veld van kennis wat ruimtelike ver-
houdings hanteer. Dit was een van die twee velde van pre-moderne wiskunde. Die ander veld was die studie
van getalle. In die moderne tyd het meetkundige begrippe baie kompleks en abstrak geraak en is dit skaars
herkenbaar as [U+0149] uitvloeisel van vroee meetkunde.
13.1.1.1 Navorsingsprojek: Die geskiedenis van Meetkunde
Werk in pare of groepe en bestudeer die geskiedenis van die onstaan van meetkunde. Beskryf die verskillende
stadiums van ontwikkeling en hoe meetkunde later gebruik is deur mense om hul lewens te verbeter. Die lys
van stadiums moet dien as [U+0149] riglyn en hoef slegs die minimum vereistes te beskryf.
1. Antieke Indiese meetkunde (ong. 3000 - 500 V.C.)
a. Harappanse meetkunde
b. Vediese meetkunde
2. Klassieke Griekse meetkunde (ong. 600 - 300 V.C.)
a. Thales en Pythagoras
b. Plato
3. Hellenistiese meetkunde (ong. 300 V.C - 500 N.C )
a. Euclides
b. Archimedes
13.1.2 Vierhoeke
In hierdie afdeling sal ons kyk na die eienskappe van sekere spesiale vierhoeke. Ons sal dan hierdie eienskappe
gebruik om meetkundige probleme op te los. Dit is belangrik om daarop te let dat alhoewel al die eienskappe
van [U+0149] figuur gegee word, benodig ons net sekere unieke eienskappe van die vierhoek om te bewys dat
dit wel daardie spesifieke vierhoek is. Byvoorbeeld, as ons [U+0149] vierhoek het met twee pare parallellesye,
dan is daardie vierhoek [U+0149] parallelogram. Ons kan dan die ander eienskappe van die vierhoek aflei
deur ons kennis van parallellelyne en driehoeke te gebruik.
lr This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39679/l.l/>.
195
196 CHAPTER 13. MEETKUNDE
13.1.2.1 Trapesium
[U+0149] Trapesium is [U+0149] vierhoek waarvan ten minste een paar teenoorgestelde sye parallel loop.
Dit word soms ook [U+0149] trapesoi'ed genoem. [U+0149] Spesiale tipe trapesium is die gelykbenige
trapesium, waar een paar teenoorstaande sye parallel is en die ander paar ewe lank is. Die hoeke aan die
eindpunte van elke parallelle sy is ewe groot. [U+0149] Gelykbenige trapesium het een lyn van simmetrie
en sy hoeklyne is ewe lank.
Image not finished
Figure 13.1: Voorbeelde van trapesiums
13.1.2.2 Parallelogram
[U+0149] Trapesium met beide pare teenoorstaande sye parallel, word [U+0149] parallelogram genoem.
[U+0149] Opsomming van die eienskappe van [U+0149] parallelogram is:
• Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
• Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
• Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
• Beide hoeklyne/diagonale halveer mekaar (d.w.s. hulle sny mekaar in die helfte)
Image not finished
Figure 13.2: [U+0149] Voorbeeld van [U+0149] parallelogram
13.1.2.3 Reghoek
[U+0149] Reghoek is [U+0149] parallelogram met al vier hoeke ewe groot en gelyk aan 90°. [U+0149]
Opsomming van die eienskappe van [U+0149] reghoek is:
• Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
• Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
• Die hoeklyne halveer mekaar.
• Die hoeklyne is ewe lank.
• Alle hoekpunte is regte hoeke.
197
Image not finished
Figure 13.3: Voorbeeld van [U+0149] reghoek
13.1.2.4 Rombus / Ruit
[U+0149] Rombus (ruit) is [U+0149] parallelogram waarvan al vier sye ewe lank is. [U+0149] Opsomming
van die eienskappe van [U+0149] rombus is:
• Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
• Al vier sye is ewe lank.
• Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
• Die diagonale halveer mekaar met hoeke van 90°.
• Diagonale halveer die teenoorstaande hoeke.
Image not finished
Figure 13.4: [U+0149] Voorbeeld van [U+0149] ruit, [U+0149] parallelogram met al vier sye ewe lank
13.1.2.5 Vierkant
[U+0149] Vierkant is [U+0149] rombus met al vier sye ewe lank en al vier hoeke gelyk aan 90°.
[U+0149] Opsomming van die eienskappe van [U+0149] vierkant:
• Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
• Al vier sye is ewe lank.
• Al vier die hoeke is 90°.
• Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
• Die hoeklyne halveer mekaar met hoeke van 90°.
• Diagonale is ewe lank.
• Diagonale halveer beide pare teenoorstaande hoeke (d.w.s. hulle is almal 45°).
Image not finished
Figure 13.5: [U+0149] Voorbeeld van [U+0149] vierkant - [U+0149] rombus met al die hoeke gelyk aan
90°
198
CHAPTER 13. MEETKUNDE
13.1.2.6 Vlieer
[U+0149] Vlieer is [U+0149] vierhoek met twee pare aangrensende sye ewe lank.
[U+0149] Oposmming van die eienskappe van [U+0149] vlieer is:
• Twee pare aangrensende sye is ewe lank.
• Een paar teenoorstaande hoeke (die hoeke tussen die ongelyke sye) is ewe groot.
• Een diagonaal halveer die ander een en hierdie diagonaal halveer ook een paar teenoorstaande hoeke.
• Diagonale sny mekaar reghoekig.
Image not finished
Figure 13.6: [U+0149] Voorbeeld van [U+0149] vlieer
Reghoeke is [U+0149] spesiale geval ([U+0149] deelversameling) van die parallelogramme. Reghoeke is
parallelogramme met alle hoeke regte hoeke. Vierkante is [U+0149] spesiale geval (deelversameling) van die
reghoeke. Vierkante is reghoeke met al vier sye ewe lank. So, alle vierkante is parallelogramme en reghoeke.
As jy gevra word om te bewys dat [U+0149] vierhoek [U+0149] parallelogram is, is dit genoeg om aan
te toon dat beide pare teenoorstaande sye parallel is. Maar, as jy gevra word om te bewys dat [U+0149]
vierhoek [U+0149] vierkant is, dan moet jy ook wys dat al die hoeke regte hoeke is en dat al die sye ewe
lank is.
13.1.3 Veelhoeke
Veelhoeke is oral rondom ons. [U+0149] Stopteken het die vorm van [U+0149] agthoek, m.a.w. [U+0149]
agthoekige veelhoek. Die heuningkoek van [U+0149] bynes bestaan uit heksagonale selle. Die oppervlak van
[U+0149] tafel is dikwels [U+0149] reghoek.
In hierdie afdeling sal jy leer van gelykvormige veelhoeke.
13.1.3.1 Gelykvormigheid tussen Veelhoeke
13.1.3.1.1 Bespreking: Gelykvormige Driehoeke
Gebruik die diagram om die tabel in te vul en beantwoord die vrae wat daarop volg.
AB_ ...cm _
DE~ ...cm ~ ■•■
A=...°
D...°
BC_ ...cm
EF~ ...cm ~ "•
B=...°
E=...°
AC ...era
DF~ ...cm ~ ■■■
C-°
F=...°
Table 13.1
199
3 cm
be*
1,5 cm
Figure 13.7
200 CHAPTER 13. MEETKUNDE
1. Wat kan jy se oor jou berekening van: gg, gg, gg?
2. Wat kan jy se oor A en £)?
3. Wat kan jy se oor B en £;?
4. Wat kan jy se oor C en F?
As twee veelhoeke gelykvormig is, is die een [U+0149] vergroting van die ander. Dit beteken dat die veelhoeke
dieselfde grootte hoeke sal he en dat hulle sye in verhouding tot mekaar sal wees.
Die simbool wat ons gebruik om gelykvormigheid aan te dui is |||.
Definition 13.1: Gelykvormige Veelhoeke
Twee veelhoeke is gelykvormig as:
1. hulle ooreenstemmende hoeke ewe groot is, en
2. hulle ooreenstemmende sye eweredig is (die verhouding van die sylengtes gelyk is.)
Exercise 13.1: Gelykvormigheid van Veelhoeke (Solution on p. 233.)
Bewys dat die volgende twee veelhoeke gelykvormig is.
201
Figure 13.8
202 CHAPTER 13. MEETKUNDE
tip: Alle vierkante is gelykvormig.
Exercise 13.2: Gelykvormigheid van Veelhoeke (Solution on p. 233.)
As twee vyfhoeke ABCDE en GHJKL gelykvormig is, bepaal die lengtes van die sye en die groottes
van die hoeke wat met letters gemerk is:
Image not finished
Figure 13.9
13.1.3.1.2 Gelykvormigheid van Gelyksydige Driehoeke
Werk in pare en toon dat alle gelyksydige driehoeke gelykvormig is.
13.1.3.1.3 Veelhoeke gemeng
1. Vind die onbekende waardes in elke geval. Gee redes.
Image not finished
Figure 13.10
Kliek hier vir die oplossing 2
2. Vind die hoeke en lengtes wat met letters gemerk is in die volgende figure:
Image not finished
Figure 13.11
Kliek hier vir die oplossing 3
13.1.4 Ondersoek: Definieer Poligone
Ondersoek verskillende maniere om poligone te definieer. Jy behoort spesiale aandag te gee aan die volgende
poligone:
2 http:// www.fhsst.org/HD
3 http:// www.fhsst.org/HW
203
• Gelykbenige driehoeke, gelyksydige driehoeke, reghoekige driehoeke
• Vlieers, parallelogramme, reghoeke, rombusse, vierkante, trapesiums
Neem in oorweging hoe die figure in hierdie boek gedefinieer is en watter alternatiewe definisies daar
bestaan. Byvoorbeeld, [U+0149] driehoek is [U+0149] driesydige poligoon of [U+0149] driehoekis [U+0149]
figuur met drie sye en drie hoeke. Driehoeke kan geklassifiseer word volgende hulle sye of volgens hulle
hoeke. Kan mens ook vierhoeke op hierdie manier klassifiseer? Watter ander name is daar vir hierdie figure?
Byvoorbeeld, vierhoeke kan ook genoem word tetragone.
13.2 Bewyse en vermoedens 4
13.2.1 Bewyse en Vermoedens in Meetkunde
Jy het gesien hoe om meetkunde en die eienskappe van poligone te gebruik om die onbekende lengtes van sye
en die groottes van hoeke van verskeie vierhoeke en poligone te vind. Ons gaan nou hierdie werk uitbrei om
sommige van die eienskappe te bewys en probleme op te los. [U+0149] Vermoede is [U+0149] wiskundige
se manier om te se: "Ek glo dit is waar, maar ek het geen bewys nie". Die volgende uitgewerkte voorbeelde
sal help om dit duideliker te maak.
Exercise 13.3: Bewyse - 1 (Solution on p. 234.)
Gegee vierhoek ABCD, met AB || CD en AD || BC, bewys datBAD = BC'AenABC=AD
C.
Proofs - 2 13.4 (Solution on p. 235.)
In parallelogram ABCD, is die halveerlyne van die hoeke (AW, BX, CY en DZ) gekonstrueer:
Figure 13.12
4 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39695/l.l/>.
204 CHAPTER 13. MEETKUNDE
Dit word ook gegee dat AB = CD, AD = BC, AB || CD, AD || BC, A=C, en B=D- Bewys dat
MNOP parallelogram is.
warning: Dit is baie belangrik om daarop te let dat [U+0149] enkele teen-voorbeeld genoeg is om
[U+0149] vermoede verkeerd te bewys. Selfs [U+0149] menigte ondersteunende voorbeelde is nog
steeds geen bewys nie!
13.3 Meting
13.3.1 Meting
13.3.1.1 Area (Oppervlakte) van Poligone
1. Area van driehoek: |x basis x loodregte hoogte
Image not finished
Figure 13.13
2. Area van trapesium: |x (som van || (parallelle) sye) x loodregte hoogte
Image not finished
Figure 13.14
3. Area van parallelogram en rombus: basis x loodregte hoogte
Image not finished
Figure 13.15
4. Area van reghoek: lengte x breedte
Image not finished
Figure 13.16
5 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39681/l.l/>.
205
5. Area van vierkant: sylengte x sylengte
Image not finished
Figure 13.17
6. Area van sirkel: ir x radius 2
Image not finished
Figure 13.18
Khan Akademie video oor area en omtrek
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/kqqmJiJez6o&rel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 13.19
Khan Akademie video oor area van [U+0149] sirkel
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/tCrDyJsSFok&rel=0&hl=en_US&feature=player_embedded&version=3>
Figure 13.20
Exercise 13.5: Berekening van area (Solution on p. 238.)
Vind die area van die volgende figure:
206
CHAPTER 13. MEETKUNDE
Figure 13.21
13.3.1.1.1 Poligone
1. Se of die bewering WAAR of VALS is in elk van die gevalle hieronder. Indien die bewering vals is, gee
[U+0149] teen-voorbeeld om dit te staaf:
a. Alle vierkante is reghoeke.
b. Alle reghoeke is vierkante.
c. Alle pentagone is gelykvormig.
d. Alle gelyksydige driehoeke is gelykvormig.
e. Alle pentagone is kongruent.
f. Alle gelyksydige driehoeke is kongruent.
Kliek hier vir die oplossing 6
2. Vind die areas vir elk van die gegewe figure. Onthou area word gemeet in vierkante eenhede (cm 2 , m 2 ,
Image not finished
Figure 13.22
Kliek hier vir die oplossing 7
13.3.2 Reghoekige Prismas en Silinders
In hierdie afdeling leer ons hoe om die oppervlakarea (buite-oppervlakte) en volume van reghoekige prismas
en silinders te bereken. [U+0149] Reghoekige prisma is [U+0149] veelhoek wat uitgerek word in [U+0149]
6 http:// www.fhsst.org/lx J
7 http:// www.fhsst.org/lxS
207
kolom sodat die hoogte van die kolom reghoekig tot sy basis is. [U+0149] Vierkantige prisma het [U+0149]
vierkantige basis en [U+0149] driehoekige prisma het [U+0149] driehoekige basis.
Image not finished
Figure 13.23: Voorbeelde van [U+0149] vierkantige prisma, [U+0149] driehoekige prisma en [U+0149]
silinder
Dit is eenvoudig om die oppervlakarea en volume van prismas te bereken.
13.3.2.1 Oppervlakarea
Die term oppervlakarea verwys na die totale area van die oppervlak aan die buitekant van die prisma. Dit
is makliker om te verstaan as [U+0149] mens aan die prisma dink as [U+0149] soliede voorwerp.
As jy die prismas in Figure 13.23 bestudeer, sal jy sien dat die boonste syvlak van die prisma [U+0149]
eenvoudige veelhoek is. Die driehoekige prisma het twee syvlakke wat driehoekig is en drie syvlakke wat
reghoekig is. Om die oppervlakarea van [U+0149] prisma te bereken moet die oppervlak van elke syvlak
bereken word en bymekaar getel word. [U+0149] Silinder bestaan uit twee sirkelvormige syvlakke en
[U+0149] reghoekige kolom.
Oppervlakarea van Prismas
Bereken die area van elke syvlak en tel die areas bymekaar om die oppervlakarea van die prisma te
bereken. Bepaal eers wat die regte vorm is van elke syvlak en bereken dan die area van daardie syvlak. Die
oppervlakarea van die prisma is gelyk aan die som van die oppervlakareas van al die syvlakke.
13.3.2.1.1 Bespreking: Oppervlakareas
In pare, bestudeer die volgende prismas saam met die diagram wat langs elke prisma vertoon word en
verduidelik watter oppervlakareas elke prisma het. Verduidelik vir jou maat hoe elke diagram verband hou
met die gepaardgaande prisma.
Image not finished
Figure 13.24
13.3.2.1.2 Aktiwiteit: Oppervlakarea
Soek [U+0149] prentjie of neem [U+0149] foto van [U+0149] gebou wat nie [U+0149] eenvoudig gedefinieerde
vorm het nie (byvoorbeeld een wat nie net [U+0149] reghoek is nie). Soek vir [U+0149] kasteel met torings
of [U+0149] huis met gewels of [U+0149] stoep. Veronderstel jy moet die buitekant van die gebou verf.
Hoeveel verf sal jy benodig? Dink aan dit wat jy geleer het omtrent oppervlakarea van poligone. Kan jy
reelmatige poligone in jou prent/foto vind en hulle gebruik om die oppervlakarea te bereken?
208 CHAPTER 13. MEETKUNDE
13.3.2.1.3 Oppervlakareas
1. Bereken die oppervlakarea van elk van die volgende:
Image not finished
Figure 13.25
Kliek hier vir die oplossing 8
2. As [U+0149] liter verf nodig is vir [U+0149] area van 2m 2 , bereken hoeveel verf die verwer nodig het
om die volgende areas te verf:
a. [U+0149] Reghoekige swembad met binnewande en bodem met die volgende afmetings: Am x
3m x 2, 5m
b. [U+0149] Sirkelvormige opgaardam waarvan die bodem [U+0149] middellyn het van 4m en met
[U+0149] diepte van 2,5m
Image not finished
Figure 13.26
Kliek hier vir die oplossing 9
13.3.2.2 Volume
Die volume van [U+0149] reghoekige prisma word bereken deur die area van die basis met die hoogte te
vermenigvuldig. Vir [U+0149] vierkantige prisma met [U+0149] sylengte van a en [U+0149] hoogte van h
is die volume a x a x h = a 2 h.
Volume van [U+0149] Prisma
Bereken die volume van [U+0149] prisma deur eers die area van die basis te bereken en dan te ver-
menigvuldig met die hoogte van die prisma.
Exercise 13.6 (Solution on p. 238.)
Vind die oppervlakarea en volume van [U+0149] vierkantige prisma met hoogte 4 cm and ba-
sislengte 3 cm.
8 http:// www.fhsst.org/lqH
9 http:// www.fhsst.org/lq6
209
Figure 13.27
13.3.2.2.1 Volume
1. Skryf die formule vir die berekening van elk van die volgende prismas se volumes neer:
Image not finished
Figure 13.28
Kliek hier vir die oplossing 10
2. Bereken die volgende volumes:
10 http:// www.fhsst.org/lqF
210
CHAPTER 13. MEETKUNDE
Image notjtnished
Figure 13.29
Kliek hier vir die oplossing 11
3. [U+0149] Kubus is [U+0149] spesiale prisma waarvan al die sye gelyk is. Dit beteken dat elke syvlak
[U+0149] vierkant is. [U+0149] Dobbelsteen is [U+0149] voorbeeld van [U+0149] kubus. Bewys dat
[U+0149] kubus met [U+0149] sylengte van a, [U+0149] oppervlakte het van 6a 2 en [U+0149] volume
van a .
Image notjtnished
Figure 13.30
Kliek hier vir die oplossing 12
Hoe verander die oppervlakarea as een van die afmetings vermenigvuldig word met [U+0149] konstante.
By voorbeeld, hoe verander die oppervlakarea van [U+0149] reghoekige prisma as die hoogte deur 2 gedeel
word?
Image notjtnished
Figure 13.31: Reghoekige prismas
Surface Area 2(1 x h + 1 x b + b x h)
Surface Area 2(1 > ^h + I xb + b x ^h)
Volume I x bx ft
Volume I x bx ±h
= |(1 x Ax ft)
Figure 13.32: Reghoekige prismas 2
Exercise 13.7: Verander die afmetings van [U+0149] prisma (Solution on p. 239.)
Die grootte van die prisma word beskryf deur die lengte van sy sye. Die prisma in die diagram het
sye met lengtes L, b en h.
11 http://www.fhsst.org/lqL
12 http:// www.fhsst.org/lqM
211
Image not finished
Figure 13.33
1. Vergroot al die sye van die prisma met [U+0149] konstante faktor van x, waar x > 1. Bereken
die volume en die oppervlakarea van die vergrote prisma as [U+0149] funksie van die faktor
x en die oorspronklike volume.
2. Soortgelyk aan die geval hierbo, dink nou aan [U+0149] geval waar < x < 1. Bereken
vervolgens die verkleiningsfaktor in die volume en die oppervlakarea.
Wanneer die lengte van een van die sye vermenigvuldig word met [U+0149] konstante, is dit soos om die
oorspronklike volume met die derdemag van dieselfde konstante te vermenigvuldig. Sien die voorbeeld in
Figure 13.31.
13.3.3 Right Piramides, Regte Kegels (Keels / Konusse), Sfere
[U+0149] Piramide is [U+0149] soliede geometriese figuur met [U+0149] poligoonbasis wat verbind is aan
die toppunt waar die syvlakke ontmoet. Twee voorbeelde van piramides word getoon in die linkerkantste en
middelste figure in . Die regterkantste figuur het [U+0149] toppunt wat verbind is aan die sirkelvormige basis
en hierdie tipe soliede geometriese figuur word [U+0149] kegel genoem. Kegels is soortgelyk aan piramides
behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone.
Image not finished
Figure 13.34: Voorbeelde van [U+0149] vierkantige piramide, [U+0149] driehoekige piramide en
[U+0149] kegel
Oppervlakarea van [U+0149] Piramide
Khan Akademie video oor die volume van soliede geometriese figure
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/ZqzAOZ9pP9Q&rel=0>
Figure 13.35
Die oppervlakarea van [U+0149] piramide word bereken deur die areas van die onderskeie vlakke
bymekaar te tel.
Exercise 13.8: Oppervlakarea (Solution on p. 239.)
As [U+0149] kegel [U+0149] hoogte het van h en [U+0149] basis met radius r, toon dat die
oppervlakarea gegee word deur 7rr 2 + irrVr 2 + h 2 .
212 CHAPTER 13. MEETKUNDE
Volume van [U+0149] Piramide: Die volume van [U+0149] piramide word gevind deur:
V=-A»h (13.1)
waar A die area van die basis is en h die hoogte is.
[U+0149] Kegel is soos [U+0149] piramide, daarom word die formule vir die volume van [U+0149] kegel
gegee deur:
V = -irr 2 h (13.2)
[U+0149] Vierkantige piramide se volume:
V = -a 2 h (13.3)
o
waar a die sylengte van die vierkantige basis is.
Exercise 13.9: Volume van [U+0149] Piramide (Solution on p. 244.)
Wat is die volume van [U+0149] vierkantige piramide, 3cm hoog met [U+0149] sylengte van 2cm?
213
Figure 13.36
214 CHAPTER 13. MEETKUNDE
Ons aanvaar die volgende formules vir die volume en oppervlakarea (buite-oppervlakte) van [U+0149] sfeer
(bal).
Oppervlakarea = Anr 2
(13.4)
Volume = ^7rr 3
Exercise 13.10 (Solution on p. 244.)
[U+0149] Driehoekige piramide word bo-op [U+0149] driehoekige prisma geplaas. Die prisma het
[U+0149] gelyksydige driehoek met [U+0149] sylengte van 20 cm as basis en [U+0149] hoogte van
42 cm. Die piramide is 12 cm hoog.
a. Vind die totale volume van die voorwerp.
b. Vind die area van elke vlak van die piramide.
c. Vind die totale oppervlakarea van die voorwerp.
215
Figure 13.37
216 CHAPTER 13. MEETKUNDE
13.3.3.1 Oppervlakarea en Volume
1. Bereken die volumes en oppervlakareas van die volgende soliede liggame: (*Wenk vir (e): vind die
loodregte hoogte met behulp van die Stelling van Pythagoras.)
Image not finished
Figure 13.38
Kliek hier vir die oplossing 13
2. Water bedek ongeveer 71% van die aardoppervlakte. As die benaderde radius van die aarde 6378 km
is, wat is die totale landoppervlakte (d.w.s. land wat nie bedek is met water nie)?
Kliek hier vir die oplossing 14
13.4 Transformasies 15
13.4.1 Transformasies: nie in CAPS
In hierdie afdeling gaan jy leer oor die verandering wat die koordinate van [U+0149] punt ondergaan wanneer
die punt horisontaal of vertikaal op die Cartesiese vlak skuif. Jy gaan ook leer wat met die koordinate van
[U+0149] punt gebeur wanneer dit reflekteer word in die x-as, y-as en die lyn y = x.
13.4.1.1 Translasie van [U+0149] Punt
Waneer [U+0149] voorwerp langs [U+0149] reguitlyn beweeg word, se ons dit word getransleer. Wat gebeur
met die koordinate van [U+0149] punt wat horisontaal of vertikaal getransleer word?
13.4.1.1.1 Bespreking : Vertikale Translasie van [U+0149] Punt
Voltooi die tabel deur die koordinate van die punte soos op die figuur in te vul.
13 http:// www.fhsst.org/12D
14 http://www.fhsst.org/12W
15 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39683/l.l/>.
217
I
~2 _
G
g*
-> _
V
4
.F
z
1»
1
4
.E
1
If
t D
T
-l
]
2
r c
-1
1
4
,B
-2.
f
F
n _
g
A
-D
— \
%
p
Figure 13.39
Punt
x-koordinaat
y-koordinaat
A
B
C
D
E
F
G
218 CHAPTER 13. MEETKUNDE
Table 13.2
Wat let jy op omtrent die x-koordinate? Wat let jy op omtrent die y-koordinate? Wat sal gebeur met
die koordinate van punt A indien dit verskuif word na die posisie van punt G?
Wanneer [U+0149] punt vertikaal op- of afgeskuif word op die Cartesiese vlak, bly die x-koordinaat van
die punt dieselfde, maar die y-koordinaat verander met die aantal eenhede wat die punt op- of afgeskuif is.
Byvoorbeeld: in word punt A 4 eenhede opwaarts geskuif na die posisie gemerk deur G. Die nuwe x-
koordinaat van punt A is dieselfde (x=l), maar die nuwe y-koordinaat het 4 eenhede geskuif in die positiewe
y-rigting en word j/=-2+4=2. Die nuwe koordinate van punt A is gevolglik G(l;2). Soortgelyk, vir punt
B wat 5 eenhede afgeskuif word, bly die x-koordinaat dieselfde (x = —2,5), maar die y-koordinaat het 5
eenhede in die negatiewe y-rigting geskuif. Die nuwe y-koordinaat is dus y=2,5 -5=-2,5.
219
B (-2
,5;2,5)
-M
"c
■4-J
"c
-2 -1
-1
H
-2
-3
A(l;-2)
Figure 13.40: Punt A het 4 eenhede opgeskuif tot by G. Punt B het 5 eenhede afgeskuif tot by H.
tip: Wanneer [U+0149] punt opgeskuif word, word die nuwe y-koordinaat verkry deur die translasie
eenhede by die ou y-koordinaat by te tel. Wanneer [U+0149] punt afgeskuif word, word die nuwe
y-koordinaat verkry deur die translasie eenhede van die ou y-koordinaat af te trek.
13.4.1.1.2 Bespreking: Horisontale Translasie van [U+0149] Punt
Voltooi die tabel deur al die koordinate wat in die figuur aangedui word, in te vul.
220
CHAPTER 13. MEETKUNDE
B
D E
-3 -2 -1
Figure 13.41
Punt
x-kodrdinaat
y— koordinaat
A
B
C
D
E
F
G
Table 13.3
Wat let jy op omtrent die x-koordinate? Wat let jy op omtrent die y-koordinate?
Wat sal gebeur met die koordinate van punt A, as dit geskuif word na posisie G?
Wanneer [U+0149] punt horisontaal links of regs op die Cartesiese vlak verskuif word, bly die y-koordinaat
van die punt dieselfde, maar die a;-koordinaat verander met die aantal eenhede wat die punt links of regs
geskuif word.
Byvoorbeeld, in word punt A 4 eenhede regs geskuif na G. Die nuwe y-koordinaat van punt A is dieselfde
(y=l), maar die nuwe cc-koordinaat is 4 eenhede in die positiewe x-rigting geskuif en word £=-2+4=2. Die
nuwe koordinaat van punt A by G is dus (2;1). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede links geskuif word,
bly die y-koordinaat dieselfde (y = —2,5), maar die a;- koordinaat word 5 eenhede in die negatiewe x-rigting
geskuif. Die nuwe x-koordinaat is dus £=2,5 -5=-2,5. Die nuwe koordinate van punt B by H is dus (-2,5;1).
221
/
I
— 2-
A(
-2;1)
n
4 un
its
H
1
1
t
3 -
1
2 -
1
T _
L 2 3
-1
-Z
B(2,5;-2,5) |
1 1 1 :
5 units
G
Figure 13.42: Punt A skuif 4 eenhede regs na posisie G. Punt B skuif 5 eenhede links na posisie H.
tip: Wanneer [U+0149] punt regs geskuif word, word die nuwe x-koordinaat verkry deur die
translasie-eenhede by die oorspronklike x-koordinaat by te tel. Wanneer [U+0149] punt na links
geskuif word, word die nuwe x-koordinaat verkry deur die translasie-eenhede van die oorspronklike
x-koordinaat af te trek.
13.4.1.2 Refleksie van [U+0149] Punt
Wanneer jy voor [U+0149] spieel staan, is die afstand tussen jou en die spieel gelyk aan die afstand tussen
jou refleksie en die spieel. (d)
222
CHAPTER 13. MEETKUNDE
d d
h •+■ H
y° u mirror your reflection
Figure 13.43
223
Ons kan dieselfde idee toepas op [U+0149] punt wat refiekteer word in die x-as, die y-as en die lyn y = x.
13.4.1.2.1 Refleksie in die x-as
Wanneer [U+0149] punt refiekteer word in die x-as, moet die refleksie dieselfde afstand onder die x-as wees
as wat die punt bo die x-as is en vice- versa, asof dit [U+0149] spieelbeeld is.
A(
-i;2)
oB'(2;l)
-3 -2 -1
A'-(=
-1-
±r2)° -2
.
B(2;-l)
Figure 13.44: Punte A en B word refiekteer in die x-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur
• en die gereflekteerde punte word aangedui deur o.
tip: Wanneer [U+0149] punt refiekteer word in die x-as, verander slegs die y-koordinaat van die
punt.
Exercise 13.11: Refleksie in die x-as (Solution on p. 245.)
Bepaal die koordinate van die refleksie van punt P in die x-as. Die koordinate van P is (5;10).
13.4.1.2.2 Refleksie in die y-as
As [U+0149] punt refiekteer word in die y-as, moet die refleksie dieselfde afstand links en regs van die y-as
wees.
224
CHAPTER 13. MEETKUNDE
B(
-i;2)
oB' (1;2)
I
3
-2 -1
A' (-2;-l)o
-1
-2
2 3
•A(2;-l)
Figure 13.45: Punte A en B word reflekteer in die y-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur
• en die gereflekteerde punte word aangedui met o.
tip: Wanneer [U+0149] punt reflekteer word in die y-as, verander net die x-koordinaat van die
punt. Die y-koordinaat bly dieselfde.
Exercise 13.12: Refleksie in die y-as
Bepaal die koordinate van die refleksie van punt Q (15;5) in die y-as.
(Solution on p. 245.)
13.4.1.2.3 Refleksie in die lyn y = x
Die laaste tipe refleksie wat ons gaan behandel, is refleksie in die lyn y = x.
225
13.4.1.2.3.1 Gevallestudie : Refleksie van [U+0149] punt in die lyn y = x
Image not finished
Figure 13.46
Bestudeer die gegewe inligting en voltooi die volgende tabel:
Punt
Refleksie
A
(2;i)
(i;2)
B
(-i|;-2)
(-2;-i|)
C
(-i;i)
D
(2;-3)
Table 13.4
Wat kan jy afiei omtrent die koordinate van die punte wat refiekteer word in die lyn y = x?
Die x- en y- koordinate van punte wat in die lyn y = x refiekteer word, rail net om. Dit beteken dat
die x-koordinaat van die oorspronklike punt, die y-koordinaat van die nuwe punt word. Soortgelyk word die
y-koordinaat van die oorspronklike punt, die x-koordinaat van die nuwe punt word.
226
CHAPTER 13. MEETKUNDE
o _
A' (1;3)
3
t
J
I
i
1
i
A'(3;l)
1 '
■3 -2
' 1 X
+
1
5
D ("
^,-j-r
t
-1
\
3 -z
B'
(-:
L;-2)
o _
-3
1
'
Figure 13.47: Punte A en B word reflekteer in die lyn y = x. Die oorspronklike punte word aangedui
met • en die reflekteerde punte word aangedui met o.
tip: Die x- en y- koordinate van die gerefiekteerde punte in die lyn y = x word dus omgeruil.
Exercise 13.13: Refleksie in die lyn y = x (Solution on p. 245.)
Bepaal die koordinate van die refleksie van punt R (-5;5) in die lyn y = x.
Reels vir Translasie
[U+0149] Vinnige manier om [U+0149] translasie te skryf is deur die 'translasiereel' te gebruik. Byvoor-
beeld (x; y) — » (x + a; y + b) beteken: transleer punt (x;y) deur dit a eenhede horisontaal en b eenhede
vertikaal te skuif.
227
As ons dus die punt (1;2) volgens die reel (x;y) — > (x + 3;y — 1) transleer, word dit (4;1). Ons het 3
eenhede regs en 1 eenheid af geskuif.
Translasie van [U+0149] Gebied
Om [U+0149] gebied te transleer, moet ons elke punt in die gebied transleer.
Voorbeeld
Gebied A is getransleer na gebied B deur die reel: (x; y) — > (x + 4; y + 2)
Image not finished
Figure 13.48
13.4.1.2.3.2 Bespreking : Transformasiereels
Werk in pare en besluit watter item in kolom 1 pas by die beskrywing in kolom 2.
Kolom 1
Kolom 2
1- (x;y) -» (x;y- 3)
a) refleksie in die x=y lyn
2- (x;y) -> (x-3;y)
b) refleksie in die x-as
3- {x;y) -> (x;-y)
c) verskuiwing van 3 eenhede na links
4- {x;y) -> (-x;y)
d) verskuiwing van 3 eenhede afwaarts
5- (x;y) -* (j/;ar)
e) refleksie in die y-as
Table 13.5
13.4.1.2.3.3 Transformasies
1. Beskryf die translasies in elk van die volgende deur gebruik te maak van die reel (x;y)— > (...;.
228
CHAPTER 13. MEETKUNDE
5
4
<
P
F
3
<
D
2
<
P
C
1
B
<
E
I
*A
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
-2
L
<
1
H
-3
•
p
1
J
G
-4
-5
\
P
K
-6
a.
Van A to B
b.
Van C to J
c.
Van F to H
d.
Van I to J
0.
Van K to L
f.
Van J to E
R-
Van G to H
Figure 13.49
Kliek hier vir die oplossing
16
16 http:// www.fhsst.org/laC
229
2. A is die punt (4;1). Stip elk van die volgende punte onder die gegewe transformasies. Gee die koordinate
van die punte wat jy neergestip het.
a. B is die refieksie van A in die x-as.
b. C is die refieksie van A in die y-as.
c. D is die refieksie van B in die lyn x=0.
d. E is die refieksie van C in die lyn y=0.
e. F is die refieksie van A in die lyn y= x.
Kliek hier vir die oplossing 17
3. In die diagram is B, C en D beelde van poligoon A. In elke geval is die transformasie wat toegepas is
om die beeld te verkry, [U+0149] refieksie en [U+0149] translasie van A. Skryf die letter neer van elke
beeld en beskryf die transformasie toegepas op A ten einde die beeld te verkry.
Image notjtnished
Figure 13.50
Kliek hier vir die oplossing 18
13.4.1.2.3.4 Ondersoek : Berekening van Volume, Oppervlakte en Skaalfaktore van voorwerpe
1. Kyk rond by die skool en/of huis en kyk of jy enige blikkie in die hande kan kry (bv. boontjie, sop,
koeldrank, ens.)
2. Meet die hoogte van die blikkie sowel as die deursnee daarvan.
3. Vul die waardes wat jy gemeet het op die diagram hier onder in:
Image notjtnished
Figure 13.51
4. Gebruik jou afmetings en bepaal die volgende (in cm 2 , afgerond tot 2 desimale):
a. die oppervlak van die syvlak van die blikkie (d.i. die reghoek)
b. die oppervlak van die bo- en onderkante van die blikkie (d.i. die sirkels)
c. die totale oppervlakarea (buite-oppervlakte) van die blikkie
5. As die metaal 0,17 sent/cm 2 kos, hoeveel kos dit om die blikkie te maak?
6. Bereken die volume van jou blikkie (in cm 3 , afgerond tot 2 desimale plekke).
7. Wat is die volume van die blikkie volgens die etiket?
8. Vergelyk jou volume met die waarde op die etiket. Hoeveel lug is in die blikkie wanneer die inhoud
(koeldrank, sop, ens.) verpak is?
9. Hoekom dink jy is daar lug oor in die blikkie?
10. As jy die volume van [U+0149] blikkie wil verdubbel, maar die radius dieselfde hou, met hoeveel moet
die hoogte toeneem?
17 http:// www.fhsst.org/lal
18 http:// www.fhsst.org/lar
230 CHAPTER 13. MEETKUNDE
11. As die hoogte van die blikkie dieselfde gehou word, maar die radius word verdubbel, met watter faktor
sal die:
a. oppervlak van die sykant van die blikkie toeneem?
b. oppervlak van die bo/onderkante van die blikkie toeneem?
13.4.2 Opsomming
• Die eienskappe van vlieers, rombusse, parallelogamme, vierkante, reghoeke en trapesiums is ondersoek.
Al hierdie vorme word vierhoeke genoem.
• Jy behoort die formules te ken vir die oppervlakarea van reghoekige en driehoekige prismas sowel as
silinders.
• Die volume van [U+0149] regte prisma is bereken deur area van die basis te vermenigvuldig met die
loodregte hoogte. Dus vir [U+0149] vierkantige prisma met sylengte a en hoogte h is die volume
a x a x h = a 2 h.
• Twee poligone is gelykvormig as:
• hulle ooreenkomstige hoeke gelyk is
• die lengtes van die sye eweredig is
Alle vierkante is gelykvormig.
13.4.3 Finale oefeninge
1. Deur die reels te gebruik wat verskaf is, identifiseer elke tipe transformasie en teken die vorms.
a- (x;y)^(x+3;y-3)
Image not finished
Figure 13.52
b. (x;y)->(x-4;y)
Image not finished
Figure 13.53
c- (x;y)->(y;x)
Image not finished
Figure 13.54
231
d- (x;y)->(-x;-y)
Image not finished
Figure 13.55
Kliek hier vir die oplossing 19
2. PQRS is [U+0149] veelhoek met hoekpunte P(0; -3) ; Q(-2;5) ; R(3;2) en S(3;-2) in die Cartesiese-
vlak.
a. Bepaal die lengte van QR.
b. Bepaal die helling van PS.
c. Bepaal die middelpunt van PR.
d. Is PQRS [U+0149] parallelogram? Gee redes vir jou antwoord.
Kliek hier vir die oplossing 20
3. A(-2;3) en B(2;6) is punte in die Cartesiese-vlak. C(a;b) is die middelpunt van AB. Bereken die waardes
van a en b.
Kliek hier vir die oplossing 21
4. Beskou driehoek ABC met hoekpunte A (1; 3), B (4; 1) en C (6; 4):
a. Skets driehoek ABC in die Cartesiese vlak.
b. Wys dat ABC [U+0149] gelykbenige driehoek is.
c. Bepaal die koordinate van M, die middelpunt van AC.
d. Bepaal die helling van AB.
e. Wys dat die volgende punte saamlynig is: A, B en D(7;-l).
Kliek hier vir die oplossing 22
5. In die diagram is A die punt (-6;1) en B is die punt (0;3).
Image not finished
Figure 13.56
a. Wat is die vergelyking van die lyn AB?
b. Bereken die lengte van AB.
c. A' is die beeld van A en B' is die beeld van B. Beide hierdie beelde is verkry uit die transformasie:
(x;y)— *(x-4;y-l). Gee die koordinate van beide A' en B'.
d. Bepaal die vergelyking van A'B'.
e. Bereken die lengte van A'B'.
f. Kan jy met sekerheid bevestig dat AA'B'B [U+0149] parallelogram is? Regverdig jou antwoord.
Kliek hier vir die oplossing
19 http:// www.fhsst.org/la7
20 http:// www.fhsst.org/laY
2 1 http://www.fhsst.org/laq
22 http:// www.fhsst.org/la4
23 http:// www.fhsst.org/laf
.23
232 CHAPTER 13. MEETKUNDE
6. Die hoekpunte van driehoek PQR het koordinate soos in die diagram.
Image not finished
Figure 13.57
a. Gee die koordinate van P', Q' en R', die beelde van P, Q en R wanneer P, Q en R refiekteer word
in die lyn y=x.
b. Bepaal die area van driehoek PQR.
Kliek hier vir die oplossing 24
4 http://www.fhsst.org/laG
A
= E
B
= F
C
= G
D
= H
233
Solutions to Exercises in Chapter 13
Solution to Exercise 13.1 (p. 200)
Step 1. Daar word gevra om te bewys dat [U+0149] paar veelhoeke gelykvormig is. Ons kan dit doen deur te
bewys dat die verhouding van ooreenstemmende sye gelyk is en dat die ooreenstemmende hoeke ewe
groot is.
Step 2. Die hoeke en hul groottes word gegee, so ons kan bewys dat hulle ewe groot is.
Step 3. Al die hoeke is 90° groot en
(13.5)
Step 4. Eerstens moet ons kyk watter sye ooreenstem. Die reghoeke het twee lang sye wat gelyk is en twee
kort sye wat gelyk is. Ons moet die verhoudings van die lang sye van die twee reghoeke vergelyk en
ons moet die verhoudings van die kort sye vergelyk.
Lang sye, groot reghoek se waardes op die klein reghoek se waardes:
Verhouding = ^
8 L (13.6)
= 2
Kort sye, groot reghoek se waardes op die klein reghoek se waardes:
Verhouding = t^
= \ (13-7)
Die verhouding van die ooreenstemmende sye is gelyk, twee in hierdie geval.
Step 5. Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en die verhoudings van die ooreenstemmende sye is gelyk,
dus is die veelhoeke ABCD en EFGH gelykvormig.
Solution to Exercise 13.2 (p. 202)
Step 1. Daar word aan ons gegee dat ABODE en GHJKL gelykvormig is. Dit beteken dat:
(13.8)
AB
GH
BC
HJ
CD
JK
DE
KL
EA
LG
A
=
G
B
=
H
C
=
J
D
=
K
E
=
L
(13.9)
Step 2. Daar word gevra om te bepaal
234 CHAPTER 13. MEETKUNDE
a. a, b, c en d, en
b. e, / and g.
Step 3. Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en daar is dus geen berekening nodig nie. Daar word aan ons
[U+0149] paar sye DC en KJ gegee wat ooreenstemmend is. ^j = -£■ = 1,5 so ons weet dat al die
sye van KJHGL 1,5 keer kleiner is as die sylengtes van ABCDE.
Step 4.
(13.10)
Step 5.
§ = 1.5 •
o = 2xl,5 = 3
1^5 = 1.5 •
•. 6=1,5x1,5 = 2,25
§ = 1,5 .
C '
C = 6-rl,5 = 4
u 1,5 •
d = 2
e = 92°
(ooreenstemmend tot H)
/ = 120 c
' (ooreenstemmend tot D)
40° (ooreenstemmend tot E)
Step 6.
a
3
b
= 2,25
c
4
d
= 2
e
= 92°
f
= 120°
9
= 40°
Solution to Exercise 13.3 (p. 203)
Step 1. Ons maak die volgende skets en trek die diagonale.
(13.11)
(13.12)
235
B
Figure 13.58
Step 2. Gegee: AB || CD en AD || £>C. Ons moet bewys A = C en B = D. In formele wiskundetaal se ons
dat ons gevra word om te bewys (RTP= 'requested to prove'): BAD = BCAenABC = ADC.
Step 3.
B AC = A C D (verwisselende binnehoeke)
D AC = B C A (verwisselende binnehoeke)
BAD = BC A
Net so vind ons dat:
ABC=ADC
(13.13)
(13.14)
Solution to Exercise 13.4 (p. 203)
Step 1. Gegee: AB = CD, AD = BC, AB || CD, AD || BC, A=C, and B=D- Bewys MNOP is [U+0149]
parallelogram.
236 CHAPTER 13. MEETKUNDE
Step 2.
In [U+25B5] ADW and [U+25B5] CBY
DA W
B CY (gegee)
ADC
ABC (gegee)
AD (13.15)
BC (gegee)
.-. [U+25B5]ADW
[U+25B5] CBY (HHS)
.-. DW
BY
In [U+25B5] ABX and [U+25B5] CDZ
DC Z
B AX (gegee)
Z DC
X B A (gegee)
DC (13.16)
AB (gegee)
.-. [U+25B5]ABX
[U+25B5] CDZ (HHS)
.-. AX
cz
(13.17)
237
In [U+25B5] XAM and [U+25B5] ZCO
X AM
ZCO (gegee)
AX M
C Z (reeds bewys)
AX
CZ (reeds bewys)
.-. [U+25B5]XAM
[U+25B5] COZ (HHS)
:. AOC
AM X
A M X = P M N (regoorstaande hoeke)
COZ = N P (regoorstaande hoeke) (13.18)
P M N = NOP
238 CHAPTER 13. MEETKUNDE
In [U+25B5] BYN and [U+25B5] DWP
Y B N
W D P (gegee)
BYN
W D P (reeds bewys)
DW
BY (reeds bewys)
.-. [U+25B5]YBN
[U+25B5]WDP(AAS)
:. B NY
D PW
(13.19)
D P W = M P O (regoorstaande hoeke)
B N Y = N M (regoorstaande hoeke) (13.20)
.-. M P O = O N M
.". MNOP is [U+0149] parallelogram (beide pare teenoorstaande Z'e =, daarom is beide pare
teenoorstaande sye ook parallel)
Solution to Exercise 13.5 (p. 205)
Step 1. Ons moet eers vir BE, die loodregte hoogte van die parallelogram vind. Ons kan Pythagoras gebruik
om dit te doen:
BE 2 = AB 2 - AE 2
BE 2 = 5 2 -3 2 ,
2 (13-21)
BE 2 = 16
BE = 4
Step 2. Ons pas die formule vir die area van [U+0149] parallelogram toe om die berekening te doen:
Area = h x b
= 4x7 (13.22)
28
Solution to Exercise 13.6 (p. 208)
239
Step 1. Ons gebruik die formule vir die oppervlakarea van [U+0149] prisma:
S.A. = 2[2(L x b) + (bx h)]
= 2 [2 (3x4) + (3x4)] (13.23)
= 72 cm 2
Step 2. Om die volume van die prisma te bereken, vermenigvuldig ons die area van die basis met die hoogte:
V = I 2 xh
= (3 2 ) x 4 (13.24)
= 36 cm 3
Solution to Exercise 13.7 (p. 210)
Step 1. Die volume van die prisma word beskryf deur: V = L x b x h
Die oppervlakarea van die prisma word beskryf deur: A = 2 x (Lxb + Lxh + bxh)
Step 2. As al die sye van die prisma eweredig (dus, in dieselfde verhouding) verander sal die nuwe sye as volg
beskryf kan word:
L' = xx L
b' = xxb (13.25)
h = x xh
Die nuwe volume word beskryf deur:
(13.26)
V = L xb xh
= xxLxxxbxxxh
= x 3 x L x b x h
= x 3 x V
Die nuwe oppervlakarea van die prisma word beskryf deur:
A' = 2 x (£,' x b' + L' x h' + b' x h)
= 2x(xxLxxxb + xxLxxxh + xxbxxxh)
y ' (13.27)
= x 2 x2x (Lxb + Lxh+bxh)
= x 2 x A
Step 3. a. Ons vind hierbo dat die nuwe volume beskryf word deur: V' = x 3 x V. Waar x > 1, sal die volume
van die prisma vermeerder met die faktor van x 3 . Die oppervlakarea van die veranderde prisma
word beskryf deur: A' = x 2 x A. Weereens, omdat x > 1, sal die oppervlakarea vergroot met
[U+0149] faktor van x 2 . Oppervlakareas wat tweedimensioneel is, vermeerder met die kwadraat
van die faktor maar driedimensionele volumes vermeerder met die derde mag van die faktor.
b. Die antwoord hier is gebaseer op dieselfde idee as wat hierbo beskryf word. Waar < x < 1 sal
die volume verminder met [U+0149] faktor van x 3 en die oppervlakarea sal met verminder met
[U+0149] faktor van x 2
Solution to Exercise 13.8 (p. 211)
240 CHAPTER 13. MEETKUNDE
241
Step 1.
Figure 13.59
242 CHAPTER 13. MEETKUNDE
Step 2. Die kegel het twee vlakke: die basis en die wand. Die basis is [U+0149] sirkel met radius r en die wand
kan ontvou word tot [U+0149] sektor van [U+0149] sirkel.
243
= circumference
Figure 13.60
244 CHAPTER 13. MEETKUNDE
Die geboe vlak kan opgesny word in [U+0149] klomp smal driehoekies waarvan die hoogte, wat byna
gelyk is aan a, die skuinshoogte genoem word. Die som van die areas van hierdie driehoekies is
|x basis x hoogte (van [U+0149] klein driehoekie) = ^x 2irr x a = irra
Step 3. a kan bereken word met die Stelling van Pythagoras. Dus:
a = \Jr 2 + h 2 (13.28)
Step 4.
A b = irr 2 (13.29)
(13.30)
Step 5.
Trra
irr\/r 2 + h 2
Step 6.
7rr 2 + irr\/r 2 + h 2
(13.31)
Solution to Exercise 13.9 (p. 212)
Step 1. Die volume van [U+0149] piramide is
V=-A»h (13.32)
o
waar A die area van die basis en h die hoogte van die piramide is. Vir [U+0149] vierkantige basis
beteken dit
V=-a»a»h (13.33)
waar a die sylengte van die vierkantige basas is.
Step 2.
= | • 2 »2«3
| • 12 (13.34)
= Acm 3
Solution to Exercise 13.10 (p. 214)
Step 1. Ons gebruik die formule vir die volume van [U+0149] reghoekige prisma:
2
V = \bK
1oH/1o2
2042 2 (13.35)
2
17640
Step 2. Ons gebruik die formule vir die volume van [U+0149] driehoekige piramide:
V = \bh 2
6
= |2042 2 (13.36)
= 5880
Step 3. Ons sien dat ons doodeenvoudig die volumes van elk van die twee soliede liggame kan bymekaartel.
Dan kry ons: 17640 + 5880 = 23520. Dit is die antwoord van a.
245
Step 4. Ons sien daar is vier driehoeke wat die piramide uitmaak. Dus die area van elke vlak is:
Area = |6/i
= ±2042 (13.37)
420
Dit is die antwoord van vraag b.
Step 5. Die totale area is 4 x 420 = 1680
Step 6. Die oppervlakarea van die prisma is:
Oppervlakarea = bxh + 2xHxS+Hxb
= 20x20 + 2x12x20+12x20 (13.38)
= 1120
Step 7. Om die totale oppervlakarea te bereken, moet ons die area van een vlak (die basis) van die piramide
aftrek van die oppervlakarea van die prisma. Dit gee die totale oppervlakarea as: 1120 — 420 + 1680 —
420 = 1960 Dit is die antwoord van vraag c.
Solution to Exercise 13.11 (p. 223)
Step 1. Ons het die koordinate (5;10) van punt P en moet die koordinate van die refleksie van die punt in die
a;- as kry.
Step 2. Die punt P is bo die z-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand onder die a;-as wees. Daarom is
y=-W.
Vir [U+0149] refleksie in die x-as, bly die x-koordinaat onveranderd. Daarom is x=5.
Step 3. Die koordinate van die gereflekteerde punt is (5;-10).
Solution to Exercise 13.12 (p. 224)
Step 1. Ons het punt Q (15;5) en moet die koordinate van die refleksie daarvan in die y-as kry.
Step 2. Die punt Q regs van die y-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand links van die y-as wees as wat
dit regs van die y-as is. Daarom is £=-15.
Vir [U+0149] refleksie in die y-as, bly die y koordinaat onveranderd. Daarom is y=5.
Step 3. Die koordinate van die gereflekteerde punt is (-15;5).
Solution to Exercise 13.13 (p. 226)
Step 1. Ons het punt R (-5;5) en moet die refleksie daarvan in die lyn y = x bepaal.
Step 2. Die x-koordinaat van die gereflekteerde punt is die y-koordinaat van die oorspronklike punt. Daarom
is x=5.
Die y-koordinaat van die gereflekteerde punt is die x-koordinaat van die oorspronklike punt. Daarom
is y=-5.
Step 3. Die koordinate van die reflekteerde punt is (5;-5).
246 CHAPTER 13. MEETKUNDE
Chapter 14
Trigonometrie
14.1 Inleiding en kernbegrippe 1
14.1.1 Inleiding
In meetkunde leer cms wat die verwantskap tussen die sye en hoeke van veelhoeke is, maar nie hoe om 'n hoek
te bereken as ons die lengtes van die sye weet nie. Trigonometrie handel oor die verwantskap tussen die hoeke
en die sye van 'n reghoekige driehoek. Ons gaan leer oor trigonometriese funksies (driehoeksmetingfunksies),
wat die grondslag van trigonometrie vorm.
14.1.1.1 Ondersoek: Die Geskiedenis van Trigonometrie
Werk in pare of groepe en ondersoek die geskiedenis van die grondslag van trigonometrie. Beskryf die
verskillende stadia van ontwikkeling en hoe die onderstaande kulture trigonometrie gebruik het om hulle
lewens te verbeter.
Die werk van die volgende mense of kulture kan ondersoek word:
1. Kulture
a. Antieke Egiptenare
b. Mesopotamiers
c. Antieke Indiers van die Indusvallei
2. Mense
a. Lagadha (ongeveer 1350-1200 VC)
b. Hipparchus (ongeveer 150 BC)
c. Ptolemy (ongeveer 100)
d. Aryabhata (ongeveer 499)
e. Omar Khayyam (1048-1131)
f. Bhaskara (ongeveer 1150)
g. Nasir al-Din (13de eeu)
h. al-Kashi and Ulugh Beg (14de eeu)
i. Bartholemaeus Pitiscus (1595)
note: Jy behoort uit meetkunde bekend te wees met die idee om hoeke te meet, maar het jy al
ooit gewonder hoekom daar 360 grade in 'n sirkel is? Die rede is suiwer geskiedkundig. Daar is 360
grade in 'n sirkel omdat die antieke Babiloniers 'n getallestelsel met grondtal (basis) 60 gehad het.
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39712/l.l/>.
247
248 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
'n Grondtal is die basisgetal waarby jy nog 'n syfer byvoeg wanneer jy tel. Die getallestelsel wat
ons daagliks gebruik word die desimale stelsel genoem (die grondtal is 10), maar rekenaars gebruik
die binere sisteem (die grondtal is 2). 360 = 6 x 60. Dus het dit vir hulle sin gemaak om 360 grade
in 'n sirkel te he\
14.1.2 Die Gebruik van Trigonometric
Daar is baie toepassings van trigonometrie. Die tegniek van triangulering, wat in sterrekunde gebruik word
om die afstand na nabygelee sterre te meet, is van besondere waarde in geografie om die afstand tussen
landmerke te meet. Satellietnavigasiestelsels soos GPS (globale posisionering stelsel) sou nie moontlik ge-
wees het sonder trigonometrie nie. Ander velde wat gebruik maak van trigonometrie sluit in sterrekunde
(en by implikasie navigasie op die oseane, in vliegtuie en in die ruimte), musiek teorie, akoestiek, optika,
ontleding van finansiele markte, elektronika, waarskynlikheidsteorie, statistiek, biologie, mediese beeldvorm-
ing (CAT-skanderings en ultraklank), farmakologie, chemie, getalleteorie (en dus kriptologie) , seismolo-
gie, meteorologie, oseanografie, verskeie fisiese wetenskappe, landmeting en geodesie, argitektuur, fonetiek,
ekonomie, elektriese ingenieurswese, meganiese ingenieurswese, siviele ingenieurswese, rekenaargrafika, kar-
tografie, kristallografie en spelontwikkeling.
14.1.2.1 Bespreking: Gebruike van Trigonometrie
Kies een van die gebruike van trigonometrie uit die gegewe lys en skryf 'n 1-bladsy verslag wat beskryf hoe
trigonometrie in jou gekose veld gebruik word.
14.1.3 Gelykvormigheid van Driehoeke
As [U+25B5] ABC gelykvormig is aan [U+25B5] DEF skryf ons dit as volg:
[U+25B5]ABC|||[U+25B5]D£;^ (14.1)
Image not finished
Figure 14.1
Dan is dit moontlik om die verhoudings tussen ooreenstemmende sye van die twee driehoeke af te lei:
(14.2)
AB
BC ~
DE
EF
AB
AC
DE
DF
AC
BC ~
DF
EF
AB
DE ~
BC
BI-
AC
: ~ DF
Die belangrikste feit omtrent gelykvormige driehoeke ABC and DEF is dat die hoek by punt A geyk is aan
die hoek by punt D, die hoek by B is gelyk aan die hoek by E, en die hoek by C is gelyk aan die hoek by F.
(14.3)
ZA =
= ZD
ZB =
= ZE
ZC =
= ZF
249
14.1.3.1 Ondersoek: Verhoudings tussen Gelykvormige Driehoeke
In jou oefeningboek, teken drie gelykvormiige driehoeke van verskillende groottes, maar elkeen met
A"=30°;B~=90° and C~=60°. Meet die hoeke en lengtes van die driehoeke baie akkuraat om die tabel
hieronder te voltooi (rond antwoorde af tot een desimale plek).
Image not finished
Figure 14.2
Verdeling van die lengtes van sye (Verhoudings)
AB
BC ~~
AB
AC ~
CB
AC ~
A'B'
B'C ~
A'B'
A'C ~~
CB'
A'C ~
A"B"
B"C"
A" B"
A"C"
c"b"
A"C" ~~
Table 14.1
Watter waarnemings kan jy oor die verhoudings van die sye maak?
Hierdie gelyke verhoudings word gebruik om die trigonometriese funksies te definieer.
Let wel: In algebra gebruik ons dikwels die letter x vir die onbekende veranderlike (alhoewel ons enige
ander letter kan gebruik, soos a, b, k, ens). In trigonometrie gebruik ons dikwels die Griekse simbool vir
'n onbekende hoek (ons kan ook a , (3 , 7 etc gebruik).
14.2 Die trig funksies en 2D probleme 2
14.2.1 Definisies van die Trigonometriese Funksies
Ons is bekend met funksies in die vorm / (x), waar / die funksie en x die veranderlike is. Byvoorbeeld:
(14.4)
/ (x) = 2 X (eksponensiele funksie)
g (x) = +2 (lineere funksie)
h (x) = 2x 2 (paraboliese funksie)
Die basis van trigonometrie is die trigonometriese funksies. Daar is drie basiese trigonometriese funksies:
1. sinus
2. cosinus
3. tangens
Dit word afgekort na:
1. sin
2. cos
2 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39728/l.l/>.
250 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
3. tan
Hierdie funksies word gedefinieer vanaf 'n reghoekige driehoek, 'n driehoek waar een interne hoek 90° is.
Beskou 'n reghoekige driehoek.
Image not finished
Figure 14.3
In die reghoekige driehoek verwys ons na die lengtes van die drie sye volgens hulle geplasing in verhouding
tot die hoek 9. Die teenoorstaande sy vanaf die regte hoek word die skuinssy genoem, die sy aan die oorkant
van 9 word die teenoorstande sy genoem, en die sy langs 9 word die aangrensende sy genoem. Let daarop dat
die keuse van 'n nie-90-graad binnehoek arbitrer is. Jy kan enige binnehoek kies en dan die aangrensende en
teenoorgestelde sye dienooreenkomstig defmieer. Die skuinssy bly egter dieselfde ongeag na watter interne
hoek jy verwys.
Ons defmieer die trigonometriese funksies as volg:
sin9
teenoorstaande
skuinssy
cos9 = aa " grcnscnd (14.5)
skuinssy v '
tnnfi teenoorstaande
aangrensend
Hierdie funksies gee die verwantskap tussuen die sylengtes en die binnehoeke van 'n reghoekige driehoek.
note: Die trigonometriese verhoudings is onafhanklik van die lengte van die driehoek se sye en is
slegs afhanklik van die hoeke. Dit is waarom ons die verhoudings as funksies van die hoeke kan
beskou.
Een manier om die definisies te memoriseer is om die volgende Engelse geheuehulpmiddel te gebruik wat dit
miskien makliker maak om te onthou:
Silly Old Hens
Cackle And Howl
Till Old Age
Sin
Opposite
Hypotenuse
COS:
Adjacent
Hypotenuse
Tan = °PP° sitc
Adjacent
Table 14.2
Jy mag ook hoor mense se Soh Cah Toa. Dit is net 'n ander manier om die trigonometriese funksies te
onthou.
tip: Die definisies van teenoorstaande, aangrensende en skuinssye is slegs van toepassing wanneer
jy besig is met 'n reghoekige driehoeke! Maak altyd seker jou driehoek het 'n regte hoek voordat
jy dit gebruik, anders sal jy die verkeerde antwoord kry. Ons sal in Graad 11 maniere vind om met
ons kennis van reghoekige driehoeke die trigonometrie van nie-reghoekige driehoeke te hanteer.
251
14.2.1.1 Ondersoek: Definisies van Trigonometriese Funksies
1. In elk van die volgende driehoeke, se watter van a, b en c die skuinssy, die teenoorstaande sy en die
aangrensende sy van die driehoek is met betrekking tot die gemerkte hoek.
Image notjtnished
Figure 14.4
2. Voltooi elk van die volgende. Die eerste een is vir jou gedoen:
Image notjtnished
Figure 14.5
• » __ teenoorstaande sy _ CB
skuinssy AC
b cos A = ( 14 - 6 )
c tan A =
d sin C=
e cos C=
f tan C=
3. Voltooi elk van die volgende sonder 'n sakrekenaar:
Image notjtnished
Figure 14.6
(14.7)
sin60 =
cos30 = (14i
tanGO =
252
CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
Image not finished
Figure 14.7
sinAh
cosAb
tanAb
(14.9)
Vir die meeste hoeke is dit baie moeilik om die waardes van sinO, cosO en tanO te bereken. 'n Mens moet
gewoonlik 'n sakrekenaar gebruik om dit te doen. Ons het egter in die bogenoemde aktiwiteit gesien ons kan
hierdie waardes vir 'n paar spesiale hoeke uitwerk. Sommige van hierdie hoeke is gelys in die tabel hieronder,
saam met die waardes van die trigonometriese funksies van hierdie hoeke. Onthou dat die lengtes van die sye
van 'n reghoekige driehoek Pythagoras se stelling moet gehoorsaam. Die vierkant van die skuinssy (oorkant
die 90 grade hoek) is gelyk aan die som van die vierkante van die ander twee sye.
0°
30°
45°
60°
90°
180°
cosO
1
V3
2
1
V2
l
2
-1
sin8
1
2
1
^/2
V3
2
1
tanO
1
73
1
V3
-
Table 14.3
Hierdie waardes is nuttig om 'n probleem waar trigonometriese funksies betrokke is op te los sonder om
'n sakrekenaar te gebruik.
Exercise 14.1: Die berekening van lengtes (Solution on p. 272.)
Kry die lengte van x in die volgende driehoek.
Image not finished
Figure 14.8
Exercise 14.2: Die berekening van hoeke
Vind die waarde van 8 in die volgende driehoek.
(Solution on p. 272.)
Image not finished
Figure 14.9
253
14.2.1.2
In die vorige voorbeeld het cms tan -1 gebruik. Dit is eenvoudig die inverse van die tan-funksie. Sin en cos
het ook inverses. Al wat dit beteken, is dat ons die hoek wil vind wat die uitdrukking waar maak.
Die volgende video gee 'n opsomming van wat jy tot dusver geleer het.
Khan Akademie video oor trigonometrie - 1
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/F21S9Wpi0y8&rel=0>
Figure 14.10
Khan Akademie video oor trigonometrie - 2
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/QS4r_mqs-rY&rel=0>
Figure 14.11
14.2.1.3 Hoe om Sylengtes te kry
Kry die lengtes van die sye wat met letters gemerk is. Gee die antwoorde korrek tot 2 desimale plekke.
Image notjtnished
Figure 14.12
Image notjtnished
Figure 14.13
Kliek hier vir die oplossing. 3
14.2.2 Twee-dimensionele Probleme
Ons kan die trigonometriese funksies gebruik om probleme in twee dimensies wat reghoekige driehoeke
bevat, op te los. As jy byvoorbeeld een van die hoeke van 'n vierhoek wil kry, kan jy 'n reghoekige driehoek
i http://www.fhsst.org/lcl
254 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
konstrueer en die trigonometriese funksies gebruik om die hoek te bereken. Dit sal duideliker word namate
jy deur die voorbeelde werk.
Exercise 14.3 (Solution on p. 272.)
ABCD is 'n trapesium met AB = 4cm, CD = 6cm, BC = 5cm en AD = 5cm. Punt E op die
diagonaal AC verdeel die diagonaal sodat AE = 3cm. Kry ABC.
14.3 Die trig funksies vir enige hoek en toepassings 4
14.3.1 Die Trigonometriese Funksies vir Enige Hoek
Tot dusver het ons die trigonometriese funksies gedefmieer deur gebruik te maak van reghoekige driehoeke.
Ons kan nou hierdie defmisies uitbrei na alle hoeke. Ons kry dit reg deur daarop te let dat die defmisies nie
afhanklik is van die lengtes van die sye van die driehoek nie, maar slegs bepaal word deur die hoekgootte.
So, as ons enige punt op die Cartesiese vlak merk en 'n lyn trek vanaf daardie punt na die oorsprong, kan ons
werk met die hoek tussen daardie lyn en die x-as. In Figure 14.14 is punte P en Q gemerk. 'n Lyn is getrek
vanaf die oorsprong na elk van die punte. Die stippellyne toon hoe ons reghoekige driehoeke kan konstureer
vir elke punt. Nou kan ons hoeke A en B vind.
Image not finished
Figure 14.14
Jy sal vind hoek A is 63,43°. Vir hoek B, moet jy eers vir x = 33,69° bereken en dan is B = 180° —
33,69° = 146,31°. Maar, gestel ons dit wil doen sonder om hierdie hoeke uit te werk en vas te stel of
ons 180 grade of 90 grade moet bytel of aftrek? Kan ons trigonometriese funksies gebruik om dit te doen?
Beskou punt P in Figure 14.14. Om die hoek te vind, sou jy een van die trigonometriese funksies gebruik
het, naamlik tan 9. Let op, die sy wat aangrensend is aan die hoek, is die x-koordinaat en die sy teenoor die
hoek is die y-koordinaat. Maar wat van die skuinssy? Ons kan dit vind deur die Stelling van Pythagoras
te gebruik aangesien ons die twee reghoeksye van 'n reghoekige driehoek het. As ons 'n sirkel trek met die
oorsprong as middelpunt, dan is die lengte vanaf die oorsprong na punt P die radius van die sirkel, wat ons
aandui met r. Nou kan ons al ons trigonometriese verhoudings herskryf in terme van x, y en r. Maar hoe
help dit ons om B te kry? Vanaf punt Q na die oorsprong is r en ons het die koordinate van Q. Ons gebruik
nou eenvoudig ons nuut-gedefmieerde trigonometriese funksies om B te bereken! (Probeer dit self en bevestig
dat jy dieselfde antwoord kry as vantevore). Wanneer ons anti-kloksgewys om die oorsprong beweeg, is die
hoeke positief en wanneer ons kloksgewys draai in die Cartesiese vlak, is die hoeke negatief.
Ons kry dus die volgende defmisies vir die trigonometriese funksies:
sinO
tan6
(14.10)
Gestel die x-koordinaat of die y-koordinaat is negatief. Ignoreer ons dit, of is daar 'n manier om dit in
berekening te bring? Die antwoord is dat ons dit nie ignoreer nie: Die teken voor die x- of y-koordinaat
bepaal of sin, cos en tan positief of negatief is. Die Cartesiese vlak is verdeel in kwadrante en ons gebruik
4 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39725/l.l/>.
255
dan Figure 14.15 om vir cms aan te dui of die trigonometriese funksie positief of negatief is. Die diagram
staan bekend as die CAST diagram.
Image notjtnished
Figure 14.15
Op dieselfde wyse kan ons die definisies uitbrei na die resiprookfunksies:
ec6
COS
seed = L (14-11)
cote = |
Exercise 14.4: Die Berekening van hoeke (Solution on p. 273.)
Punt R(-l;-3) en punt S(3;-3) is aangedui op die diagram hieronder. Vind die hoeke a en (3.
256
CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
Figure 14.16
note: Let op dat in die uitgewerkte voorbeeld hierbo, hoek a eenvoudig die hoek is wat lyn OS
maak met die x-as. Dus kan cms trigonometrie gebruik om te bereken watter hoek 'n lyn maak met
die x- of y-as.
14.3.2 Die Oplossing van Eenvoudige Trigonometriese Vergelykings
Deur te gebruik wat ons geleer het omtrent trigonometriese funksies, kan ons nou eenvoudige trigonometriese
vergelykings oplos. Ons gebruik ook die beginsels van Equations and Inequalities 5 om ons te help om
trigonometriese vergelykings op te los.
note: Die is belangrik om daarop te let dat 2sin0 / sin (28). Met ander woorde, om die verhouding
te verdubbel (met 2 te vermenigvuldig) het 'n ander betekenis as om die hoek te verdubbel.
"Equations and Inequalities - Grade 10 [CAPS]" <http://siyavula.cnx.org/content/m38372/latest/>
257
Exercise 14.5 (Solution on p. 274.)
Los die volgende trigonometriese vergeyking op: 3cos (2x + 38°) + 3 = 2
aside: In grade 11 en 12, sal jy meer leer oor die oplos van trigonometriese vergelykings.
14,3.3 Eenvoudige Toepassings van Trigonometriese Funksies
Trigonometrie is waarskynlik in antieke beskawings uitgevind om praktiese probleme, byvoorbeeld in die
bou- en konstruksiebedryf, asook navigasie met behulp van sterre, op te los. In hierdie afdeling sal ons wys
hoe trigonometrie gebruik kan word om 'n paar ander praktiese probleme op te los.
14.3.3.1 Hoogte en Diepte
Image not finished
Figure 14.17: Bepaling van die hoogte van 'n gebou deur trigonometrie te gebruik
'n Eenvoudige taak is om die hoogte van 'n gebou te vind met behulp van trigonometrie. Ons sou net 'n
maatband van die dak kon laat sak, maar dit is onprakties (en gevaarlik) by hoe geboue. Dit is baie meer
sinvol om 'n afstand op die grond te meet en trigonometrie te gebruik om die hoogte van die gebou te vind.
Figure 14.17 toon 'n gebou waarvan ons nie die hoogte weet nie. Ons het 100 m weg van die gebou gestap
en die hoek van die grond tot by die top van die gebou gemeet . Hierdie hoek is 38,7°. Ons noem hierdie
hoek die hoogtehoek. Soos jy kan sien van Figure 14.17, het ons nou 'n reghoekige driehoek. Omdat ons
weet wat die lengte van een sy en 'n hoek is, kan ons die hoogte van die driehoek bereken, wat die hoogte
van die gebou is wat ons probeer vind.
As ons kyk na die figuur, sien ons dat ons met die teenoorstaande en die aangrensende sy van die
hoogtehoek werk en ons kan skryf:
(14.12)
Exercise 14.6: Hoogte van die toring (Solution on p. 274.)
'n Blok woonstelle is 100m weg van 'n selfoontoring. Iemand staan by B. Hulle meet die hoek van
B na die bopunt van die toring E en dit is 62 °. Dit is die hoogtehoek. Dan meet hulle die hoek
van B af na die basis van die toring C en dit is 34°. Dit is die dieptehoek. Wat is die hoogte van
die selfoontoring korrek tot 1 desimale plek?
n38, 7°
=
teenoorstaande
aangrensend
hoogte
100 m
hoogte
=
100 m x tan38,7'
=
80 m
258 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
Image not finished
Figure 14.18
14.3.3.2 Kaarte en planne
Kaarte en planne is gewoonlik skaaltekeninge. Dit beteken hulle is 'n presiese kopie van die regte ding, maar
gewoonlik kleiner. Dus word net lengtes verander, maar al die hoeke is dieselfde. Ons kan dus hierdie idee
gebruik om kaarte en planne te gebruik deur inligting van die werklike wereld by te voeg.
Exercise 14.7: Skaaltekeninge (Solution on p. 275.)
'n Skip op pad na die Kaapstadhawe bereik punt A op die kaart, reg suid van Pretoria en reg oos
van Kaapstad. As die afstand vanaf Kaapstad na Pretoria 1000km is, gebruik trigonometrie om uit
te vind hoe ver oos die skip van Kaapstad is, en vind op hierdie manier die skaal van die kaart.
Image not finished
Figure 14.19
Exercise 14.8: Bouplan (Solution on p. 275.)
Mnr Nkosi het 'n motorhuis by sy huis, en hy besluit hy wil 'n sinkdak aan die kant van sy
motorhuis aanlas. Die motorhuis is 4m hoog, en die plaat vir die dak is 5m lank. As hy die dak
teen 'n hoek van 5° wil he, hoe hoog moet hy die muur, BD, wat die dak ophou, bou? Gee die
antwoord tot 2 desimale plekke.
Image not finished
Figure 14.20
14.3.3.2.1 Toepassings van Trigonometriese Funksies
1. 'n Seun vlieg 'n vlieer en staan 30 m van 'n punt direk onder die vlieer. As die tou van die vlieer 50 m
lank is, bepaal die hoogtehoek van die vlieer.
Kliek hier vir die oplossing. 6
2. Wat is die hoogtehoek van die son as 'n boom van 7,15 m hoog 'n skadu van 10,1 m lank gooi?
Kliek hier vir die oplossing. 7
6 http:// www.fhsst.org/lcY
7 http:// www.fhsst.org/lcr
259
14.4 Grafieke van die trig funksies 8
14.4.1 Grafieke van Trigonometriese Funksies
Hierdie afdeling beskryf die grafieke van trigonometriese funksies.
14.4.1.1 Grafiek van sinO
14.4.1.1.1 Grafiek van sinO
Volgooi die volgende tabel en gebruik jou sakrekenaar om die waardes te bereken. Stip dan die waardes
metsinO op die y-as en 6 op die cc-as. Rond die antwoorde af tot 1 desimale plek.
e
0°
30°
60°
90°
120°
150°
sind
e
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
sind
Image not finished
Figure 14.21
Table 14.4
Laat ons terugkyk na ons waardes vir sinO
e
0°
30°
45°
60°
90°
180°
sinO
l
2
l
V2
V3
2
1
Table 14.5
Soos jy kan sien, die funksie sin9 het 'n waarde van by 9 = 0°. Sy waarde neem egalig toe tot by
= 90° wanneer sy waarde 1 is. Ons weet ook dat dit later afneem na as 6 = 180°. Deur dit alles
bymekaar te sit, kan ons 'n idee kry van die voile omvang van die sinuskurwe. Die sinuskurwe word gewys
in Figure 14.22. Let op die kurwe se vorm, waar elke kurwe die lengte het van 360°. Ons se die grafiek het
'n periode van 360°. Die hoogte van die kurwe bo (of onder) die a;-as word die kurwe se amplitude genoem.
Dus is die amplitude van die sinuskurwe is 1.
s This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39729/l.l/>.
260 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
Image not finished
Figure 14.22: Die grafiek van y = sinO
14.4.1.2 Funksies in die vorm y = asin (x) + q
In die vergelyking, y = asin (x) + q, a en q is konstantes en het verskillende invloede op die grafiek van die
funksie. Die algemene vorm van hierdie grafiek word gewys in Figure 14.23 vir die funksie/ (0) = 2sin9 + 3.
Image not finished
Figure 14.23: Grafiek van / (0) = 2sin6 + 3
14.4.1.2.1 Funksies van die vorm y = asin (6) + q :
1. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
a. a (0) = sinO — 2
b. b{6) = sinO- 1
c. c(0) = sinO
d. d{6) = sinO + 1
e. e (0) = sine + 2
Gebruik jou resultate om die invloed van q af te lei.
2. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
a. f{9) = -2- sine
b. g(9) = -1 -sine
c. h(9) = 0- sine
d. j (0) = 1 • sin9
e. fc(0) = 2 -sine
Gebruik jou resultate om die invloed van a af te lei.
Dis duidelik dat q 'n vertikale verskuiwing teweegbring. As q = 2, sal die hele sinusgrafiek 2 eenhede opskuif.
As q = — 1, suif die hele grafiek 1 eenheid af.
Hierdie eienskappe word opgesom in Table 14.6.
Jy behoort te vind dat die waarde van o die hoogte van die pieke van die grafiek bei'nvloed. As die
grootte van a toeneem, word die pieke hoer. As dit afneem, word die pieke laer.
261
a >
q>
Image not jfinished
Figure 14.24
q <
Image not^/inisfted
Figure 14.26
Table 14.6: Tabel wat die algemene vorms en posisies van grafieke en funksies in die vorm y = asin (x) + q
opsom
14.4.1.2.2 Gebied en Terrein
Vir / (9) = asin (6) + q, is die gebied {9 : e K} omdat daar geen waarde is van 9€ I waarvoor / (9)
ongedefinieerd is nie.
Die terrein van / (9) = asin9 + q hang daarvan af of die waarde vir a positief of negatief is. Ons sal die
twee gevalle afsonderlik oorweeg.
As a > we have:
— 1 < sinO < 1—a < asinO < a {Verrnenigvuldigingrnet J npositiewegetalhandhaafld^)iardvandieon
a + q < asinO + q < a + q — a + q < / (9) < a + q
Dit vertel ons dat vir alle waardes van 9, f (9) altyd tussen -a + gen a + q is. Daarom as a > 0, is die
terrein van / (9) = asin9 + q dus {/ (9) : f (9) G [—a + q, a + q}}.
Insgelyks, daar kan getoon word dat as a < 0, dan is die terrein van / (9) = asin9 + q is {/ (9) : f (9) €
[a + q, —a + q}}. Dit word as 'n oefening gelaat.
tip: Die maklikste manier om die terrein te bepaal is om bloot vir die "bokant" en die "onderkant"
van die grafiek te soek.
262
CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
14.4.1.2.3 Snypunte
Die y-snypunt, y in4 , van / (6) = asin (x) + q is eenvoudig die waarde van / (9) by 9 = 0.
Vint
/(o°)
asin(0°) + q
a(0) + q
Q
(14.14)
14.4.1.3 Grafiek van cos9
14.4.1.3.1 Grafiek van cos9 :
Voltooi die volgende tabel, gebruik jou sakrekenaar om die waardes korrek tot 1 desimale plek te bereken.
Stip dan die waardes met cos9 op die y-as en 9 op die a;-as.
9
0°
30°
60°
90°
120°
150°
cos9
9
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
cos9
Image not finished
Figure 14.28
Table 14.7
Laat ons terugkyk na ons waardes vir cos9.
9
0°
30°
45°
60°
90°
180°
cos9
1
V3
2
l
l
2
-1
Table 14.8
As jy noukeurig kyk, sal jy oplet dat die cosinus van 'n hoek 9 dieselfde is as die sinus van die hoek
(90° - 9). Neem byvoorbeeld,
cos60° = - = sm30° = sin (90° - 60°)
(14.15)
Dit wys ons dat ten einde 'n cosinusgrafiek te skep, al wat ons hoef te doen is om die sinusgrafiek 90° na
links te skuif. die grafiek van cos9 word gewys in Figure 14.29. As die cosinusgrafiek eenvoudig 'n geskuifde
sinusgrafiek is, sal dit dieselfde periode en amplitude as die sinuskurwe hS.
263
Image not finished
Figure 14.29: Grafiek van cosQ
14.4.1.4 Funksies in die vorm y = acos (x) + q
In die vergelyking, y = acos (x) + q. a and q is konstantes en het verskillende invloede op die grafiek van die
funksie. Die algemene vorm van die grafieke van hierdie soort funksies word getoon in Figure 14.30 vir die
funksie / (0) = 2cosd + 3.
Image not finished
Figure 14.30: Grafiek van / (0) = 2cos8 + 3
14.4.1.4.1 Funksies van die vorm y = acos (6) + q :
1. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
a. a (0) = cos9 - 2
b. 6(0) = cosO- 1
c. c{9) = cosO
d. d{6) = cos0+l
e. e (0) = cosd + 2
Gebruik jou resultate om die invloed van q af te lei.
2. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
a. /(0) = -2-cos0
b. 3(0) = -1 -cosd
c. h (0) = • cosO
d. j (0) = 1 • cosO
e. k (0) = 2 • cos0
Gebruik jou resultate om die invloed van a af te lei.
Ons vind dat die waarde van a die amplitude van die cosinusgrafiek op dieselfde manier bei'nvloed as wat
dit vir die sinusgrafiek gedoen het.
Verandering in die waarde van q sal die die cosinusgrafiek op dieselfde manier skuif as wat dit vir die
sinusgrafiek gedoen het.
Die verskillende eienskappe word opgesom in Table 14.9.
264
CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
a >
q>0
Image notjinished
Figure 14.31
q<0
Image notjinished
Figure 14.33
Table 14.9: Tabel wat die algemene vorms en posisies van grafieke en funksies in die vorm y = acos (x) + q
opsom
14.4.1.4.2 Gebied en Terrein
Vir / (9) = acos (9) + q, is die gebied {0 : e M} want daar is geen waarde van 6 S M. waarvoor / (#)
ongedefinieerd is nie.
Dit is maklik om te sien dat die terrein van / (0) dieselfde sal wees as die terrein van asin (0) + q. Dit is
omdat die maksimum en minimumwaardes van acos (8)+q dieselfde is as die maksimum en minimumwaardes
van asin (0) + q.
\4A.\A.Z Snypunte
Die y-afsnit van / (8) = acos (x) + q word bereken op dieselfde wyse as vir sinus.
Vint = /(0°)
= acos(0°) + q
a(l) + q
= a + q
(14.16)
265
14.4.1.5 Vergelyking van die Grafleke van sinO en cost
Image not finished
Figure 14.35: Die grafiek van cos9 (soliede lyn) en die grafiek van sinO (stippellyn)
Let daarop dat die twee grafieke baie eenders lyk. Beide ossilleer op en af rondom die x-ss soos wat jy
beweeg langs die as. Die afstande tussen die pieke van die twee grafieke is dieselfde en is konstant vir elke
grafiek. Die hoogte van elke piek en die diepte van elke trog is dieselfde.
Die enigste verskil is dat die smgrafiek skuif 'n bietjie na regs ten opsigte van die cos grafiek, met 90°.
Dit beteken dat as ons die hele cosgrafiek 90° na regs skuif, sal dit perfek oorvleul met die sin grafiek. Jy
kan ook die sin grafiek 90 ° na links skuif en dan sal dit perfek oorvleul met die cos grafiek. Dit beteken
dat:
sinO = cos (9 — 90) (skuif diecosgrafiek na die regterkant)
cos8 = sin (6 + 90) (skuif diesmgrafiek na die linkerkant)
(14.17)
14.4.1.6 Grafiek van tan6
14.4.1.6.1 Grafiek van tan6
Voltooi die volgende tabel, gebruik jou sakrekenaar en bereken die waardes korrek tot 1 desimale plek. Stip
dan die waardes met tanO op die y-as en op die x-as.
e
0°
30°
60°
90°
120°
150°
tanO
e
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
tanO
Image not finished
Figure 14.36
Table 14.10
Kom ons kyk weer na ons waardes vir tanO.
266
CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
e
0°
30°
45°
60°
90°
180°
tand
l
1
V3
00
Table 14.11
Nou dat ons die grafieke het vir sind en cosO, is daar 'n maklike manier om die tan-grafiek te visualiseer.
Kom ons kyk weer na ons definisies van sinO en cos8 vir 'n reghoekige driehoek.
sind
tccnoorstaandc
skuinssy
teenoorstaande
cosO
aangrcnscnd
skuinssy
aangrensend
tanO
(14.18)
Dit is die eerste van 'n stel belangrike verbande wat ons trigonometriese identiteite noem. 'n Identiteit is
waar vir enige waarde van die onbekende(s) wat daarin ingestel word. In hierdie geval het ons aangetoon
dat
tand
sinO
(14.19)
vir enige waarde van 6.
Dus weet ons dat vir die waardes van 8 waarvoor sinO = 0, moet ook tanO = 0. Soortgelyk, as cosO =
is die waarde van tanO ongedefinieerd omdat ons nie mag deel met nie. Die grafiek word getoon in
Figure 14.37. Die vertikale stippellyne is die waardes van 8 waarvoor tanO nie gedefinieerd is nie.
Image not finished
Figure 14.37: Die grafiek van tand
14.4.1.7 Funksies van die vorm y = atari (x) + q
Die figuur hieronder is 'n voorbeeld van 'n funksie van die vorm y = atari (x) + q.
Image not finished
Figure 14.38: Die grafiek van 2tand + 1
14.4.1.7.1 Funksies van die vorm y = atari (8) + q :
1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
a. a (8) = tand - 2
b. 6(6>) = tan8- 1
267
c. c(0) = tanO
d. d{6) =tan6+ 1
e. e (0) = tanO + 2
Gebruik jou resultate om die invloed van q af te lei.
2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
a. /(0) = -2-tan6
b. g{0) = -1 -tanO
c. /i (0) = • tanO
d. j (0) = 1 • ton0
e. k (0) = 2 • tan0
Gebruik jou resultate om die invloed van a af te lei.
Ons vind dat die waarde van a die steilheid van die bene van die grafiek beinvloed. Hoe groter die absolute
waarde van a, hoe vinniger nader die bene die waardes van hulle asimptote, die waardes waar hulle nie
gedefinieerd is nie. Negatiwe a waardes keer die rigting waarin die bene van die grafiek loop, om. Ons
vind verder dat die waarde van q beinvloed die vertikale verskuiwing net soos by sin8 and cos9. Hierdie
verskillende eienskappe word opgesom in Table 14.12.
a >
q>
Image not finished
Figure 14.39
q <
Image not finished
Figure 14.41
Table 14.12: Tabel van die algemene vorms en posisies van grafieke en funksies van die vorm
y = atan (x) + q
14.4.1.7.2 Domein en Omvang
Die domein van/ (0) = atan (0) + q is al die waardes van sodat cos8 nie gelyk is aan nie. Ons het reeds
gesien dat as cosO = 0, tanO = §ln 4 ongedefinieerd is, want ons het deling deur nul. Ons weet dat cosd =
vir alle0 = 90° + 180 e n, waar n 'n heelgetal is. Dus die gebied van/ (0) = atan (0) + q is alle waardes van 0,
behalwe die waardes = 90° + 180°n.
Die omvang van / (0) = atan8 + q is {/ (0) : / (0) (—00, oo)}.
268 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
14.4.1.7.3 Snypunte
Die y-snypunt, y in4 , of / (9) = atari (x) + q is slegs die waarde van / (9) by 9 = 0°.
Vint = /(0°)
= atan (0°) + q
y ' (14.20)
a(0)+q
= q
14.4.1.7.4 Asimptote
Soos # geleidelik naderkom aan 90°, sal tan9 nader kom aan oneindig. Maar omdat 9 ongedefinieerd is by
90°, kan 9 slegs al nader kom aan 90°, maar nooit daarby uitkom nie. So, die tan9 grafiek kom nader en
nader aan die lyn 9 = 90°, sonder om dit ooit te ontmoet. Dus die lyn 9 = 90° is 'n asimptoot van tan9.
tan9 het ook asimptote by 9 = 90° + 180°n, waar n 'n heelgetal is.
14.4.1.7.4.1 Grafieke van Trigonometriese Funksies
1. Deur you kennis van die invloed van a en q te gebruik, skets elk van die volgende grafieke, sonder om
'n tabel van waardes te gebruik, vir 9 s [0°; 360°]
a. y = 2sin9
b. y = —Acos9
c. y = —2cos9 + 1
d. y = sin9 — 3
e. y = tan9 — 2
f. y = 2cos6 - 1
Kliek hier vir die oplossing. 9
2. Gee die vergelykings van elk van die volgende grafieke:
Image not finished
Figure 14.43
Image not finished
Figure 14.44
9 http:// www.fhsst.org/la8
269
Image not finished
Figure 14.45
Kliek hier vir die oplossing. 10
Die volgende aanbieding som op wat jy tot dusver in die hoofstuk geleer het. Ignoreer die laaste skyfie.
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=p0008-wynberggirlshigh-louisekeegan- maths-
gradel0-trigonometry-100930084905-phpapp01&stripped_title=wynberg-girls-highlouise-
keeganmathsgradelOtrigonometry>
Figure 14.46
14.4.2 Einde van Hoofstuk Oefeninge
1. Bereken die onbekende lengtes
Image not finished
Figure 14.47
Kliek hier vir die oplossing. 11
2. In die driehoek PQR, PR = 20 cm, QR = 22 cm en P R Q = 30°. Die loodregte lyn van P to QR
sny QR by X. Bereken
a. die lengte XR,
b. die lengte PX, en
c. die hoek Q P X
Kliek hier vir die oplossing. 12
3. 'n Leer van 15 m lank rus teen 'n muur, die basis van die leer is 5 m van die muur. Vind die hoek
tussen die muur en die leer.
Kliek hier vir die oplossing. 13
10 http:// www.fhsst.org/laO
11 http://www.fhsst.org/la9
12 http:// www.fhsst.org/laX
13 http:// www.fhsst.org/lal
270 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
4. 'n Leer van 25 m rus teen 'n muur, die leer maak 'n hoek 37° met die muur. Vind die afstand tussen
die muur en die basis van die leer.
Kliek hier vir die oplossing. 14
5. In die volgende driehoek vind die hoek A B C
Image not finished
Figure 14.48
Kliek hier vir die oplossing. 15
6. In die volgende driehoek vind die lengte van sy CD
Image not finished
Figure 14.49
Kliek hier vir die oplossing. 16
7. A (5; 0) and B (11; 4). Vind die hoek tussen die lyn deur A en B en die x-as.
Kliek hier vir die oplossing. 17
8. C (0; —13) and D ( — 12; 14). Vind die hoek tussen die lyn deur C en D en die y-as.
Kliek hier vir die oplossing. 18
9. 'n 5 m Leer word geplaas 2 m van die muur. Wat is die hoek wat die leer met die muur maak?
Kliek hier vir die oplossing. 19
10. Gegewe die punte: E(5;0), F(6;2) and G(8;-2), vind 'n hoek F E G.
Kliek hier vir die oplossing. 20
11. 'n Gelykbenige driehoek het sye 9 cm, 9 cm and 2 cm. Vind die grootste en kleinste hoeke van die
driehoek.
Kliek hier vir die oplossing. 21
12. 'n Reghoekige driehoek het 'n skuissy 13 mm. Vind die lengte van die ander twee sye as een van die
hoeke van die driehoek 50°is.
Kliek hier vir die oplossing. 22
13. Een van die hoeke van 'n ruit (ruit - 'n Viersydige veelhoek, waarvan elkeen van die sye van gelyke
lengte is) met 'n omtrek 20cm is 30°.
a. Vind die sye van die ruit.
b. Vind die lengte van beide diagonale.
14 http:// www.fhsst.org/la5
15 http:// www.fhsst.org/laN
16 http:// www.fhsst.org/laR
17 http:// www.fhsst.org/lan
18 http:// www.fhsst.org/laQ
19 http:// www.fhsst.org/laU
20 http:// www.fhsst.org/lap
2 1 http://www.fhsst.org/laV
22 http:// www.fhsst.org/laP
271
Kliek hier vir die oplossing. 23
14. Kaptein Hook seil na 'n lighuis met 'n hoogte van 10 m.
a. As die bopunt van die lighuis 30 m weg is, wat is die hoogtehoek van die boot tot die naaste
heelgetal?
b. As die boot nog 7 m nader aan die lighuis beweeg, wat is die nuwe hoogtehoek van die boot tot
die naaste heelgetal?
Kliek hier vir die oplossing. 24
15. (Kopkrapper) 'n Driehoek met hoeke 40°, 40° en 100° het 'n omtrek van 20 cm. Vind die lengte van
elke sy van die driehoek.
Kliek hier vir die oplossing. 25
http
23
24 htt P
25 http
// www.fhsst.org/laE
// www.fhsst.org/lam
// www.fhsst.org/lay
272 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
Solutions to Exercises in Chapter 14
Solution to Exercise 14.1 (p. 252)
Step 1. In hierdie geval werk cms met 'n hoek van 50°, die teenoorstaande sy en die skuinssy.
Dus moet jysmgebruik.
sin50° = — (14.21)
100 v '
Step 2.
=> x = 100 x sm50° (14.22)
Step 3. Gebruik die sin-knoppie op jou sakrekenaar.
=> x = 76.6m (14.23)
Solution to Exercise 14.2 (p. 252)
Step 1. In hierdie geval het jy die teenoorstaande sy en die skuinssy ten opsigte van die hoek 9.
Dus moet jytengebruik.
50
tan6 = (14.24)
100 v '
Step 2.
tanO = 0.5 (14.25)
Step 3. Omdat jy die hoek wil kry,
gebruik tan~ l op jou sakrekenaar.
Moenie vergeet om jou sakrekenaar na 'degree' modus te stel nie!
9 = 26.6° (14.26)
Solution to Exercise 14.3 (p. 254)
Step 1. Ons maak 'n skets en konstrueer reghoekige driehoeke om ons te help om die probleem visueel voor te
stel.
273
3 cm
A 4 cm B
3 cm
6 cm
Figure 14.50
Step 2. Ons sal driehoeke ABE en BEC gebruik om die twee hoeke te bereken wat ons dan kan optel om die
gevraagde hoek te kry.
Step 3. Ons gebruik sin vir beide driehoeke aangesien ons die skuinssye en die teenoorstaande sye het.
Step 4. In driehoek ABE kry ons:
sin I A B E
sin[ A B E
ABE
ABE
opp
hyp
3
4
,-1 (3
(14.27)
(!)
48.59°
Ons gebruik die Stelling van Pythagoras en kry EC = 4,4cm. In driehoek BEC kry ons:
sinlCBE
sin\C B E
ABE
C BE
OPP
hyp
4.4
5
s^- 1 m
61,64°
(14.28)
Step 5. Ons tel die twee hoeke saam en kry 48, 59° + 61, 64° = 110, 23°
Solution to Exercise 14.4 (p. 255)
Step 1. Ons het die koordinate van punte R en S en ons moet die groottes van die twee hoeke vind. Hoek (3 is
positief en hoek a is negatief.
274 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
Step 2. Ons gebruik tan om (3 te vind, aangesien ons slegs x en y het. Ons sien die hoek le in die derde
kwadrant, waar tan positief is.
(14.29)
Step 3. Ons gebruik tan om a te bereken aangesien ons x en y het. Die hoek is in die vierde kwadrant, waar
tan negatief is.
1(f3)
=
v
X
i(/3)
=
-3
-1
=
tan
-M3)
P
=
71
,57°
tan (a)
tan (a)
a
-3
3
tan- 1 (-1)
(14.30)
a = -45°
Step 4. Hoek a is -45° en hoek (3 is 71, 57°
Solution to Exercise 14.5 (p. 257)
Step 1.
3cos(2a; + 38°) =
2-3
cos (2x + 38°) =
-l
3
(2a; + 38°) =
107,46°
2x =
= 107, 46° -38
2x =
69,46°
x =
34,73°
(14.31)
Step 2. a; = 34,73°
Solution to Exercise 14.6 (p. 257)
Step 1. Om die hoogte van 'n toring te vind, hoef ons net die lengte van CD en DE te vind. Ons sien dat
[U+25B5] BDE en [U+25B5] BDC beide reghoekige driehoeke is. Vir elkeen van die driehoeke het ons
'n hoek en ons het die lengte BD. Dus kan ons die sye van die driehoeke bereken.
Step 2. Dit word vir ons gegee dat die lengte van AC 100m is. CABD is 'n reghoek, dus BD = AC = 100m.
tan (c BDj = §§
=> CD = BDx tan (c B Dj (14.32)
= 100 x tan34°
Gebruik jou sakrekenaar om te vind dat tan34° = 0, 6745. Deur dit te gebruik, vind ons dat CD =
67,45m.
275
Step 3.
tan [D BE) = §§
=> DE = BD xtanlD B E j ( 14 33)
= 100 x tan62°
= 188,07 m
Step 4. Ons het die hoogte van die toring CE = CD + DE = 67, 45 m + 188, 07 m = 255.5 m.
Solution to Exercise 14.7 (p. 258)
Step 1. Ons weet reeds die afstand tussen Kaapstad en A in blokke van die gegewe kaart, is 5 blokke. Dus,
as ons bereken hoeveel kilometers hierdie afstand is, kan ons bereken hoeveel kilometers elke blok
verteenwoordig, en dan het ons die skaal van die kaart.
Step 2. Laat ons Kaapstad aandui met C en Pretoria met P. Ons kan sien dat die driehoek APC reghoekig
is. Verder sien ons AC en afstand AP is beide 5 blokke. Dit is dus 'n gelykbenige driehoek en
AC P = A PC = 45°.
Step 3.
CA = CPxcoslAC P
1000 x cos (45°) (14.34)
Om die skaal uit te werk, sien ons dat
1000 km
v2
5 blokke = ^ km
^ (14.35)
1 blok = 200 km
V2
Solution to Exercise 14.8 (p. 258)
Step 1. Ons sien dat die driehoek ABC 'n reghoekige driehoek is. Aangesien ons een sy en 'n hoek van die
driehoek het, kan ons AC bereken. Die hoogte van die muur is die hoogte van die motorhuis minus
AC.
Step 2. As BC=5m, en hoek A B C = 5°, dan
AC = BC x sin (a B C
5 x sin5° ( 14 36 )
5x0,0871
= 0.4358 m
Dus het ons dat die hoogte van die muurBD = 4m — 0.4358m = 3.56m.
276 CHAPTER 14. TRIGONOMETRIE
Chapter 15
Analitiese meetkunde
15.1 Cartesiese vlak en die afstand tussen twee punte 1
15.1.1 Inleiding
Analitiese meetkunde, ook bekend as koordinaatmeetkunde en vroeer bekend as Cartesiese meetkunde, is
die studie van meetkunde op grond van die beginsels van algebra en die Cartesiese koordinaatstelsel. Dit
is gemoeid met die definisie van meetkundige figure op 'n numeriese wyse en onttrek numeriese inlligting
uit die voorstelling. Sommige beskou die ontwikkeling van analitiese meetkunde as die begin van moderne
wiskunde.
15.1.2 Afstand tussen Twee Punte
As ons die koordinate van die hoekpunte van 'n figuur het, dan kan ons die figuur op die Cartesiese vlak
teken. Byvoorbeeld, neem die vierhoek ABCD met koordinate A(l,l), B(l,3), C(3,3) en D(l,3) en stel dit
voor op die Cartesiese vlak. Dit word getoon in Figure 15.1.
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39618/l.l/>.
277
278
CHAPTER 15. ANALITIESE MEETKUNDE
D
B
x
Figure 15.1: Vierhoek ABCD voorgestel op die Cartesiese vlak
Om enige figuur voor te stel op die Cartesiese vlak, plaas cms 'n punt by elke gegewe koordinaat en
verbind dan hierdie punte met reguitlyne. Een belangrike saak om op te let, is in die benoeming van die
figuur. In bostaande voorbeeld, het ons die vierhoek ABCD genoem. Dit dui vir ons aan dat ons beweeg
van punt A, na punt B, na punt C, na punt D en dan weer terug na punt A. Dus, wanneer jy gevra word
om 'n figuur op die Cartesiese vlak te teken, moet jy hierdie benamingswyse gebruik. Soms word net sekere
punte gegee en dan moet ons die ander punte vind deur gebruik te maak van die metodes wat ons verder in
die hierdie hoofstuk gaan bespreek.
15.1.3 Afstand tussen Twee Punte
Een van die eenvoudigste dinge wat met analitiese meetkunde bereken kan word, is die afstand tussen twee
punte. Afstand is a getal wat beskryf hoe ver twee punte van mekaar is. Byvoorbeeld, punt P het (2, 1) as
koordinate en punt Q het (—2, —2) as koordinate. Hoe ver is die punte P en Q van mekaar? In die figuur
beteken dit, hoe lank is die stippellyn?
279
i
(2;1)
* D
n _
•
/
/
/
1
1
/
/
•
i i ,
2 -1 /
2
n l_
• -1
/
/
*
(-2;-2)
-A.
<
R
Figure 15.2
In die figuur kan gesien word dat lyn PR 3 eenhede lank is en lyn QR 4 eenhede. [U+25B5] PQR het 'n
regte hoek R. Dus kan die lengte van sy PQ bereken word deur Stelling van Pythagoras te gebruik:
PQ 2 = PR 2 + QR 2
PQ 2 = 3 2 + 4 2
■. PQ = V3 2 + 4 2 = 5
(15.1)
Die lengte van PQ is gelyk aan die afstand tussen punte P en Q.
As 'n veralgemening van die idee, neem aan dat A enige punt is met (x±; yi) as koordinate en B is enige
ander punt met [x2] y-i) as koordinate.
280 CHAPTER 15. ANALITIESE MEETKUNDE
Image not finished
Figure 15.3
Die formule vir die berekening van die afstand tussen twee punte word as volg afgelei. Die afstand tussen
twee punte A en B is die lengte van die lyn AB. Volgens die Stelling van Pythagoras, word die lengte van
AB gegee deur:
AB = VAC 2 + BC 2 (15.2)
Ons sien
BC = y 2 — y\ ,
(15.3)
AC = x 2 — x\
Dan is
AB = VAC 2 + BC 2
= \l (xi - x 2 f + (yi - y 2 y
Gevolglik, vir enige twee punte, (xi; j/i) en [x 2 \ 2/2), is die formule:
(15.4)
Afstand=y (xi - x 2 f + (yi - y 2 f
Deur die formule te gebruik, word die afstand tussen twee punte P en Q met koordinate (2;1) en (-2;-2)
as volg bereken. Gestel die koordinate van punt P is (xi;j/i) en die koordinate van punt Q is (x 2 ;y 2 ). Dan
is die afstand:
Afstand = \J (x\ - x 2 f + (y 1 - y 2 f
= 02 -(-2)) 2 +(l-(-2 ))
^/(2 + 2) 2 +(l + 2)
2
2
V16 + 9
V25
5
Khan Akademie video oor die afstandformule
Khan Akademie video oor die afstandformule
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/nyZuitel7Pc&rel=0>
Figure 15.4
(15.5)
281
15.2 Gradient lyn 2
15.2.1 Berekening van die Gradient van 'n Lyn
Die gradient van 'n lyn beskryf hoe steil die lyn is, hoe groot die helling van die lyn is. In die figuur hieronder
is lyn PT se helling die grootste. Lyn PS is minder steil as PT maar is steiler as PR, en die lyn PR is
steiler as PQ.
r
s
R
p
Figure 15.5
Die gradient van die lyn word gedefinieer as die verhouding tussen die vertikale verandering in posisie en
die horisontale verandering in posisie. Dit kan verstaan word deur te kyk na die lyn as die skuinssy van die
reghoekige driehoek. Die gradient is die verhouding van die lengte van die vertikale sy van die driehoek tot
die horisontale sy van die driehoek. Dink aan 'n lyn tussen punt A met koordinate {x\\y{) en punt B met
koordinate (#2; 3/2)-
Image not finished
Figure 15.6
2 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39614/l.l/>.
282
CHAPTER 15. ANALITIESE MEETKUNDE
2/2-2/1
x 2 — Xl
Gradient =
Ons kan gradient gebruik om te bepaal of twee lyne parallel is aan mekaar of loodreg is op mekaar. As
die lyne parallel is (Figure 15.7a) sal hulle dieselfde gradient he, byvoorbeeld ttiab = ^cd- As hulle loodreg
is op mekaar, (Figure 15.7b) dan sal: — = men
a)
B
b)
D
A
A
B
Figure 15.7
Byvoorbeeld, die gradient van die lyn tussen punt P en Q, met koordinate (2;1) en (-2;-2) () is:
Gradint = ^=^_
x 2 —x 1
_ -2-1
-2-2
_ ^3
— -4
3
4
Die volgende video bied 'n opsomming van die gradient van 'n lyn.
Gradient van 'n lyn
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.eom/v/R948Tsyq4v A&rel=0>
(15.6)
Figure 15.8
283
15.3 Middelpunt van 'n lyn 3
15.3.1 Middelpunt van 'n Lynstuk
Soms is dit nuttig om die koordinate van 'n lyn se middel of middelpunt te he. Byvoorbeeld: wat is die
middelpunt van die lynstuk tussen punt P met koordinate (2; 1) en punt Q met koordinate (—2; —2)1
Die koordinate van die middelpunt van 'n lyn tussen enige twee punte A en B met koordinate (x\;y\)
en (#2; 2/2), word as volg bereken. Gestel die middelpunt van AB is die punt S met koordinate (X;Y). Die
doel is om te bereken X en Y in terme van (x\; 2/1) en (x2] 2/2)-
Image not finished
Figure 15.9
v _ 3:1+3:2
Y = ^±^ (15.7)
Q ( Xx+X2 . 2/1+2/2 \
Dus die koordinate van (S), die middelpunt van die lyn tussen punt P met koordinate (2; 1) en punt Q met
koordinate (—2; —2), is:
X
=
3:1+3:2
2
=
-2+2
2
=
Y
=
2/1+2/2
2
=
-2+1
2
=
1
2
S is by (0;
-h)
(15.8)
Dit kan bewys word dat die afstande vanaf die eindpunte na die middelpunt gelyk is. Die koordinate van
die middelpunt S is (0; —0, 5).
PS
\]{xi - x 2 f + (2/1 -2/2)
V / (0-2) 2 + (-0.5-1)
^/ ( _ 2) 2 + (-1.5) 2 ( 15 - 9 )
V4 + 2.25
v/6T25
3 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39616/l.l/>.
284 CHAPTER 15. ANALITIESE MEETKUNDE
QS =
yOi -x 2 f + (2/1 -j/2) 2
=
^/(0-(-2)) 2 + (-0.5-(-2)) 2
=
v /(0 + 2)~+(-0.5 + 2) z
=
7(2) 2 +(+l-5) 2
=
V4 + 2.25
=
^6.25
aar kan gesien word dat PS = QS soos
verwag is.
(15.10)
Image not finished
Figure 15.10
Die volgende video verskaf 'n opsomming oor die berekening van die middelpvmt van 'n lyn.
Khan Akademie video oor die middelpunt van 'n lyn
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.com/v/Ez_-RwV9WVo&rel=0>
Figure 15.11
15.4 Opsomming en oefininge 4
15.4.1 Opsomming
• Figure kan voorgestel word op die Cartesiese vlak
• Die formule om die afstand tussen twee punte te vind:
Afstand = y/( Xl - x 2 f + ( Vl - y 2 f (15.11)
• Die formule om die gradient van 'n lyn te vind:
x 2 - Xi
• Die formule om die middelpunt van die lyn tussen twee punte te vind:
Gradint = — — (15.12)
s[ x 1 + x 1 _y 1 + m (1513)
4 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39621/l.l/>.
285
• As twee lyne parallel is, sal hulle dieselfde gradient he: jtiab = "icd- As twee lyne loodreg is op
mekaar, dan het ons: = men
15.4,2 Koordinaatmeetkunde
1. In die gegewe diagram is die hoekpunte van 'n veelhoek F(2;0), G(l;5), H(3;7) en I(7;2).
Image not finished
Figure 15.12
a. Wat is die lengtes van die sye van FGHI?
b. Is die teenoorstaande sye van FGHI parallel?
c. Halveer die hoeklyne van FGHI mekaar?
d. Watter tipe veelhoek is FGHI? Gee redes vir jou antwoord.
Kliek hier vir die oplossing 5
2. 'n Veelhoek ABCD met hoekpunte A(3;2), B(l;7), C(4;5) en D(l;3) word gegee.
a. Teken die veelhoek.
b. Bepaal die sylengtes van die veelhoek.
Kliek hier vir die oplossing 6
3. ABCD is 'n veelhoek met hoekpunte A(0;3), B(4;3), C(5;-l) en D(-l;-l).
a. Wys dat:
i. AD = BC
ii. AB || DC
b. Benoem ABCD.
c. Wys dat die hoeklyne AC en BD mekaar nie halveer nie.
Kliek hier vir die oplossing 7
4. P, Q, R en S is die punte (-2;0), (2;3), (5;3) en (-3;-3) onderskeidelik.
a. Wys dat:
i. SR = 2PQ
ii. SR || PQ
b. Bereken:
i. PS
ii. QR
c. Watter tipe veelhoek is PQRS? Gee redes vir jou antwoord.
5. EFGH is 'n parallelogram met hoekpunte E(-l;2), F(-2;-l) en G(2;0). Vind die koordinate van H deur
gebruik te maak van die feit dat die hoeklyne van 'n parallelogram mekaar halveer.
Kliek hier vir die oplossing 8
5 http:// www.fhsst.org/HZ
6 http:// www.fhsst.org/HB
7 http:// www.fhsst.org/lac
8 http:// www.fhsst.org/lax
286 CHAPTER 15. ANALITIESE MEETKUNDE
Chapter 16
Statistiek
16.1 Inleiding en herhaling 1
16.1.1 Inleiding
In die wereld rondom cms word inligting dikwels in die vorm van syfers, grafieke en tabelle gegee. Ons sien
dit op die televisie, op die radio en in die koerante. Ons word blootgestel aan misdaadsyfers, sportuitslae,
reenval, die uitgawes van die regering, die tempo van HIV/VIGS infeksie, bevolkingsgroei en ekonomiese
groei.
Hierdie hoofstuk demonstreer hoe Wiskunde gebruik kan word om data te manipuleer, om data en
tendense voor te stel of wan voor te stel en om oplossings te bied wat direk betrekking het op die wereld
rondom ons.
Vaardighede wat in vorige grade verwerf is en verband hou met die versameling, organisering, uitbeelding,
analise en interpretasie van inligting, word hier verder ontwikkel.
16.1.2 Hersiening van vorige Werk
Dataversameling is in vorige grade bekendgestel as 'n manier om antwoorde te kry vir vrae wat te make het
met die wereld rondom ons.
16.1.2.1 Data en Datainsameling
16.1.2.1.1 Data
Definition 16.1: Data
Data verwys na inligting wat waargeneem of opgeneem is as deel van 'n eksperiment of 'n
meningspeiling. Daar is twee tipes data: primere en sekondere data. Die woord "data" is die
meervoud van die woord "datum".
Data kan geklassifiseer word as primer of sekonder, en primere en sekondere data kan verder geklassifiseer
word as kwalitatief of kwantitatief. Figure 16.1 som die klassifikasie van data op.
1 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39706/l.l/>.
287
288 CHAPTER 16. STATISTIEK
Data
Primere Sekondere
Kwalitatiewe Kwantitatiewe
Figure 16.1: Klassifikasie van data
Primere data: beskryf die oorspronklike data wat versamel is. Hierdie tipe data staan ook bekend as rou
data. Dikwels is die primere datastel baie groot en moet dit opgesom of verwerk word om betekenisvolle
inligting uit te lig.
Kwalitatiewe data: is inligting wat nie met getalle beskryf kan word nie, byvoorbeeld as jy data insamel
oor hoe mense voel of wat hul gunstelingkleur is.
Kwantitatiewe data: is inligting wat geskryf kan word as getalle, byvoorbeeld as jy data insamel oor
mense se lengte of massa.
Sekondere data: is primere data wat opgesom of verwerk is. Die stel kleure wat mense as hul gunstel-
ingkleure aangedui het, is 'n voorbeeld van sekondere data omdat dit 'n opsomming is van mense se
antwoorde.
Die proses om primere data om te skakel na sekondere data deur analise, groepering of organisering is die
proses waardeur informasie geskep word.
16.1.2.1.2 Doelwit van die Insameling van Primere Data
Data word versamel om antwoorde te kry wat help om 'n sekere situasie beter te verstaan. Hier is 'n paar
voorbeelde van dataversameling uit die regte wereld wat kwalitatiewe en kwantitatiewe data illustreer.
16.1.2.1.3 Kwalitatiewe Data
• Die plaaslike regering sal wil weet hoeveel inwoners elektrisiteit het en mag dan aan hulle vra: "Het jou
huis 'n veilige, ononderbroke toevoer van elektrisiteit vanaf die nasionale kragvoorsiener (Eskom)?"
• 'n Maatskappy wat medisyne vervaardig mag vra: "Hoe effektief verlig ons pil hoofpyn?" Daar kan
dan aan mense wat die pil gebruik om hoofpyn te verlig, gevra word: "Hoe baie help ons pil om jou
hoofpyn weg te neem?" Die maatskappy kan dan op grond van mense se antwoorde bepaal hoe effektief
hul produk is.
• 'n Motormaatskappy wil hulle klientediens verbeter en kan dan aan kliente vra: "Hoe kan ons ons
klientediens verbeter?"
• 'n Supermarkbestuurder mag vra: "Watter tipes gaskoeldrank moet ek in my supermark in voorraad
he?" Daar mag dan miskien aan klante gevra word: "Wat is jou gunsteling gaskoeldrank?" Die klante
se keuse of voorkeur is 'n voorbeeld van kwalitatiewe data.
289
16.1.2.1.4 Kwantitatiewe Data
• 'n Maatskappy wat selfone vervaardig mag moontlik data versamel oor hoe dikwels mense nuwe selfone
koop en watter faktore hul besluit bei'nvloed. Sodoende kan die selfoonmaatskappy bepaal op watter
fasiliteite en eienskappe hulle moet fokus om hul produk meer aantreklik te maak vir kopers.
• 'n Lid van die stadsraad wil moontlik weet hoeveel ongelukke by 'n spesifieke padkruising gebeur om te
besluit waar verkeersligte opgerig moet word. Die raadslid kan dan die plaaslike polisiekantoor besoek
en hul rekords nagaan om die nodige data te bekom.
• 'n Supermarkbestuurder mag vra: "Watter tipes gaskoeldrank moet ek in my supermark in voorraad
he?" Daar mag dan aan klante gevra word: "Wat is jou gunsteling gaskoeldrank?" Op grond van
hoeveel mense 'n spesifieke gaskoeldrank verkies, kan die bestuur dan 'n ingeligte besluit neem van
watter gaskoeldrank om aan te hou.
Dit is belangrik om daarop te let dat verskillende vrae, verskillende fasette van die 'n situasie na vore bring
en dat dit die begrip van die situasie sal bei'nvloed. Byvoorbeeld, die eerste vraag op die lys kan geformuleer
word om te vra: "Het jou huis elektrisiteit?". Indien die gebruiker "Ja" antwoord hierop, terwyl hy krag
van sy buurman af herlei, sal dit die verkeerde indruk gee dat die betrokke persoon nie krag nodig het van
die amptelike verskaffer nie.
16.1.2.2 Metodes van Dataversameling
Die metode of strategie van dataversameling moet ooreenstem met die vrae wat gevra word, 'n Paar voor-
beelde van dataversamelingsmetodes is:
1. Vraelyste, meningspeilings en onderhoude
2. Eksperimente
3. Ander bronne (vriende, familie, koerante, boeke, tydskrifte en die Internet)
Die belangrikste aspek van elke metode van dataversameling is om die vrae wat beantwoord moet word
duidelik te formuleer. Die tipe dataversamelingsmetode moet gekies word om by jou vrae te pas.
Byvoorbeeld vraelyste, meningspeilings en onderhoude sal die beste pas by die vrae in die voorbeelde in
"Die Doelwit van die Versameling van Primere Data" (Section 16.1.2.1.2: Doelwit van die Insameling van
Primere Data).
16.1.2.3 Steekproef en Bevolking (Populasie)
Voordat daar begin word met die datainsameling is dit belangrik om te besluit hoeveel data nodig is sodat
die resultate 'n verteenwoordigende aanduiding sal gee van die antwoord op 'n sekere vraag. In die ideale
geval sal die studie so ontwerp word dat die maksimum hoeveelheid inligting verkry word met die minimum
hoeveelheid moeite. Die konsepte bevolking en steekproef is baie belangrik ten einde die energie- en koste-
uitset so min as moontlik te hou.
Die volgende terme behoort bekend te wees:
Bevolking: beskryf die hele groep wat in die studie in ag geneem word. Byvoorbeeld, as jy wil weet hoeveel
leerders in jou skool in die winter verkoue gekry het, dan sal jou bevolking al die leerders in jou skool
wees.
Steekproef: beskryf 'n groep wat gekies word om die bevolking te verteenwoordig. Byvoorbeeld, vir die
opname oor verkoue in die skool kan jy miskien net 'n paar leerders kies - byvoorbeeld een uit elke
klas.
Ewekansige steekproef: beskryf 'n steekproef wat op so manier uit die bevolking gekies word dat elke lid
van die bevolking 'n gelyke kans het om gekies te word.
290
CHAPTER 16. STATISTIEK
Figure 16.2: 'n Illustrasie van hoe 'n steekproef uit die bevolking gekies word
Om resultate te verkry wat verteenwoordigend is, is die van kritieke belang om 'n verteenwoordigende
steekproef te kry. Byvoorbeeld, as ons wou bepaal hoe groepsdruk die besluit om te begin rook, bei'nvloed
- dan sou die resultate baie anders gewees het as slegs seuns ondervra is, in vergelyking met 'n studie waar
onderhoude met beide seuns en meisies gevoer is.
Daarom moet vrae soos: "Hoeveel onderhoude word benodig?" en "Hoe kies ons kandidate vir onder-
houde?" tydens die ontwerpfase van die steekproefproses gevra word.
Die mees akkurate resultate word verkry indien die hele bevolking gebruik word as steekproef vir 'n
opname, maar dit kan baie duur wees en/of baie lank neem. Die tweede beste metode is om 'n steekproef
ewekansig te kies. Dit beteken dat elke lid van die bevolking 'n gelyke kans het om geselekteer te word,
onafhanklik van hoe die lede gekies word. Daar is verskeie metodes om lede op hierdie manier te kies,
byvoorbeeld, name kan uit 'n hoed getrek word. Meeste moderne wetenskaplike sakrekenaars het 'n sleutel
wat mens kan druk om ewekansige getalle te genereer wat mens kan gebruik om 'n steekproef te kies.
Sigbladpakkette op 'n rekenaar het ook gewoonlik so 'n funksie.
So, as jy byvoorbeeld 'n bevolking van 1 000 leerders in jou skool het, kan jy moontlik 100 leerders
ewekansig kies en dit sal dan die steekproef wees wat jy vir die opname gebruik.
16.1.3 Voorbeelde van Datastelle
Die res van hierdie hoofstuk handel oor die wiskundige besonderhede wat nodig is om data wat versamel is,
te analiseer.
Hier volg nou 'n paar voorbeelde van datastelle wat gebruik kan word om die metodes wat toegepas word,
te verduidelik.
16.1.3.1 Datastel 1: Gooi van 'n Muntstuk
'n Ewekansige muntstuk is 100 keer gegooi en die kant waarop die muntstuk land, is opgeneem (kop of stert)
Die data is opgeneem in "Datastel 1: Gooi van 'n muntstuk" (Table 16.1).
291
K
s
s
K
K
S
K
K
K
K
K
K
K
K
S
K
K
S
S
S
S
s
K
S
S
K
S
K
S
K
K
K
S
S
K
S
S
K
s
S
S
K
K
K
S
S
K
S
s
K
K
S
S
S
S
K
S
S
K
K
S
s
K
S
s
K
S
S
K
S
K
s
S
K
s
S
S
S
K
S
S
K
S
S
K
K
K
S
K
s
S
s
s
K
K
S
S
S
K
s
Table 16.1: Resultate wanneer 'n ewekansige muntstuk 100 keer gegooi word. K beteken dat die muntstuk
met sy kop na bo geland het terwyl S beteken dat die muntstuk met sy stert na bo geland het.
16.1.3.2 Datastel 2: Gooi van 'n Dobbelsteen
'n Ewekansige dobbelsteen is 200 keer gegooi en die waardes waarop die dobbelsteen land, is opgeneem.
Die data is opgeneem in "Datastel 2: Gooi van 'n Dobbelsteen" (Section 16.1.3.2: Datastel 2: Gooi van 'n
Dobbelsteen).
3
5
3
6
2
6
6
5
5
6
6
4
2
1
5
3
2
4
5
4
1
4
3
2
6
6
4
6
2
6
5
1
5
1
2
4
4
2
4
4
4
2
6
4
5
4
3
5
5
4
6
1
1
4
6
6
4
5
3
5
2
6
3
2
4
5
3
2
2
6
3
4
3
2
6
4
5
2
1
5
5
4
1
3
1
3
5
1
3
6
5
3
4
3
4
5
1
2
1
2
1
3
2
3
6
3
1
6
3
6
6
1
4
5
2
2
6
3
5
3
1
1
6
4
5
1
6
5
3
2
6
2
3
2
5
6
3
5
5
6
2
6
6
3
5
4
1
4
5
1
4
1
3
4
3
6
2
4
3
6
6
1
1
2
4
5
2
5
3
4
3
4
5
3
3
3
1
1
4
3
5
2
1
4
2
5
2
2
1
5
4
5
1
5
3
2
2
5
1
1
Table 16.2: Resultate wanneer 'n ewekansige dobbelsteen 200 keer gegooi word
16.1.3.3 Datastel 3: Massa van 'n Brood
In Suid-Afrika is daar regulasies oor die vervaardiging van brood om verbruikers te beskerm. Hier is 'n
uittreksel uit 'n verslag oor die wetgewing:
"Wetgewing vereis dat 'n brood 800g moet weeg indien dit nie gemerk is nie, met 'n speling van 5 persent
bo en 10 persent onder hierdie massa. Die gemiddelde massa van 10 van hierdie brode moet egter presies
die aangeduide massa wees." - Sunday Tribune op 10 Oktober 2004, bladsy 10.
Ons kan die massa van brode bepaal en dit gebruik om vas te stel of verbruikers waarde vir hulle geld
kry. 'n Ongemerkte brood moet 800g weeg. Vir een week is 10 verskillende brode by 'n sekere winkel elke
dag geweeg. Die data word getoon in Table 16.3.
292
CHAPTER 16. STATISTIEK
Maandag
Dinsdag
Woensdag
Donderdag
Vrydag
Saterdag
Sondag
802.39
787.78
815.74
807.41
801.48
786.59
799.01
796.76
798.93
809.68
798.72
818.26
789.08
805.99
802.50
793.63
785.37
809.30
787.65
801.45
799.35
819.59
812.62
809.05
791.13
805.28
817.76
801.01
801.21
795.86
795.21
820.39
806.64
819.54
796.67
789.00
796.33
787.87
799.84
789.45
802.05
802.20
788.99
797.72
776.71
790.69
803.16
801.24
807.32
808.80
780.38
812.61
801.82
784.68
792.19
809.80
802.37
790.83
792.43
789.24
815.63
799.35
791.23
796.20
817.57
799.05
825.96
807.89
806.65
780.23
Table 16.3: Massas (in g) van 10 verskillende brode, vanaf dieselfde vervaardiger, bepaal by dieselfde
winkel oor 'n tydperk van een week
16.1.3.4 Datastel 4: Temperature Wereldwyd
Die wereldwye gemiddelde temperature van 1861 tot 1996 word in Table 16.4 getoon. Die data, verkry by
http://www.cgd.ucar.edu/stats/Data/Climate/ 2 , is na temperatuur in grade Celsius omgeskakel.
Jaar
Temperatuur
Jaar
Temp erat uur
Jaar
Temperatuur
Jaar
Temperatuur
1861
12.66
1901
12.871
1941
13.152
1981
13.228
1862
12.58
1902
12.726
1942
13.147
1982
13.145
1863
12.799
1903
12.647
1943
13.156
1983
13.332
1864
12.619
1904
12.601
1944
13.31
1984
13.107
1865
12.825
1905
12.719
1945
13.153
1985
13.09
1866
12.881
1906
12.79
1946
13.015
1986
13.183
1867
12.781
1907
12.594
1947
13.006
1987
13.323
1868
12.853
1908
12.575
1948
13.015
1988
13.34
1869
12.787
1909
12.596
1949
13.005
1989
13.269
1870
12.752
1910
12.635
1950
12.898
1990
13.437
1871
12.733
1911
12.611
1951
13.044
1991
13.385
continued on next page
2 http:// www.cgd.ucar.edu/stats/Data/Climate/
293
1872
12.857
1912
12.678
1952
13.113
1992
13.237
1873
12.802
1913
12.671
1953
13.192
1993
13.28
1874
12.68
1914
12.85
1954
12.944
1994
13.355
1875
12.669
1915
12.962
1955
12.935
1995
13.483
1876
12.687
1916
12.727
1956
12.836
1996
13.314
1877
12.957
1917
12.584
1957
13.139
1878
13.092
1918
12.7
1958
13.208
1879
12.796
1919
12.792
1959
13.133
1880
12.811
1920
12.857
1960
13.094
1881
12.845
1921
12.902
1961
13.124
1882
12.864
1922
12.787
1962
13.129
1883
12.783
1923
12.821
1963
13.16
1884
12.73
1924
12.764
1964
12.868
1885
12.754
1925
12.868
1965
12.935
1886
12.826
1926
13.014
1966
13.035
1887
12.723
1927
12.904
1967
13.031
1888
12.783
1928
12.871
1968
13.004
1889
12.922
1929
12.718
1969
13.117
1890
12.703
1930
12.964
1970
13.064
1891
12.767
1931
13.041
1971
12.903
1892
12.671
1932
12.992
1972
13.031
1893
12.631
1933
12.857
1973
13.175
1894
12.709
1934
12.982
1974
12.912
1895
12.728
1935
12.943
1975
12.975
1896
12.93
1936
12.993
1976
12.869
1897
12.936
1937
13.092
1977
13.148
1898
12.759
1938
13.187
1978
13.057
1899
12.874
1939
13.111
1979
13.154
continued on next page
294
CHAPTER 16. STATISTIEK
1900
12.959
1940
13.055
1980
13.195
Table 16.4: Wereldwye gemiddelde temperature van 1861 tot 1996. Tans is daar 'n groot bespreking oor
die verandering in weerpatrone en die moontlike verwantskap met besoedeling en kweekhuisgasse.
16.1.3.5 Datastel 5: Prys van Petrol
Die prys van petrol in Suid-Afrika vanaf Augustus 1998 tot Julie 2000 word in Table 16.5 getoon.
Datum
Prys (R/l)
Augustus 1998
R 2.37
September 1998
R 2.38
Oktober 1998
R 2.35
November 1998
R 2.29
Desember 1998
R 2.31
Januarie 1999
R 2.25
Februarie 1999
R 2.22
Maart 1999
R 2.25
April 1999
R 2.31
Mei 1999
R 2.49
Junie 1999
R 2.61
Julie 1999
R 2.61
Augustus 1999
R 2.62
September 1999
R 2.75
Oktober 1999
R 2.81
November 1999
R 2.86
Desember 1999
R 2.85
Januarie 2000
R 2.86
Februarie 2000
R 2.81
Maart 2000
R 2.89
April 2000
R3.03
Mei 2000
R3.18
Junie 2000
R3.22
Julie 2000
R3.36
Table 16.5: Petrolpryse in Suid-Afrika vanaf Augustus 1998 tot Julie 2000
16.1.4 Groepering van Data
Een van die eerste stappe in die verwerking van 'n groot stel rou data is om die datawaardes te rangskik
in 'n kleiner aantal groepe en dan te tel hoeveel daar van elke datawaarde in elke groep is. Die groepe is
295
gewoonlik gebaseer op een of ander interval van datawaardes, sodat datawaardes wat binne 'n sekere interval
val, saamgegroepeer word. Die gegroepeerde data word dikwels grafies of in 'n frekwensietabel uitgebeeld.
Frekwensie beteken "hoeveel keer kom iets voor".
Exercise 16.1: Groepering van Data (Solution on p. 309.)
Groepeer die elemente van Datastel 1 (Table 16.1) om te bepaal hoeveel keer die muntstuk op kop
land en hoeveel keer die muntstuk op stert land.
16.1.4.1 Oefeninge: Groepering van Data
1. Die lengtes van 30 leerders word hier aangetoon. Groepeer die data in die gegewe tabel (onder).
(Telmerke is 'n gerieflike manier om in 5'e te tel. Ons gebruik die vierstreep-hek metode: 1111 om 4 aan
te dui en 1111 met 'n horisontale streep deur die 4 vertikale strepies om 5 aan te dui.)
142
163
169
132
139
140
152
168
139
150
161
132
162
172
146
152
150
132
157
133
141
170
156
155
169
138
142
160
164
168
Table 16.6
Groep
Telmerke
Frekwensie
130 < h< 140
140 < h< 150
150 < h< 160
160 < h< 170
170 < h< 180
Table 16.7
Kliek hier vir die oplossing. 3
2. 'n Eksperiment is uitgevoer in 'n klas en 50 leerders is gevra om te raai hoeveel lekkertjies daar in 'n
gegewe fles is. Die volgende raaiskote is opgeneem:
56
49
40
11
33
33
37
29
30
59
21
16
38
44
38
52
22
24
30
34
42
15
48
33
51
44
33
17
19
44
47
23
27
47
13
25
53
57
28
23
36
35
40
23
45
39
32
58
22
40
Table 16.8
Trek 'n gegroepeerde frekwensietabel op vir die intervalle 11 tot 20, 21 tot 30, 31 tot 40, ens.
Kliek hier vir die oplossing. 4
3 http:// www.fhsst.org/lab
4 http:// www.fhsst.org/laj
296 CHAPTER 16. STATISTIEK
16.2 Opsomming van data 5
16.2.1 Opsomming van Data
Indien 'n datastel baie groot is, is dit nuttig om 'n aantal waardes te bereken wat 'n aanduiding gee van hoe
die data versprei is en wat die middelwaarde van die datastel is.
16.2.1.1 Maatstawe van Sentrale Neiging
16.2.1.1.1 Gemiddeld
Die gemiddeld (ook bekend as die rekenkundige gemiddeld) is eenvoudig net die gemiddeld van 'n groep
getalle (of 'n datastel) en word aangetoon deur van die strepie-simbool gebruik te maak. So, die rekenkundige
gemiddeld van al die waardes van die veranderlike x is x. Die gemiddelde waarde van 'n stel waardes word
bereken deur al die getalle by mekaar te tel en dan die som deur die aantal items in die stel te deel. Die
gemiddeld word bereken deur die rou, ongegroepeerde, onverwerkte data te gebruik.
Definition 16.2: Gemiddeld
Die gemiddeld van die datastel x, aangetoon as x, is die gemiddeld van die datawaardes en word
bereken as:
som van alle waardes X\ + X2 + x^ + ... + x n
x = — = (16.1)
aantai waardes n
Metode: Berekening van die gemiddeld
1. Vind die totaal van die datawaardes in die datastel.
2. Tel hoeveel datawaardes daar in die datastel is.
3. Deel die totaal deur die totale aantal datawaardes.
Exercise 16.2: Gemiddeld (Solution on p. 309.)
Wat is die gemiddeld van x = {10, 20, 30, 40, 50}?
16.2.1.1.2 Mediaan
Definition 16.3: Mediaan
Die mediaan van 'n datastel is die datawaarde in die sentrale posisie nadat die datastel gesorteer is
van grootste tot kleinste of kleinste tot grootste waarde. Daar is 'n gelyke hoeveelheid datawaardes
voor en na die mediaan in die gesorteerde stel.
Die mediaan word vanaf die rou, ongegroepeerde data bereken.
Metode: Berekening van die mediaan
1. Sorteer die data van kleinste tot grootste of van grootste tot kleinste.
2. Tel hoeveel datawaardes daar in die datastel is.
3. Vind die datawaarde in die sentrale posisie in die gesorteerde stel.
Exercise 16.3: Mediaan (Solution on p. 309.)
Wat is die mediaan van {10, 14, 86, 2, 68, 99, 1}?
Hierdie voorbeeld het 'n moontlike probleem met die bepaling van die mediaan geillustreer. Dit is baie
maklik om die mediaan van 'n datastel met 'n onewe aantal datawaardes te bepaal, maar wat gebeur as daar
'n ewe aantal datawaardes in die datastel is?
Indien daar 'n onewe hoeveelheid datawaardes is, dan is die mediaan die gemiddeld van die middelste
twee datawaardes in die gesorteerde datastel.
5 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39709/l.l/>.
297
tip: Hoe om die sentrale posisie van die datastel te vind
'n Maklike manier om die sentrale posisie of posisies van 'n gesorteerde datastel te vind is om die totale
aantal datawaardes te neem, 1 by te tel, en dan met 2 te deel. As die getal wat jy kry 'n heelgetal is, dan is
dit die sentrale posisie. As die getal 'n breuk is, neem die twee heelgetalle aan weerskante van die breuk as
die posisies van die datawaardes waarvan die gemiddeld bereken moet word om die mediaan te bepaal.
Exercise 16.4: Mediaan (Solution on p. 309.)
Wat is die mediaan vanjll, 10, 14, 86, 2, 68, 99, 1}?
16.2.1.1.3 Modus
Definition 16.4: Modus
Die modus is die datawaarde wat die meeste voorkom. Dit beteken dit is die mees herhaalde
waarde in 'n stel data.
Metode vir die berekening van die modus: Tel die hoeveelheid kere wat elke getal voorkom. Die
modus is die datawaarde wat die meeste verskyn het.
Die modus word bereken in 'n gegroepeerde stel data, of vanaf enkele data items.
Exercise 16.5: Modus (Solution on p. 309.)
Vind die modus van die datastel x = {1,2,3,4,4,4,5,6,7,8,8,9,10,10}
'n Datastel kan meer as een modus he. Byvoorbeeld, beide 2 en 3 is modusse in die stel 1, 2, 2, 3, 3. As
alle getale in die datastel 'n gelyke aantal kere verskyn, dan is dit korrek om te se die stel het meer as een
modus of geen modus.
Khan Akademie video oor statistiek
This media object is a Flash object. Please view or download it at
<http://www.youtube.eom/v/uhxtUt _-GyM&rel=0>
Figure 16.3
16.2.1.2 Maatstawe van Verspreiding
Die gemiddeld, mediaan en modus is maatstawe van sentrale neiging - dit beteken hulle gee inligting van
die sentrale datawaardes in 'n stel. Waneer 'n mens data beskryf, is dit soms nodig om die verspreiding van
die datawaardes te bereken. Maatstawe van verspreiding gee inligting van hoe die datawaardes in 'n stel
versprei is rondom die gemiddelde waarde. Sommige maatstawe van verspreiding is variasiewydte, persentiele
en kwartiele.
16.2.1.2.1 Variasiewydte
Definition 16.5: Variasiewydte
Die variasiewydte van 'n datastel is die verskil tussen die laagste waarde en die hoogste waarde in
die stel.
Metode: Berekening van die variasiewydte
1. Vind die hoogste waarde in die datastel.
2. Vind die laagste waarde in die datastel.
298
CHAPTER 16. STATISTIEK
3. Trek die laagste waarde van die hoogste waarde af. Die verskil is die variasiewydte.
Exercise 16.6: Variasiewydte (Solution on p. 310.)
Vind die variasiewydte van die datastel x = {1, 2, 3,4,4,4, 5, 6, 7, 8,8, 9, 10, 10}
16.2.1.2.2 Kwartiele
Definition 16.6: Kwartiele
Kwartiele is die drie datawaardes wat 'n geordende datastel in vier groepe met gelyke hoeveelhede
datawaardes verdeel. Die mediaan is die tweede kwartiel.
Die kwartiele van 'n stel word gevorm deur die twee grense, weerskante van die mediaan, wat die stel
verdeel in vier gelyke dele. Die laagste 25% van die data word gevind onder die eerste kwartiel, dit word
ook genoem die "onderste kwartiel". Die mediaan, of tweede kwartiel deel die stel in twee gelyke dele. Die
laagste 75% van die datastel is onder die derde kwartiel, ook genoem die "boonste kwartiel". Byvoorbeeld:
22
24
48
51
60
72
73
75
80
88
90
1
1
1
Onderste kwartiel
Mediaan
Boonste kwartiel
(Qi)
(Q 2 )
(Qs)
Table 16.9
Metode: Berekening van kwartiele
1. Rangskik die data van kleinste na grootste, of van grootste na kleinste.
2. Tel die hoeveelheid datawaardes in die datastel.
3. Deel die hoeveelheid datawaardes deur vier. Die resultaat is dan die hoeveelheid datawaardes per
groep.
4. Bepaal die datawaardes wat ooreenstem met die eerste, tweede en derde kwartiele deur die hoeveelheid
datawaardes per kwartiel te gebruik.
Exercise 16.7: Kwartiele
Wat is die kwartiele van {3,5,1,8,9,12,25,28,24,30,41,50}?
(Solution on p. 310.)
16.2.1.2.3 Interkwartielvariasiewydte
Definition 16.7: Interkwartielvariasiewydte
Die interkwartielvariasiewydte is 'n maatstaf wat inligting verskaf aangaande die verspreiding van
'n datastel. Dit word bereken deur die eerste kwartiel van die derde kwartiel af te trek en dit gee die
variasiewydte van die middelste helfte van die datastel. Dit sny dan basies die laagste en hoogste
kwartiele af, naamlik Q% — Q\.
Die half-interkwartielvariasiewydte is helfte van die interkwartielvariasiewydte, naamlik ^^ *
Exercise 16.8: Mediane, kwartiele en interkwartielvariasiewydte (Solution on p. 310.)
'n Klas van 12 studente skryf 'n toets en na die toets lyk die punte soos volg: 20, 39, 40, 43, 43,
46, 53, 58, 63, 70, 75, 91. Vind die variasiewydte, kwartiele en die interkwartielvariasiewydte.
299
16.2.1.2.4 Persentiele
Definition 16.8: Persentiele
Persentiele is die 99 datawaardes wat 'n datastel in 100 groepe deel.
Die berekening van persentiele is identies met die berekening van kwartiele, behalwe dat die doel is om
die datastel in 100 groepe te deel in plaas van 4 groepe soos by kwartiele.
Metode: Berekening van die persentiele
1. Rangskik die data vanaf kleinste na grootste of vanaf grootste na kleinste.
2. Tel die hoeveelheid datawaardes wat voorkom in die datastel.
3. Deel die hoeveelheid datawaardes deur 100. Die resultaat is die hoeveelheid datawaardes per groep.
4. Bereken die datawaardes wat ooreenstem met die eerste, tweede en derde kwartiele deur die gebruik
van die aantal datawaardes per kwartiel.
16.2.1.3 Vyfgetalopsomming
Ons kan 'n datastel opsom deur die vyfgetalopsomming te gebruik. Hierdie opsomming gee die laagste
datawaarde, die hoogste datawaarde, die mediaan, die eerste (laagste) kwartiel en die derde (hoogste)
kwartiel. Beskou die volgende stel data: 5, 3, 4, 6, 2, 8, 5, 4, 6, 7, 3, 6, 9, 4, 5. Ons orden die data
as volg: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9. Die laagste datawaarde is 2, die hoogste datawaarde is 9, die
mediaan is 5, die eerste kwartiel is 4 en die derde kwartiel is 6. So, die vyfgetalopsomming is: 2, 4, 5, 6, 9.
16.2.1.4 Houerstipping
Die vyfgetalopsomming kan grafies voorgestel word met 'n houer-en-punt-stipping (box and whisker plot).
Die hoofeienskappe van 'n houerstipping word gegee in Figure 16.4. Die 'houer' kan horisontaal of vertikaal
geplaas word. Vir 'n horisontale diagram is die linkerkant van die houer ('box') by die eerste kwartiel en die
regterkant van die houer by die derde kwartiel. Die hoogte van die houer is arbitrer want daar is geen y-as
nie. Binne-in die houer word 'n maatstaf van sentrale neiging aangedui deurdat die mediaan gemerk word
met 'n vertikale lyn wat die houer in twee dele opdeel. Die gemiddelde word aangedui met 'n ster of asterisk
wat in die houer geplaas is, gesentreer in die vertikale rigting. Lyne vanaf die kante van die houer strek na
links tot by die mimimumwaarde en na regs tot by die maksimumwaarde. Dit word getoon vir die datastel
5, 3, 4, 6, 2, 8, 5, 4, 6, 7, 3, 6, 9, 4, 5.
first quartile third quartile
\ /
lowest value
I
highest value
median
Figure 16.4: Hoofeienskappe van 'n houerstipping
300 CHAPTER 16. STATISTIEK
Exercise 16.9 (Solution on p. 310.)
Trek 'n houerstipping vir die datastel: x = {1, 25; 1, 5; 2, 5; 2, 5; 3, 1; 3, 2; 4, 1; 4, 25; 4, 75; 4, 8; 4, 95; 5, 1}.
16.2.1.5 Oefeninge — Opsomming van Data
1. Drie stelle data is gegee:
a. Datastel 1: 9 12 12 14 16 22 24
b. Datastel 2: 7 7 8 11 13 15 16 16
c. Datastel 3: 11 15 16 17 19 19 22 24 27. Vir elkeen vind:
a. die reeks
b. die laagste kwartiel
c. die interkwartielvariasiewydte
d. die half-interkwartielvariasiewydte
e. die mediaan
f. die boonste kwartiel
Kliek hier vir die oplossing 6
2. Daar is 1 lekker in een houer en daar is 3 in die tweede houer. Die gemiddelde aantal lekkers in die
eerste twee houers is 2.
a. As die gemiddelde aantal in die eerste drie houers 3 is, hoeveel lekkers is daar in die derde houer?
b. As die gemiddelde aantal in die eerste vier houers 4 is, hoeveel lekkers is daar in die vierde houer?
Kliek hier vir die oplossing 7
3. Vind 'n stel van vyf ouderdomme, waar die gemiddelde ouderdom 5 is, die modale ouderdom 2 is en
die mediaan ouderdom 3 is.
Kliek hier vir die oplossing 8
4. Vier vriende het elk 'n paar albasters. Hulle bereken dat die gemiddelde aantal albasters wat hulle het
10 is. Een van die vriende gaan weg. Sy het 4 albasters. Hoeveel albasters het die vriende wat oorbly
altesaam?
Kliek hier vir die oplossing 9
5. Jason werk in 'n rekenaarwinkel. Sy maandelikse rekenaarverkope oor 'n aantal maande word gegee
in die onderstaande datastel: 27; 39; 3; 15; 43; 27; 19; 54; 65; 23; 45; 16 Stel sy verkope voor met 'n
vyfpuntopsomming en 'n houerstipping.
Kliek hier vir die oplossing 10
6. Lisa werk as 'n telefoonverkope operateur. Sy teken die aantal verkope wat sy in 'n maand maak aan.
Die data toon hoeveel sy elke maand verkoop: 49; 12; 22; 35; 2; 45; 60; 48; 19; 1; 43; 12 Gee 'n
vyfgetalopsomming en 'n houerstipping van haar verkope.
Kliek hier vir die oplossing 11
7. Rose het in 'n bloemistewinkel gewerk vir nege maande. Sy het volgende aantal trouruikers verkoop:
16; 14; 8; 12; 6; 5; 3; 5; 7
a. Wat is die vyfgetalopsomming van die data?
b. Aangesien daar 'n onewe aantal datapunte is, wat merk jy op wanneer jy die vyf punte bereken?
Kliek hier vir die oplossing 12
6 http://siyavula.cnx.org/content/m39709/latest/ http://www.fhsst.org/laD
7 http://siyavula.cnx.org/content/m39709/latest/ http://www.fhsst.org/laO
8 http://siyavula.cnx.org/content/m39709/latest/ http://www.fhsst.org/la8
9 http://siyavula.cnx.org/content/m39709/latest/ http://www.fhsst.org/la9
10 http://www.fhsst.org/12Q
11 http://www.fhsst.org/12U
12 http://www.fhsst.org/12P
301
Ons kan die konsepte van gemiddelde, mediaan en modus toepas op gegroepeerde data. Gegroepeerde data
het nie individuele datapunte nie, maar die data is georganiseer in groepe of klasse. Om die gemiddelde
te bereken moet ons al die frekwensies optel en verdeel deur die totaal. Ons weet nie wat die werklike
datawaardes is nie, maar ons kry die benaderde waarde deur die middelpunte van elke groep te gebruik.
Ons vermenigvuldig dan die middelpuntwaardes met die frekwensie. Ons tel hierdie getalle bymekaar om
die benaderde totaal van die datawaardes te kry. Die modale groep/klas is die groep/klas met die hoogste
frekwensie. Die mediaangroep is die groep wat die middelwaardes bevat.
Maatstawe van verspreiding kan ook gevind word vir gegroepeerde data. Die variasiewydte word verkry
deur die kleinste getal in die laagste klas af te trek van die grootste getal in die hoogste klas. Die kwartiele
word op dieselfde wyse bereken as die mediaan.
Exercise 16.10: Gemiddeld, Mediaan en Modus vir Groepeerde Data (Solution on p.
313.)
Beskou die volgende groepeerde data en bereken die gemiddeld, die modale klas en die mediaanklas.
Massa (kg)
Frekwensie
41 - 45
7
46- 50
10
51 - 55
15
56- 60
12
61 - 65
6
Totaal = 50
Table 16.10
16.2.1.5.1 Meer oor gemiddeld, modus en mediaan van gegroepeerde data
In elke datastel, vind die gemiddeld, die modalde klas en die mediaanklas.
1. Tye neergeskryf terwyl leerders 'n speletjie gespeel het.
Kliek hier vir die oplossing
13
Tyd in sekondes
Frekwensie
36- 45
5
46- 55
11
56- 65
15
66- 75
26
76- 85
19
86- 95
13
96 - 105
6
Table 16.11
5 http://siyavula.cnx.org/content/m39709/latest/ http://www.fhsst.org/laX
302
CHAPTER 16. STATISTIEK
2. Die volgende data het cms gekry by 'n groep leerders.
Massa in kilogram
Frekwensie
41 - 45
3
46- 50
5
51 - 55
8
56- 60
12
61 - 65
14
66- 70
9
71- 75
7
76- 80
2
Table 16.12
Kliek hier vir die oplossing
14
16.3 Vooroordele, foute en misbruik 15
16.3.1 Vooroordele en Foute
Foute kan insluip by enige data-opnames. Onwillekeurige foute kom voor in alle datastelle en staan soms bek-
end as nie-sistematiese foute. Onwillekeurige foute kan ontstaan as gevolg van die skatting van datawaardes,
onakkuraatheid van instrumente, ens. As jy byvoorbeeld lengtes aflees van 'n liniaal, kan onwillekeurige foute
insluip in elke meting as gevolg van die skatting tussen watter twee lyntjies die lengte le. Wanvoorstellings
(vals voorstellings) staan ook soms bekend as sistematiese foute. Wanvoorstellings in 'n datastel kom voor
wanneer die datawaardes deurlopend oor- of onderskat word. Wanvoorstellings kan ook ontstaan wanneer
korreksiefaktore nie in aanmerking geneem word nie of wanneer instrumente nie behoorlik gekalibreer is
nie (kalibrering is die proses waarin instrumente gemerk word volgens vooraf gedefmieerde mate). Wan-
voorstellings lei tot die berekening van 'n foutiewe steekproefgemiddelde wat groter of kleiner kan wees as
die ware gemiddelde.
16.3.2 Data Interpretasie
Baie mense aanvaar statistieke goedsmoeds en pas dit blindweg toe of haal dit aan. Dit is egter nie wys nie
want die data wat aanleiding gee tot die statistieke moet noukeurig oorweeg word, 'n Welbekende voorbeeld
van verskeie datastelle wat lei na dieselfde statistiese analise (die proses waarin data ondersoek word en
maatstawe van sentrale neiging bereken word, ens.) terwyl hulle in der waarheid baie van mekaar verskil, is
Anscombe se kwartet. Dit word getoon in . In Graad 11 sal jy metodes bestudeer wat gebruik word om data
grafies voor te stel. Op die oomblik egter, hoef jy slegs te verstaan dat ons datawaardes op die Cartesiese
vlak kan voorstel op soortgelyke wyse as waarmee ons grafieke geteken het. As elk van die datastelle in
Anscombe se kwartet statistics geanaliseer word, vind ons dat die gemiddelde, variansie, korrelasie en lyne
van beste passing (hierdie terme sal in latere grade verduidelik word) identies is. Wanneer ons egter die
data, in plaas van om dit statistics te analiseer, eenvoudig stip, kan ons sien dat die datastelle baie van
mekaar verskil. Hierdie voorbeeld wys vir ons dat dit baie belangrik is om sowel die onderliggende datastel
14 http://siyavula.cnx.org/content/m39709/latest/ http://www.fhsst.org/lal
15 This content is available online at <http://siyavula.cnx.Org/content/m39703/l.l/>.
303
as die statistiese afleidings in aanmerking te neem. Ons kan nie aanneem dat omdat ons oor die statistieke
van 'n datastel beskik, ons noodwendig weet wat die datastel ons vertel nie. Ter wille van interessantheid,
word sommige van die wyses waarop statistieke en data verkeerd gei'nterpreteer en wanvoorgestel word, in
die volgende uitbreiding van die afdeling gegee.
Image not finished
Figure 16.5: Anscombe's quartet
16.3.3 Misbruik van Statistiek - slegs vir verryking
In baie omstandigheide kan groepe voordeel trek daaruit om mense te mislei met die misbruik of wan-
voorstelling van statistieke.
Algemene tegnieke wat gebruik word sluit in:
Driedimensionele grafieke
As wat nie by nul begin nie
As sonder skaal
Grafiese beelde wat 'n negatiewe of positiewe neiging suggereer
Veronderstelling dat 'n korrelasie noodwendig 'n verband uitwys
Die gebruik van statistiek wat nie werklik 'n aanduiding is van die algehele bevolking nie
Die gebruik van wanbegripe van wiskundige konsepte
Byvoorbeeld, die volgende paar grafieke toon identiese inligting, maar dit lyk baie verskillend. Verduidelik
hoekom.
Image not finished
Figure 16.6
16.3.3.1 Oefeninge — Misbruik van Statistiek
1. 'n Maatskappy probeer om 'n visuele voorstelling te gee van die toename van hul verdienste van een
jaar na die ander. Oortuig die grafiek hieronder jou? Analiseer die grafiek.
Image not finished
Figure 16.7
Kliek hier vir die oplossing
16
16 http://siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/la5
304 CHAPTER 16. STATISTIEK
2. In 'n studie wat gedoen is op 'n besige grootpad, het ons data versamel van bestuurders wat die
snelheidsperk oortree het en ons het die kleur van hul motors ook bygevoeg. Die data is versamel oor
'n 20 minuut periode gedurende die middag, en word vertoon op 'n tabel hieronder.
Gevolgtrekkings, gemaak deur 'n onervare persoon en gebaseer op die data, is soos volg opgesom:
•
•
"As iemand 'n wit motor bestuur, is dit meer waarskynlik dat hy/sy die snelheidsperk sal oortree."
" As iemand 'n blou of rooi motor bestuur is dit meer waarskynlik dat hy/sy by die snelheidsperk
sal hou."
• Stem jy saam met hierdie gevolgtrekkings? Verduidelik.
Kliek hier vir die oplossing 17
3. 'n Maatskappy produseer 'n grafiek wat hulle voordeel in verkope teenoor hul kompetisie wys. Identi-
fiseer ten minste drie strategiee wat hulle gebruik het om die leser se persepsie te verander.
Image not finished
Figure 16.8
Kliek hier vir die oplossing 18
4. In 'n poging om hul kompetisie in 'n swak lig te stel, het 'n maatskappy die volgende grafiek getoon.
Hulle beweer dat hulle kompetisie besigheid verloor. Kan jy aan 'n beter verduideliking dink?
Image not finished
Figure 16.9
Kliek hier vir die oplossing 19
5. Om 'n teorie te toets, is agt verskillende kantore gemonitor vir hulle geraasvlakke en werkers se pro-
duktiwiteit. Die grafiek hieronder toon die resultate.
Image not finished
Figure 16.10
Die volgende afleiding is toe gemaak: "As 'n kantoor baie geraas het, lei dit na swak produktiwiteit."
Verduidelik die fout in hierdie denke.
Kliek hier vir die oplossing 20
17 http://siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/laN
18 http://siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/laR
19 http://siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/lan
20 http://siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/laQ
305
16.3.4 Opsomming
• Datatipes kan verdeel word in primere en sekondere data. Primere data kan verder verdeel word in
kwalitatiewe en kwantitatiewe data.
• Ons gebruik die volgende as maatstawe van sentrale neiging:
• Die gemiddelde van 'n datastel, x, aangedui deur x, is die rekenkundige gemiddelde van al die
datawaardes en word as volg bereken:
som van waardes
x= (16.2)
aantai waardes
• Die mediaan is die sentrale datawaarde in 'n datastel wat georden is van die laagste na die hoogste
waarde.
• Die modus is die datawaarde wat die meeste voorkom in die datastel.
• Die volgende is maatstawe van verspreiding:
• Die variasiewydte van 'n datastel is die verskil tussen die laagste en die hoogste waarde in die
stel.
• Kwartiele is die drie datawaardes wat 'n geordende datastel in vier groepe opdeel wat elk 'n gelyke
aantai datapunte bevat. Die mediaan is die tweede kwartiel.
• Persentiele is die 99 datawaardes wat die datastel in 100 gelyke groepe verdeel.
• Die interkwartielvariasiewydte is 'n maatstaf wat inligting verskaf oor die verspreiding van data
in 'n datastel en word bereken deur die eerste kwartiel af te trek van die derde kwartiel. Dit
gee die variasiewydte van die middelste helfte van die datastel, terwyl dit die laagste en hoogste
kwartiele uitsluit, nl. Qs — Qi. Helfte van hierdie waarde is die semi- interkwartielvariasiewydte.
• Die vyfgetalopsomming is 'n manier om data op te som. 'n Houerstipping is 'n grafiese voorstelling
van die vyfgetalopsomming.
• Onwillekeurige foute kom voor in alle datastelle en ontstaan vanwee die skatting van datawaardes. Vals
veronderstellings of sistematiese foute kom voor wanneer jy konsekwent datawaardes onder- of oorskat.
• Neem altyd die data sowel as die statistieke wat die data opsom in aanmerking voor jy tot gevol-
gtrekkings kom.
16.3.5 Oefeninge
1. Bereken die gemiddeld, mediaan en modus van die datastel 3.
Kliek hier vir die oplossing 21
2. Die hoogste 7 borne in 'n park het hoogtes (in meters) van 41, 60, 47, 42, 44, 42, and 47. Vind die
mediaan van hulle hoogtes.
Kliek hier vir die oplossing 22
3. Die student in Bjorn se klas het die volgende ouderdome: 5, 9, 1, 3, 4, 6, 6, 6, 7, 3. Vind die modus
van hul ouderdome.
Kliek hier vir die oplossing 23
4. 'n Ingenieursfirma het twee verskillende tipes enjins vir motorfietse ontwerp. Die twee verskil-
lende motorfietse word getoets vir die tyd wat dit hulle vat om te versnel van km/h tot 60
km/h.
http
21
22 http
23 http
//siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/laU
//siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.ftisst.org/laP
//siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.ftisst.org/laE
306
CHAPTER 16. STATISTIEK
Toets
1
Toets
2
Toets
3
Toets
4
Toets
5
Toets
6
Toets
7
Toets
8
Toets
9
Toets
10
Gemidi
Bike
1
1.55
1.00
0.92
0.80
1.49
0.71
1.06
0.68
0.87
1.09
Bike
2
0.9
1.0
1.1
1.0
1.0
0.9
0.9
1.0
0.9
1.1
Table 16.13
a. Watter maatstaf van sentrale neiging is die beste om te gebruik om hierdie data op te som?
b. Bereken die maatstaf, waarop jy besluit het in die vorige vraag, vir elke motorfiets.
c. Watter motorfiets sal jy kies, gebaseer op hierdie inligting? Neem kennis van die akkuraatheid
van die datawaardes in elk van die datastelle.
Click here for the solution 24
5. Die hoogte (lengte) van 40 leerders is gegee hieronder.
154
140
145
159
150
132
149
150
138
152
141
132
169
173
139
161
163
156
157
171
168
166
151
152
132
142
170
162
146
152
142
150
161
138
170
131
145
146
147
160
Table 16.14
a. Stel 'n frekwensietabel op vir 6 intervalle.
b. Bereken die benaderde gemiddelde.
c. Bereken die modus.
d. Hoeveel leerders is groter as jou benaderde gemiddelde in (b)?
Kliek hier vir die oplossing 25
6. In 'n verkeersondersoek was 50 ewekansig gekose motorbestuurders gevra watter afstand hulle werk toe
ry elke dag. Hierdie inligting word gewys in die tabel hieronder.
Afstand in km
1-5
6-10
11-15
16-20
21-25
26-30
31-35
36-40
41-45
Frequency
4
5
9
10
7
8
3
2
2
Table 16.15
a. Vind die benaderde gemiddelde.
b. Watter persentasie van mense het
i. minder as 16 km gery?
ii. meer as 30 km?
iii. tuseen 16 km en 30 km daagliks?
Kliek hier vir die oplossing
20
24 http
25 http
26 http
// www.fhsst.org/14p
//siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/laV
//siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/lap
307
7. 'n Maatskappy wil die opleidingsprogram in sy fabriek evalueer. Hulle het dieselfde opdrag vir beide
opgeleide en onopgeleide werkers gegee en dan hulle tyd gemeet in sekondes.
Opgeleide
121
137
131
135
130
128
130
126
132
127
129
120
118
125
134
Onopgeleide
135
142
126
148
145
156
152
153
149
145
144
134
139
140
142
Table 16.16
a. Vind die mediaan en kwartiele vir albei datastelsels.
b. Vind die interkwartielvariasiewydte vir albei datastelsels.
c. Lewer kommentaar op die resultate.
Kliek hier vir die oplossing 27
'n Klein maatskappy huur 9 mense. Die jaarlikse salarisse van die werkers is:
R600 000
R250 000
R200 000
R120 000
R100 000
R100 000
R100 000
R90 000
R80 000
Table 16.17
a. Vind die gemiddeld van die salarisse.
b. Vind die modus.
c. Vind die mediaan.
d. Van die drie berekeninge, watter een sal jy gebruik om te onderhandel vir 'n salaris verhoging?
Hoekom?
Kliek hier vir die oplossing 28
9. Die punte vir 'n spesifieke klas is hier gelys:
67
58
91
67
58
82
71
51
60
84
31
67
96
64
78
71
87
78
89
38
69
62
60
73
60
87
71
49
Table 16.18
Voltooi die frekwensietabel deur gebruik te maak van die gegewe klasintervalle.
27 http://siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/lad
28 http://siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/lav
308
CHAPTER 16. STATISTIEK
Klas
Optelling
Frekwensie
Middelpunt
Frekwx Midpt
30-39
34,5
40-49
44,5
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
Som =
Som =
Table 16.19
Kliek hier vir die oplossing
29
3 http://siyavula.cnx.org/content/m39703/latest/ http://www.fhsst.org/law
309
Solutions to Exercises in Chapter 16
Solution to Exercise 16.1 (p. 295)
Step 1. Daar is twee unieke datawaardes: K en S. Daarom is daar twee groepe: een vir die K-datawaardes en
nog een vir die S-datawaardes.
Step 2.
D at awaardes
Frekwensie
K
44
S
56
Table 16.20: Frekwensie van datawaardes in Datastel 1
Step 3. Daar is 100 datawaardes en die total van die frekwensiekolum is 44 + 56 = 100.
Solution to Exercise 16.2 (p. 296)
Step 1.
10 + 20 + 30 + 40 + 50= 150
Step 2. Daar is 5 waardes in die datastel.
Step 3.
150 -=-5 = 30
Step 4. .-. Die gemiddeld van die datastel x = {10,20,30,40,50} is 30.
Solution to Exercise 16.3 (p. 296)
Step 1. 1,2,10,14,68,86,99
Step 2. Daar is 7 waardes in die datastel.
Step 3. Die sentrale posisie van die datastel is 4.
Step 4. 14 is in die sentrale posisie van die datastel.
Step 5. .". 14 is die mediaan van die datastel {1, 2, 10, 14, 68, 86, 99}.
Solution to Exercise 16.4 (p. 297)
Step 1. 1,2,10,11,14,68,85,99
Step 2. Daar is 8 punte in die datastel.
Step 3. Die sentrale posisies van die datastel is tussen 4 en 5.
Step 4. 11 is in posisie 4 enl4 is in posisie 5.
Step 5. .". die mediaan van die datastel {1, 2, 10, 11, 14, 68, 85, 99} is
(16.3)
(16.4)
(11 + 14) -T- 2 = 12,5
(16.5)
Solution to Exercise 16.5 (p. 297)
Step 1
Datawaarde
Frekwensie
Datawaarde
Frekwensie
1
1
6
1
2
1
7
1
3
1
8
2
4
3
9
1
5
1
10
2
310
CHAPTER 16. STATISTIEK
Table 16.21
Step 2. Die getal 4 kom die meeste voor.
Step 3. Die modus van die datastel x = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10} is 4 want die getal 4 kom die meeste
voor.
Solution to Exercise 16.6 (p. 298)
Step 1. 10 is die hoogste waarde en 1 is die laagste waarde.
Step 2.
10- 1 = 9
(16.6)
Step 3. Vir die datastel x = {1,2,3,4,4,4,5,6,7,8,8,9,10,10}, is die variasiewydte 9.
Solution to Exercise 16.7 (p. 298)
Step 1. {1,3,5, 8, 9, 12, 24, 25, 28, 30, 41, 50}
Step 2. Daar is 12 waardes in die datastel.
Step 3.
12-5-4
(16.7)
Step 4.
1
3
5
II
8
9
12
II
24
25
28
II
30
41
50
Qi
Q 2
Qs
Table 16.22
Die eerste kwartiel verskyn tussen dataposisies 3 en 4 en dit is die gemiddeld van datawaardes 5 en 8.
Die tweede kwartiel verskyn tussen posisies 6 en 7 en dit is die gemiddeld van datawaardes 12 en 24.
Die derde kwartiel verskyn tussen posisies 9 en 10 en dit is die gemiddeld van die datawaardes 28 en
30.
Step 5. Die eerste kwartiel = 6,5. (Qi)
Die tweede kwartiel = 18. (Q2)
Die derde kwartiel = 29. (Q3)
Solution to Exercise 16.8 (p. 298)
Step 1.
20
39
40
II
43
43
46
II
53
58
63
II
70
75
91
Oi
M
Q3
Table 16.23
Step 2. Die variasiewydte = 91 - 20 = 71. Dit se vir ons dat die punte redelik wyd versprei is.
Step 3. naamlik M = ^^ = f = 49, 5
Step 4. naamlik Q x = ^±M = h = 415
Step 5. naamlik Q3
63+70
83 _
133
2
66,5
Step 6. Die kwartiele is 41,5, 49,5 en 66,5. Hierdie kwartiele s6 vir ons dat 25% van die punte is minder as
41,5; 50% van die punte is minder as 49,5 en 75% van die punte is minder as 66,5. Hulle se 00k vir ons
dat 50% van die punte le tussen 41,5 en 66,5.
Step 7. Die interkwartielvariasiewydte = 66,5 - 41,5 = 25. Dit s6 vir ons dat die wydte van die middelste 50%
van die datawaardes is 25.
Step 8. Die half-interkwartielvariasiewydte = ^ = 12,5
Solution to Exercise 16.9 (p. 299)
311
Step 1. Minimum =1,25
Maximum = 5, 10
Die posisie van die eerste kwartiel is tussen 3 en 4.
Die posisie van die tweede kwartiel is tussen 6 en 7.
Die posisie van die derde kwartiel is tussen 9 en 10.
Die datawaarde tussen 3 en 4 is: ^(2,5 + 2, 5) = 2, 5
Die datawaarde tussen 6 en 7 is: | (3, 2 + 4, 1) = 3, 65
Die datawaarde tussen 9 en 10 is: \ (4, 75 + 4, 8) = 4, 775
312
CHAPTER 16. STATISTIEK
first third
quartile quartile
| median |
minimum
maximum
12 3 4 5
Data Values
Step 2.
Figure 16.11
313
Solution to Exercise 16.10 (p. 301)
Step 1. Om die gemiddelde waarde te bereken, moet cms al die massas optel en deur 50 deel. Ons weet nie wat
die werklike massas is nie, dus neem ons die benaderde getal deur die middelpunt van elke klas te kies.
Ons vermenigvuldig daardie middelpuntwaarde met die frekwensie. Gevolglik tel ons daardie waardes
op om die benaderde totaal van die massas te kry. Dit word getoon in die tabel hieronder.
Massa (kg)
Middelpunt
Frekwensie
Midpt x Frek
41 - 45
(41+45)/2 = 43
7
43 x 7 = 301
46- 50
48
10
480
51 - 55
53
15
795
56- 60
58
12
696
61 - 65
63
6
378
Totaal = 50
Totaal = 2650
Table 16.24
Step 2. Die gemiddeld = ^ = 53.
Die modale klas is die klas 51 - 53 want dit het die hoogste frekwensie.
Die mediaangroep is die groep 51 - 53, want die 25ste en 26ste terme val in hierdie groep.
314 GLOSSARY
Glossary
D Data
Data verwys na inligting wat waargeneem of opgeneem is as deel van 'n eksperiment of 'n
meningspeiling. Daar is twee tipes data: primere en sekondere data. Die woord "data" is die
meervoud van die woord "datum".
E Eksponensiaalnotasie
Eksponensiaalnotasie verwys na 'n getal wat geskryf word as
a n (5.1)
waar n 'n heelgetal is en a enige reele getal is. Ons noem a die grondtal en n die eksponent.
Enkelvoudige Rente
Enkelvoudige rente is wanneer jy rente verdien op die aanvanklike bedrag wat jy bele het, maar
nie rente op rente nie.
G Gelykheid van Eksponensiele Funksies
As a 'n positiewe getal is so dat a > 0, (behalwe wanneer a = 1 ) dan:
a x = a v (9.16)
as en slegs as:
x = y (9.17)
(As a = 1, dan kan x en y verskil.)
Gelykvormige Veelhoeke
Twee veelhoeke is gelykvormig as:
• hulle ooreenstemmende hoeke ewe groot is, en
• hulle ooreenstemmende sye eweredig is (die verhouding van die sylengtes gelyk is.)
Gemiddeld
Die gemiddeld van die datastel x, aangetoon as x, is die gemiddeld van die datawaardes en word
bereken as:
_ som van alle waardes X\ + x-i + x% + ... + x n
X = : = (16-1)
aantal waardes n
I Interkwartielvariasiewydte
Die interkwartielvariasiewydte is 'n maatstaf wat inligting verskaf aangaande die verspreiding
van 'n datastel. Dit word bereken deur die eerste kwartiel van die derde kwartiel af te trek en
dit gee die variasiewydte van die middelste helfte van die datastel. Dit sny dan basies die laagste
en hoogste kwartiele af, naamlik Q3 — Q\.
GLOSSARY 315
K Konstante verskil
Die konstante verskil is die verskil tussen opeenvolgende terme en word aagedui met die letter d.
Kwartiele
Kwartiele is die drie datawaardes wat 'n geordende datastel in vier groepe met gelyke
hoeveelhede datawaardes verdeel. Die mediaan is die tweede kwartiel.
M Mediaan
Die mediaan van 'n datastel is die datawaarde in die sentrale posisie nadat die datastel gesorteer
is van grootste tot kleinste of kleinste tot grootste waarde. Daar is 'n gelyke hoeveelheid
datawaardes voor en na die mediaan in die gesorteerde stel.
Modus
Die modus is die datawaarde wat die meeste voorkom. Dit beteken dit is die mees herhaalde
waarde in 'n stel data.
P Persentiele
Persentiele is die 99 datawaardes wat 'n datastel in 100 groepe deel.
R Rasionale getal
'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as:
I <«»
waar o en b heelgetalle is en b ^ 0.
S Saamgestelde Rente
Saamgestelde rente is die rente wat bereken word op die aanvangsbedrag en op die opgeloopte
rente.
V Variasiewydte
Die variasiewydte van 'n datastel is die verskil tussen die laagste waarde en die hoogste waarde
in die stel.
316
INDEX
Index of Keywords and Terms
Keywords are listed by the section with that keyword (page numbers are in parentheses). Keywords
do not necessarily appear in the text of the page. They are merely associated with that section. Ex.
apples, § 1.1 (1) Terms are referenced by the page they appear on. Ex. apples, 1
2 2D probleme, § 14.2(249)
A afstand tussen twee lyne, § 15.1(277)
Analitiese Meetkunde, § 15.1(277),
§ 15.2(281), § 15.3(283), § 15.4(284)
average gradient, § 10.2(137)
B bewyse, § 13.2(203)
buitelandse wisselkoerse, § 3.3(49)
C Cartesiese vlak, § 15.1(277)
D Data, 287, § 16.2(296)
E Eksponensiaalnotasie, 69
Eksponensiale, § 5(69)
eksponensiale funksies, § 10.2(137)
Eksponensiele funksies, § 1.5(23)
Eksponensiele vergelykings, § 9.3(113)
enkelvoudige rente, § 3.1(43), 44
equations, § 9.1(107), § 9.2(110), § 9.3(113),
§ 9.4(116), § 9.5(118), § 9.6(121), § 9.7(121)
Estimating Surds, § 6(79)
exponential function, § 10.2(137)
F factors, § 8.1(87), § 8.2(90), § 8.3(95)
faktore, § 8.1(87), § 8.2(90), § 8.3(95)
financial maths, § 3.1(43), § 3.2(46), § 3.3(49)
Finansiele wiskunde, § 3.1(43), § 3.2(46),
§ 3.3(49)
foute, § 16.3(302)
functions, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13),
§ 1.4(19), § 1.5(23)
funksies, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13),
§ 1.4(19), § 1.5(23)
G Gelykheid van Eksponensiele Funksies, 114
Gelykvormige Veelhoeke, 200
Gemiddeld, 296
gemiddelde gradient, § 10.2(137)
geometry, § 12.1(173), § 12.2(184), § 13.1(195)
§ 13.2(203), § 13.3(204), § 13.4(216)
getalpatrone, § 2.1(35), § 2.2(37)
graad 10, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13),
§ 1.4(19), § 1.5(23), § 2.1(35), § 2.2(37),
§ 3.1(43), § 3.2(46), § 3.3(49), § 4(63), § 5(69),
§ 8.1(87), § 8.2(90), § 8.3(95), § 9.1(107),
§ 9.2(110), § 9.3(113), § 9.4(116), § 9.5(118),
§ 9.6(121), § 9.7(121), § 10.1(135), § 10.2(137),
§ 11.1(141), § 11.2(157), § 12.1(173),
§ 12.2(184), § 13.1(195), § 13.2(203),
§ 13.3(204), § 13.4(216), § 14.1(247),
§ 14.2(249), § 14.3(254), § 14.4(259),
§ 15.1(277), § 15.2(281), § 15.3(283),
§ 15.4(284), § 16.1(287), § 16.2(296),
§ 16.3(302)
grade 10, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13),
§ 1.4(19), § 1.5(23), § 2.1(35), § 2.2(37),
§ 3.1(43), § 3.2(46), § 3.3(49), § 6(79), § 7(83),
§ 8.1(87), § 8.2(90), § 8.3(95), § 9.1(107),
§ 9.2(110), § 9.3(113), § 9.4(116), § 9.5(118),
§ 9.6(121), § 9.7(121), § 10.1(135), § 10.2(137),
§ 11.1(141), § 11.2(157), § 12.1(173),
§ 12.2(184), § 13.1(195), § 13.2(203),
§ 13.3(204), § 13.4(216), § 14.1(247),
§ 14.2(249), § 14.3(254), § 14.4(259),
§ 15.1(277), § 15.2(281), § 15.3(283),
§ 15.4(284), § 16.1(287), § 16.2(296),
§ 16.3(302)
Gradient lyn, § 15.2(281)
grafieke, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13),
§ 1.4(19), § 1.5(23), § 14.4(259)
graphs, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13), § 1.4(19),
§ 1-5(23)
H herhaling, § 16.1(287)
Hiperboliese funksies, § 1.4(19), § 10.2(137)
hoeke, § 12.1(173)
hyperbolic function, § 10.2(137)
I inequalities, § 9.1(107), § 9.2(110), § 9.3(113),
§ 9.4(116), § 9.5(118), § 9.6(121), § 9.7(121)
inleiding, § 1.1(1), § 2.1(35), § 14.1(247),
§ 16.1(287)
Interkwartielvariasiewydte, 298
INDEX
317
introduction, § 2.1(35)
Irrational Numbers, § 7(83)
K Konstante verskil, 37
kwadratiese vergelykings, § 9.2(110)
Kwartiele, 298
L Letterlike vergelykings, § 9.6(121)
Lineaire gelyktydige vergelykings, § 9.5(118)
Lineere ongelykhede, § 9.4(116)
lineere vergelykings, § 9.1(107)
lyne, § 12.1(173), § 15.3(283)
M math, § 16.1(287), § 16.2(296), § 16.3(302)
maths, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13), § 1.4(19),
§ 1.5(23), § 2.1(35), § 2.2(37), § 3.1(43),
§ 3.2(46), § 3.3(49), § 8.1(87), § 8.2(90),
§ 8.3(95), § 9.1(107), § 9.2(110), § 9.3(113),
§ 9.4(116), § 9.5(118), § 9.6(121), § 9.7(121),
§ 10.1(135), § 10.2(137), § 11.1(141),
§ 11.2(157), § 13.1(195), § 13.2(203),
§ 13.3(204), § 13.4(216), § 14.1(247),
§ 14.2(249), § 14.3(254), § 14.4(259),
§ 15.1(277), § 15.2(281), § 15.3(283),
§ 15.4(284)
Mediaan, 296
meetkunde, § 12.1(173), § 12.2(184),
§ 13.1(195), § 13.2(203), § 13.3(204),
§ 13.4(216)
meting, § 13.3(204)
Middelpunt, § 15.3(283)
misbruik, § 16.3(302)
Modus, 297
N notasie, § 2.2(37)
notation, § 2.2(37)
number patterns, § 2.1(35), § 2.2(37)
O oefininge, § 15.4(284)
Ongelykhede, § 9.1(107), § 9.2(110),
§ 9.3(113), § 9.4(116), § 9.5(118), § 9.6(121),
§ 9.7(121)
opsomming, § 15.4(284), § 16.2(296)
P parabola, § 10.1(135)
parabool, § 1.3(13), § 10.1(135)
Persentiele, 299
poligone, § 12.2(184), § 13.1(195)
probability, § 11.1(141), § 11.2(157)
products, § 8.1(87), § 8.2(90), § 8.3(95)
produkte, § 8.1(87), § 8.2(90), § 8.3(95)
punte, § 12.1(173)
R, Rasionale getal, 65
Rasionale getalle, § 4(63)
reguit lyn, § 1.2(10), § 10.1(135)
Rounding Off, § 7(83)
S saamgestelde rente, § 3.2(46), 47
South Africa, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13),
§ 1.4(19), § 1.5(23), § 2.1(35), § 2.2(37),
§ 3.1(43), § 3.2(46), § 3.3(49), § 4(63), § 6(79),
§ 7(83), § 8.1(87), § 8.2(90), § 8.3(95),
§ 9.1(107), § 9.2(110), § 9.3(113), § 9.4(116),
§ 9.5(118), § 9.6(121), § 9.7(121), § 10.1(135),
§ 10.2(137), § 11.1(141), § 11.2(157),
§ 12.1(173), § 12.2(184), § 13.1(195),
§ 13.2(203), § 13.3(204), § 13.4(216),
§ 14.1(247), § 14.2(249), § 14.3(254),
§ 14.4(259), § 15.1(277), § 15.2(281),
§ 15.3(283), § 15.4(284), § 16.1(287),
§ 16.2(296), § 16.3(302)
statistics, § 16.1(287), § 16.2(296), § 16.3(302)
statistiek, § 16.1(287), § 16.2(296), § 16.3(302)
straight line, § 10.1(135)
Suid Afrika, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13),
§ 1.4(19), § 1.5(23), § 2.1(35), § 2.2(37),
§ 3.1(43), § 3.2(46), § 3.3(49), § 8.1(87),
§ 8.2(90), § 8.3(95), § 9.1(107), § 9.2(110),
§ 9.3(113), § 9.4(116), § 9.5(118), § 9.6(121),
§ 9.7(121), § 10.1(135), § 10.2(137),
§ 11.1(141), § 11.2(157), § 12.1(173),
§ 12.2(184), § 13.1(195), § 13.2(203),
§ 13.3(204), § 13.4(216), § 14.1(247),
§ 14.2(249), § 14.3(254), § 14.4(259),
§ 15.1(277), § 15.2(281), § 15.3(283),
§ 15.4(284), § 16.1(287), § 16.2(296),
§ 16.3(302)
Suid- Afrika, § 5(69)
Surds, § 6(79)
T toepassings, § 14.3(254)
transformasies, § 13.4(216)
trigonometrie, § 14.1(247), § 14.2(249),
§ 14.3(254), § 14.4(259)
trigonometrie funksies, § 14.2(249),
§ 14.3(254), § 14.4(259)
trigonometry, § 14.1(247), § 14.2(249),
§ 14.3(254), § 14.4(259)
V Variasiewydte, 297
Vergelykings, § 9.1(107), § 9.2(110), § 9.3(113),
§ 9.4(116), § 9.5(118), § 9.6(121), § 9.7(121)
vermoedens, § 13.2(203)
vierhoeke, § 13.1(195)
318 INDEX
vooroordele, § 16.3(302) § 9.6(121), § 9.7(121), § 10.1(135), § 10.2(137),
W waarskynlikheid, § 11.1(141), § 11.2(157)
wiskunde, § 1.1(1), § 1.2(10), § 1.3(13),
§ 1.4(19), § 1.5(23), § 2.1(35), § 2.2(37),
§ 3.1(43), § 3.2(46), § 3.3(49), § 5(69),
§ 8.1(87), § 8.2(90), § 8.3(95), § 9.1(107),
§ 9.2(110), § 9.3(113), § 9.4(116), § 9.5(118), Wiskundige modelle, §'9.7(121)
11.1(141),
§ 11-2(157),
§ 13.1(195)
13.2(203),
§ 13.3(204),
§ 13.4(216)
14.1(247),
§ 14.2(249),
§ 14.3(254)
14.4(259),
§ 15.1(277),
§ 15.2(281)
15.3(283),
§ 15.4(284),
§ 16.1(287)
16.2(296),
§ 16.3(302)
ATTRIBUTIONS 319
Attributions
Collection: Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS]
Edited by: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/colll328/l-4/
License: http://creativecommons.Org/licenses/by/3.0/
Module: "Funksies en Grafieke: Inleiding en kernbegrippe"
Used here as: "Inleiding en kernbegrippe"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39661/l-l/
Pages: 1-10
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Funksies en Grafieke: Die reguit lyn"
Used here as: "Die reguit lyn"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39654/l-l/
Pages: 10-13
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Funksies en Grafieke: Die parabool"
Used here as: "Die parabool"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39657/l-l/
Pages: 13-19
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Funksies en Grafieke: Hiperboliese funksies"
Used here as: "Hiperboliese funksies"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39667/l-l/
Pages: 19-23
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Funksies en Grafieke: Eksponensiele funksies"
Used here as: "Eksponensiele funksies"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39665/l-l/
Pages: 23-29
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Getalpatrone: Inleiding"
Used here as: "Inleiding"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39676/l-l/
Pages: 35-37
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
320 ATTRIBUTIONS
Module: "Getalpatrone: Notasie"
Used here as: "Notasie"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.Org/content/m39674/l.l/
Pages: 37-40
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.Org/licenses/by/3.0/
Module: "Finansiele wiskunde: Inleiding en enkelvoudige rente (Graad 10)"
Used here as: "Inleiding en enkelvoudige rente"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39643/l-l/
Pages: 43-46
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Finansiele wiskunde: Saamgestelde rente (Graad 10)"
Used here as: "Saamgestelde rente"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39649/l-l/
Pages: 46-49
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Finansiele wiskunde: Buitelandse wisselkoerse (Graad 10)"
Used here as: "Buitelandse wisselkoerse"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39647/l-l/
Pages: 49-57
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Rasionale getalle"
By: Wiehan Agenbag, Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m38246/l-4/
Pages: 63-68
Copyright: Wiehan Agenbag, Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Based on: Rational Numbers
By: Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Mark Horner, Heather Williams
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m31331/l-5/
Module: "Eksponensiale"
By: Carl Scheffler, Free High School Science Texts Project, Wiehan Agenbag
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m37289/l-2/
Pages: 69-77
Copyright: Carl Scheffler, Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Based on: Exponentials
By: Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Mark Horner, Heather Williams
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m31332/l-5/
ATTRIBUTIONS 321
Module: "Benadering van Wortelgetalle"
By: Carl Scheffler, Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.Org/content/m37421/l.4/
Pages: 79-82
Copyright: Carl Scheffler, Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.Org/licenses/by/3.0/
Based on: Estimating Surds
By: Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Mark Horner, Heather Williams
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m31339/l-4/
Module: "Irrasionale Getalle en Afronding"
By: Carl Scheffler, Free High School Science Texts Project, Chris Louw
URL: http://siyavula.cnx.Org/content/m37420/l.3/
Pages: 83-86
Copyright: Carl Scheffler, Free High School Science Texts Project, Chris Louw
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Based on: Irrational Numbers and Rounding Off
By: Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Mark Horner, Heather Williams
URL: http://siyavula.cnx.Org/content/m31341/l.3/
Module: "Produkte en Faktore: Inleiding en herhaling"
Used here as: "Inleiding en herhaling"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39689/l-l/
Pages: 87-90
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Produkte en Faktore: Meer produkte"
Used here as: "Meer produkte"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39691/l-l/
Pages: 90-95
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Produkte en Faktore: Faktorisering en breke"
Used here as: "Faktorisering en breke"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.Org/content/m39699/l.l/
Pages: 95-102
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Vergelykings en Ongelykhede: Strategie vir die vergelykings op te los en op los van lineere verge-
lykings"
Used here as: "Strategie vir die vergelykings op te los en op los van lineere vergelykings"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39732/l-l/
Pages: 107-110
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
322 ATTRIBUTIONS
Module: "Vergely kings en Ongelykhede: Oplos van kwadratiese vergelykings"
Used here as: "Oplos van kwadratiese vergelykings"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39731/l-l/
Pages: 110-113
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.Org/licenses/by/3.0/
Module: "Vergelykings en Ongelykhede: Eksponensiele vergelykings"
Used here as: "Eksponensiele vergelykings"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39743/l-l/
Pages: 113-115
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Vergelykings en Ongelykhede: Lineere ongelykhede"
Used here as: "Lineere ongelykhede"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39745/l-l/
Pages: 116-118
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Vergelykings en Ongelykhede: Lineaire gelyktydige vergelykings"
Used here as: "Lineaire gelyktydige vergelykings"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39756/l-l/
Pages: 118-120
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Vergelykings en Ongelykhede: Letterlike vergelykings"
Used here as: "Letterlike vergelykings"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39748/l-l/
Page: 121
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Vergelykings en Ongelykhede: Wiskundige modelle"
Used here as: "Wiskundige modelle"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39751/l-l/
Pages: 121-124
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
ATTRIBUTIONS 323
Module: "Gemiddelde gradient: Reguit lyn en parabool"
Used here as: "Reguit lyn en parabool"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39671/l-l/
Pages: 135-137
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.Org/licenses/by/3.0/
Module: "Gemiddelde gradient: Ander funksies"
Used here as: "Ander funksies"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.Org/content/m39669/l.l/
Pages: 137-139
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Waarskynlikheid: deel 1"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.Org/content/m39759/l.l/
Pages: 141-157
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Waarskynlikheid: deel 2"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39758/l-l/
Pages: 157-165
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Basiese beginsels van meetkunde: Punte, lyne en hoeke"
Used here as: "Punte, lyne en hoeke"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39628/l-l/
Pages: 173-184
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Basiese beginsels van meetkunde: Poligone"
Used here as: "Poligone"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39625/l-l/
Pages: 184-193
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Meetkunde: Vierhoeke en poligone"
Used here as: "Vierhoeke en poligone"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39679/l-l/
Pages: 195-203
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
324 ATTRIBUTIONS
Module: "Meetkunde: Bewyse en vermoedens"
Used here as: "Bewyse en vermoedens"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39695/l-l/
Pages: 203-204
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Meetkunde: Meting"
Used here as: "Meting"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39681/l-l/
Pages: 204-216
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Meetkunde: Transformasies"
Used here as: "Transformasies"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39683/l-l/
Pages: 216-232
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Trigonometrie: Inleiding en kernbegrippe"
Used here as: "Inleiding en kernbegrippe"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.Org/content/m39712/l.l/
Pages: 247-249
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Trigonometrie: Die trig funksies en 2D probleme"
Used here as: "Die trig funksies en 2D probleme"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39728/l-l/
Pages: 249-254
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Trigonometrie: Die trig funksies vir enige hoek en toepassings (Graad 10)"
Used here as: "Die trig funksies vir enige hoek en toepassings"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39725/l-l/
Pages: 254-258
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
ATTRIBUTIONS 325
Module: "Trigonometrie: Grafieke van die trig funksies (Graad 10)"
Used here as: "Grafieke van die trig funksies"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39729/l-l/
Pages: 259-271
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.Org/licenses/by/3.0/
Module: "Analitiese Meetkunde: Cartesiese vlak en die afstand tussen twee punte"
Used here as: "Cartesiese vlak en die afstand tussen twee punte"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39618/l-l/
Pages: 277-280
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Analitiese Meetkunde: Gradient lyn"
Used here as: "Gradient lyn"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39614/l-l/
Pages: 281-282
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Analitiese Meetkunde: Middelpunt van 'n lyn"
Used here as: "Middelpunt van 'n lyn"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39616/l-l/
Pages: 283-284
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Analitiese Meetkunde: Opsomming en oefininge"
Used here as: "Opsomming en oefininge"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39621/l-l/
Pages: 284-285
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Statistiek: Inleiding en herhaling"
Used here as: "Inleiding en herhaling"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39706/l-l/
Pages: 287-295
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
326 ATTRIBUTIONS
Module: "Statistiek: Opsomming van data"
Used here as: "Opsomming van data"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39709/l-l/
Pages: 296-302
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Module: "Statistiek: Vooroordele, foute en misbruik"
Used here as: "Vooroordele, foute en misbruik"
By: Free High School Science Texts Project
URL: http://siyavula.cnx.org/content/m39703/l-l/
Pages: 302-308
Copyright: Free High School Science Texts Project
License: http://creativecommons.org/licenses/by/3-0/
Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS]
Die wiskunde boek vir Graad 10
About Connexions
Since 1999, Connexions has been pioneering a global system where anyone can create course materials and
make them fully accessible and easily reusable free of charge. We are a Web-based authoring, teaching and
learning environment open to anyone interested in education, including students, teachers, professors and
lifelong learners. We connect ideas and facilitate educational communities.
Connexions's modular, interactive courses are in use worldwide by universities, community colleges, K-12
schools, distance learners, and lifelong learners. Connexions materials are in many languages, including
English, Spanish, Chinese, Japanese, Italian, Vietnamese, French, Portuguese, and Thai. Connexions is part
of an exciting new information distribution system that allows for Print on Demand Books. Connexions
has partnered with innovative on-demand publisher QOOP to accelerate the delivery of printed course
materials and textbooks into classrooms worldwide at lower prices than traditional academic publishers.
TVNews
OpenLibrary